高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件6 北师大版选修1-1

1、2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线悲伤的双曲线 如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件为何看不见，等式成立要条件 难道正如书上说的，无限接近不能达到难道正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟此事古难全，但愿千里共婵娟生活中的双曲线生活中的双曲线法拉利

2、主题公园法拉利主题公园巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂麦克唐奈天文馆麦克唐奈天文馆1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准 方程方程.（重点）（重点）2.会用待定系数法确定双曲线的方程会用待定系数法确定双曲线的方程.（难点）（难点）探究点探究点1 双曲线的定义双曲线的定义问题问题1：椭圆的定义？椭圆的定义？1f2f 0, c 0, cxyo yxm, 平面内与两个定点平面内与两个定点f1，f2的距的距离的和等于常数（大于离的和等于常数（大于f1f2）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆.问题问题2：如果把椭圆定义中的如果把椭圆定义中的“距离之和距离之和”改为改

3、为“距距离之差离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？，那么点的轨迹是怎样的曲线？即即“平面内与两个定点平面内与两个定点f1，f2的距离的差等于非零的距离的差等于非零常数的点的轨迹常数的点的轨迹 ” ”是什么？是什么？如图如图(a)， |mf1|-|mf2|=|f2f|如图如图(b)，|mf2|-|mf1|=2a，由可得：由可得： |mf1|-|mf2|=2a（非零常数）（非零常数）. 上面两条曲线合起来叫做上面两条曲线合起来叫做双曲线双曲线,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线的一支的一支.看图分析动点看图分析动点m满足的条件：满足的条件：=2a.即即|mf1|-|mf2|=-2a.图图图图 两个定

4、点两个定点f1，f2双曲线的焦点双曲线的焦点;|f1f2|=2c双曲线的焦距双曲线的焦距.（1）2a0.双曲线定义双曲线定义|mf1|-|mf2|=2a ( 02a2c？不能不能. .若为若为0 0，曲线就是，曲线就是f f1 1f f2 2的垂直平分线了；的垂直平分线了；若若为为2a=2c,2a=2c,曲线应为两条射线；曲线应为两条射线；若为若为2a2c,2a2c,这样的曲线不存在这样的曲线不存在. .探究点探究点2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 建系建系. 如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xoy，使，使x轴经过两焦点轴经过两焦点f1，f2，y轴为线段轴为线段f1f2的垂直平分线

5、的垂直平分线.f2f1mxoy 设设m(x , y)为双曲线上任意一点为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为双曲线的焦距为2c(c0),则则f1(-c,0),f2(c,0)，又设点，又设点m与与f1，f2的距的距离的差的绝对值等于常数离的差的绝对值等于常数2a.2. 设点设点.3.列式列式由定义可知，双曲线就是集合：由定义可知，双曲线就是集合： p= m |mf1 | - | mf2| = 2a , 22222()() .xcyxcya 即即4.化简化简代数式化简得：代数式化简得：22222222()()yca xaa ca，222(),aca 两两边边同同除除以以得得222221.xyaca 由

6、双曲线的定义知，由双曲线的定义知，2c2a0,即即ca,故故c2-a20,令令c2-a2=b2,其中其中b0,代入上式，得：代入上式，得：2222100(,).xyabab 上面方程是双曲线的方程上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线我们把它叫做双曲线的标准方程的标准方程.它表示焦点在它表示焦点在x轴上，焦点分别是轴上，焦点分别是f1(-c,0),f2(c,0)的双曲线，这里的双曲线，这里c2=a2+b2.想一想：想一想：焦点在焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？什么？我们应该如何求解？2222100,).yxabab（定定 义义 方方

7、程程 焦焦 点点a,b,ca,b,c的的关系关系f（c，0）f（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|mf1|mf2|=2a,02a|f1f2| 椭椭 圆圆双曲线双曲线f（0，c）f（0，c）222210()xyabab222210()yxabab2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab【提升总结提升总结】例例 1 1 已已知双曲线两个焦点知双曲线两个焦点1( 5,0)f , ,2(5,0)f, ,双曲线双曲线上一上一点点p到到 ， 距离差的绝对值等于距离差的绝对值等于 6 6, , 求求双曲线双曲线的的标准标准方

8、程方程. . 1f2f解：解：因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x x轴上，所以设它的标准轴上，所以设它的标准方程为方程为2222100(,).xyabab因为因为2a=6,2c=10,2a=6,2c=10,所以所以a=3,c=5,a=3,c=5,所以所以2225316.b 因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为221916.xy例例2 已知已知a,b两地相距两地相距800 m,在在a地听到炮弹爆炸声比地听到炮弹爆炸声比在在b地晚地晚2 s,且声速为且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析分析: :首先根据题意首先根据题意, ,判断轨迹的形状判断轨

9、迹的形状. .由声速及由声速及a a，b b两处听到爆炸声的时间差两处听到爆炸声的时间差, ,可知可知a a，b b两处与爆炸点的两处与爆炸点的距离的差为定值距离的差为定值. . 这样，爆炸点在以这样，爆炸点在以a a，b b为焦点的为焦点的双曲线上双曲线上. .因为爆炸点离因为爆炸点离a a处比离处比离b b处远，所以爆炸点处远，所以爆炸点应在靠近应在靠近b b处的双曲线的一支上处的双曲线的一支上. .解解: : 如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xoy,xoy,使使a a，b b两点在两点在x x轴上，并且坐标原点轴上，并且坐标原点o o与线段与线段abab的中点重合的中点重

10、合. .xyopba设爆炸点设爆炸点p p的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，则，则3402680papb ，即即 2 2a a=680=680，a a=340.=340.ab800，又又所以所以 2c=800,c=400,2c=800,c=400,44 400bca ，2 22 22 2340268000,.papbx因因为为所所以以1(0).115 60044 400 xyx2222因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为【举一反三举一反三】1.若在若在a,b两地同时听到炮弹爆炸声两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点则炮弹爆炸点的轨迹是什么的轨迹是什么

11、?解解: : 爆炸点的轨迹是线段爆炸点的轨迹是线段abab的垂直平分线的垂直平分线. .2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢准确位置呢?解解: :再增设一个观测点再增设一个观测点c c，利用，利用b b，c c（或（或a a，c c）两处测）两处测得的爆炸声

12、的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .1已知两定点已知两定点f1(5,0)，f2(5,0)，动点，动点p满足满足|pf1|pf2|2a，则当，则当a3和和5时，时，p点的轨迹点的轨迹为为()a双曲线和一直线双曲线和一直线b双曲线和一条射线双曲线和一条射线c双曲线的一支和一条射线双曲线的一支和一条射线d双曲线的一支和一条直线双曲线的一支和一条直线c2.若方程若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在的曲线是焦点在y轴上的轴上的双曲线，则双曲线，则k .(-1, 1) 4m454n11697m16n1解得解得 m116