天津市高考数学二轮复习专题能力训练12数列的通项与求和文1214330

1、高考数学精品复习资料 2019.5专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.已知数列an是等差数列,a1=tan 225°,a5=13a1,设sn为数列(-1)nan的前n项和,则s2 016=() a.2 016b.-2 016c.3 024d.-3 024答案：c解析：a1=tan 225°=1,a5=13a1=13,则公差d=3,an=3n-2.又(-1)nan=(-1)n(3n-2),s2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.2.已知数列an的前n

2、项和为sn,且sn=n2+n,数列bn满足bn=(nn*),tn是数列bn的前n项和,则t9等于()a.b.c.d.答案：d解析：数列an的前n项和为sn,且sn=n2+n,当n=1时,a1=2;当n2时,an=sn-sn-1=2n,an=2n(nn*),bn=,t9=+=×=.3.已知数列an的前n项和sn=n2-2n-1,则a3+a17=()a.15b.17c.34d.398答案：c解析：sn=n2-2n-1,a1=s1=12-2-1=-2.当n2时,an=sn-sn-1=n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-1=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+

3、2n-1+2n-2-2n=2n-3.an=a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34.4.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(xr),且f(1)=,则数列f(n)(nn*)前20项的和为()a.305b.315c.325d.335答案：d解析：f(1)=,f(2)=+,f(3)=+,f(n)=+f(n-1),f(n)是以为首项,为公差的等差数列.s20=20×+×=335.5.已知数列an,构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列an的通项公式为()a.an=-&

4、#215;,nn*b.an=+×,nn*c.an=d.an=1,nn*答案：a解析：因为数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公比为的等比数列,所以an-an-1=,n2.所以当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+=-×.又当n=1时,an=-×=1,则an=-×,nn*.6.植树节,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 m. 答案：2

5、 000解析：设放在第x个坑边,则s=20(|x-1|+|x-2|+|20-x|).由式子的对称性讨论,当x=10或11时,s=2 000.当x=9或12时,s=20×102=2 040;当x=1或19时,s=3 800.smin=2 000 m.7.数列an满足an+1=,a11=2,则a1=. 答案：解析：由a11=2及an+1=,得a10=.同理a9=-1,a8=2,a7=,.所以数列an是周期为3的数列.所以a1=a10=.8.数列an满足a1+a2+an=2n+5,nn*,则an=. 答案：解析：在a1+a2+an=2n+5中用(n-1)代换n得a1+a

6、2+an-1=2(n-1)+5(n2),两式相减,得an=2,an=2n+1,又a1=7,即a1=14,故an=9.设数列an的前n项和为sn.已知s2=4,an+1=2sn+1,nn*.(1)求通项公式an;(2)求数列|an-n-2|的前n项和.解(1)由题意得则又当n2时,由an+1-an=(2sn+1)-(2sn-1+1)=2an,得an+1=3an.所以,数列an的通项公式为an=3n-1,nn*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,nn*,b1=2,b2=1.当n3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n3.设数列bn的前n项和为tn,则t1=2,t2=3.当n

7、3时,tn=3+-=,所以tn=10.(20xx全国,文17)已知等差数列an的前n项和为sn,等比数列bn的前n项和为tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若t3=21,求s3.解设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.联立和解得(舍去),因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,t3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则s3=21.当q=4时,由得d=-1,则s3=-6.11.

8、已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nn*),b1+b2+b3+bn=bn+1-1(nn*).(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为tn,求tn.解(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nn*).由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n2时,bn=bn+1-bn,整理得=,所以bn=n(nn*).(2)由(1)知anbn=n·2n,因此tn=2+2·22+3·23+n·2n,2tn=22+2·23+3·24+n·2n+1,所以tn-2tn=2+22+23+2n-

9、n·2n+1.故tn=(n-1)2n+1+2(nn*).二、思维提升训练12.给出数列,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是()a.4 900b.4 901c.5 000d.5 001答案：b解析：根据条件找规律,第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母的和为6,第50个1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有1项,分子、分母的和为3的有2项,分子、分母的和为4的有3项,分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次是:,第50个1是其中第50项,在数列中的序号为1+2+3+98+50=+50=4 901.13

10、.设sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=snsn+1,则sn=. 答案：-解析：由an+1=sn+1-sn=snsn+1,得-=1,即-=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,=-n,sn=-.14.设数列an的前n项和为sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3sn-sn+1+3,nn*.(1)证明:an+2=3an;(2)求sn.(1)证明由条件,对任意nn*,有an+2=3sn-sn+1+3,因而对任意nn*,n2,有an+1=3sn-1-sn+3.两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2.又a1=1,a2=2,所以

11、a3=3s1-s2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切nn*,an+2=3an.(2)解由(1)知,an0,所以=3,于是数列a2n-1是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列a2n是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.于是s2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=,从而s2n-1=s2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2-1).综上所述,sn=15.已知an是等比数列,前n项和为sn(nn*

12、),且-=,s6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nn*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n的前2n项和.解(1)设数列an的公比为q.由已知,有-=,解得q=2或q=-1.又由s6=a1·=63,知q-1,所以a1·=63,得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即bn是首项为,公差为1的等差数列.设数列(-1)n的前n项和为tn,则t2n=(-+)+(-+)+(-+)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n2.16.已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),nn*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式;(2)设bn=,nn*,求数列bn的前n项和.解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(kn*)时,an=a2k-1=2k-1=;当n=2