高考数学理课时跟踪检测【49】空间角的求法含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5课时跟踪检测(四十九)空间角的求法(分、卷，共2页)第卷：夯基保分卷1.如图所示，已知正方体abcd ­a1b1c1d1，e，f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，则ef和cd所成的角是()a60°b45°c30° d90°2在正方体abcd ­a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b.c. d.3(20xx·安徽六校联考)在三棱锥p ­abc中，pa平面abc，bac90°，d，e，f分别是棱

2、ab，bc，cp的中点，abac1，pa2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为()a. b.c. d.4(20xx·昆明模拟)如图，在四棱锥p ­abcd中，四边形abcd为平行四边形，且bc平面pab，paab，m为pb的中点，paad2.若ab1，则二面角b­ac­m的余弦值为()a. b.c. d.5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱abc­a1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为_6如图，在正四棱锥s ­abcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面

3、pac所成角为_7(20xx·全国课标卷)如图，三棱柱abc ­a1b1c1中，cacb，abaa1，baa160°.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值8(20xx·合肥一模)如图，在四棱锥p­abcd中，底面abcd是直角梯形，其中adab，cdab，ab4，cd2，侧面pad是边长为2的等边三角形，且与底面abcd垂直，e为pa的中点(1)求证：de平面pbc；(2)求二面角e­bd­a的余弦值第卷：提能增分卷1.(20xx·湖北

4、八校联考)如图，在aob中，已知aob，bao，ab4，d为线段ab的中点aoc是由aob绕直线ao旋转而成，记二面角b­ao­c的大小为.(1)当平面cod平面aob时，求的值；(2)当时，求二面角b­od­c的余弦值2(20xx·郑州模拟)如图，正三棱柱abc­a1b1c1的所有棱长都为2，.(r)(1)当时，求证：ab1平面a1bd；(2)当二面角a­a1d ­b的大小为时，求实数的值3(20xx·天津十二区县联考)如图，在三棱柱abc ­a1b1c1中，abac，顶点a1在底面abc上的

5、射影恰为点b，且abaca1b2.(1)证明：平面a1ac平面ab1b；(2)求棱aa1与bc所成的角的大小；(3)若点p为b1c1的中点，并求出二面角p­ab­a1的平面角的余弦值答 案第卷：夯基保分卷1选b以d为原点，分别以射线da，dc，dd1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐系系dxyz，设正方体的棱长为1，则d(0,0，0)，c(0,1,0)，e，f，(0,1,0)，cos，135°，异面直线ef和cd所成的角是45°.2选b以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，(0,1

6、，1)，设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.3.选c以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由abac1，pa2，得a(0，0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)，d，e，f，(0,0，2)，.设平面def的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2,0,1)，设pa与平面def所成的角为，则sin ，pa与平面def所成角的正弦值为，故选c.4选abc平面pab，adbc，ad平面pab，pa

7、ad，又paab，且adaba，pa平面abcd.以点a为坐标原点，分别以ad，ab，ap所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系a ­xyz.则a(0,0,0)，c(2,1,0)，p(0,0,2)，b(0,1,0)，m，(2,1,0)，求得平面amc的一个法向量为n(1，2,1)，又平面abc的一个法向量(0,0,2)，cosn，.二面角b ­ac ­m的余弦值为.5解析：不妨令cb1，则cacc12.可得o(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0.与的夹角即为直

8、线bc1与直线ab1的夹角，直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.答案：6解析：如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系o­xyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60°，直线bc与平面pac的夹角为90°60°30°.答案：30°7解：(1)证明：取ab的中点o，连接oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160°，故aa1b为等边三角形，

9、所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系o ­xyz.由题设知a(1,0,0)，a1(0, ，0)，c(0,0, )，b(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为.8解：(1)证明：如图1

10、，取ab的中点f，连接df，ef.在直角梯形abcd中，cdab，且ab4，cd2，所以bf綊cd，所以四边形bcdf为平行四边形，所以dfbc.在pab中，peea，affb，所以efpb.因为dfeff，pbbcb，所以平面def平面pbc.因为de平面def，所以de平面pbc.(2)取ad的中点o，bc的中点n，连接on，op，则onab.在pad中，papdad2，所以poad，po.因为平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，所以po平面abcd.如图2，以o为坐标原点，分别以oa，on，op所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则o(0,0,0)，a(1,0,

11、0)，d(1,0,0)，p(0，0，)，b(1,4,0)，所以(2,4,0)因为e为pa的中点，所以e，故.易知(0,0，)为平面abd的一个法向量设平面ebd的法向量为n(x，y，z)，由得令y1，则x2，z2，所以n(2，1，2)为平面ebd的一个法向量所以cos，n.设二面角e­bd ­a的大小为，由图可知，所以cos ，即二面角e ­bd ­a的余弦值为.第卷：提能增分卷1解：(1)如图，在平面aob内过b作beod于e，平面aob平面cod，平面aob平面codod，be平面cod，beco.又coao，co平面aob，cobo.boao，co

12、ao，二面角b­ao­c的平面角为boc，即.(2)如图，以o为原点，在平面obc内垂直于ob的直线为x轴，ob，oa所在的直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系o ­xyz，则a(0,0,2)，b(0,2,0)，d(0,1，)，c(，1,0)设n1(x，y，z)为平面cod的法向量，由得取z1，则n1(1，1)又平面aob的一个法向量为n2(1,0,0)，设二面角b ­od ­c的大小为，则cos .故二面角b ­od ­c的余弦值为.2解：(1)证明：取bc的中点为o，连接ao，因为在正三棱柱abc ­a1b

13、1c1中，平面abc平面cbb1c1，且abc为正三角形，所以aobc，ao平面cbb1c1.以o为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系o ­xyz，则a(0,0，)，b1(1,2,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，b(1,0,0)所以(1,2，)，(1,1，)，(2，1,0)因为·1230，·220，所以ab1da1，ab1db，又da1dbd，所以ab1平面a1bd.(2)由(1)得d(1,2，0)，所以(1,22，)，(2，2，0)，(1，2，)设平面a1bd的法向量n1(x，y，z)，平面aa1d的法向量n2(s，t，u)，由得平面a1bd的一个法向量n1(，1，)；同理可得平面aa1d的一个法向量n2(，0，1)，由|cosn1，n2|，解得，即为所求3解：(1)证明：a1b平面abc，a1bac，又abac，aba1bb，ac平面ab1b，ac平面a1ac，平面a1ac平面ab1b.(2)以a为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则c(2,0,0)，b(0,2,0)，a1(0,2,2