割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆周ppt课件

1、“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第n

2、nX211 1二、数列的定义二、数列的定义定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n留意：留意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,

3、)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放三、数列的极限三、数列的极限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 能否无限接近于某一能否无限接近于某一确定的数值确定的数值?假设是假设是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学言语如何用数学言语刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 经过上面演示实验的察看经过上面演示实验的察看

4、:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于

5、a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn假设数列没有极限假设数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.留意：留意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使数

6、列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即留意：留意：例例2.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 阐明阐明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,

7、关键是恣意给关键是恣意给定定 寻觅寻觅N,但不用要求最小的但不用要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从从而而有有aaxn a1 四、数列极限的性质四、数列极限的性质

8、1、有界性、有界性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对

9、一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx留意：有界性是数列收敛的必要条件留意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .2、独一性、独一性定理定理2 2 每个收敛的数列只需一个极限每个收敛的数列只需一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限独一故收敛数列极限独一.例例5.)1(1是是发发

10、散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不能够同时位于长度为不能够同时位于长度为1的区间内的区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx3、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意

11、抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 项项，显显然然，中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项，是是第第中中，一一般般项项在在子子数数列列留意：留意：例如，例如，定理定理3 3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限一样一样证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .NnnnKkk . axkn.limaxknk 证证毕毕五、小结五、小结数列数列: :研讨其变化规律

12、研讨其变化规律; ;数列极限数列极限: :极限思想、准确定义、几何意义极限思想、准确定义、几何意义; ;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、独一性、子数列的收敛性有界性、独一性、子数列的收敛性. .思索题思索题指指出出下下列列证证明明1lim nnn中中的的错错误误 证明证明要使要使,1 nn只需使只需使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思索题解答思索题解答 1nn)1ln(ln1 nn等价等价证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(

13、1 nn实践上就是不等式实践上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大 的值的值nnln从而从而 时，时，2ln)1ln( Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln(ln nn反而减少为反而减少为n2ln一、一、 利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 设数列设数列nx有界，又有界，又0lim nny， 证明：证明：0lim nnnyx. .练练 习习 题题1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细

14、，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，

15、割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，

16、割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与圆周割，那么与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察

17、数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时时