第八节函数的连续性与连续函数的运算74159

1、第八节第八节 函数的连续性与函数的连续性与 连续函数的运算连续函数的运算一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、连续函数的运算三、连续函数的运算一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量., )(,)1(1211221uuuuuuuuuuu 即即记为记为或改变量或改变量的增量的增量在在为为则称则称变到变到从从设变量设变量xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy .,),(,),()()2(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxuxxuxf .)(),()(0的

2、增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy )()( 00 xfxxf 可改写为可改写为 y2. .连续连续( (continuous) )的定义的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是定义定义1 1 设函数设函数 在在 内有定义，如内有定义，如果当自变量的增量果当自变量的增量 趋向于零时，对应的函趋向于零时，对应的函数的增量数的增量 也趋向于零，即也趋向于零，即 或或 , ,那末就称函数那末就称函数在点在点 连续，连续， 称为称为 的连续点的连续点. .)(xf),(0 xux y 0lim0 yx0)()(l

3、im000 xfxxfx)(xf)(xf0 x0 x定义定义2 设函数设函数 在在 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数 当当 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点 处的函数值处的函数值 , ,即即 那末就称函数那末就称函数 在点在点 连续连续. . )(xf),(0 xu)(xf0 xx 0 x)(0 xf)()(lim00 xfxfxx )(xf0 x定义定义3:定义定义 设函数设函数 在在 内有定义内有定义, , )(xf),(0 xu.| )()(|,|, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当称函数称函数 在点在点 连续连续. . )(xf0 x例例1 1

4、.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证)(lim0 xfx又又, 0)0( f.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, )0()(lim0fxfx xxx1sinlim0 , 0 .| )(|)(,)(020处连续处连续在在也也与与则则处连续时处连续时在在当函数当函数xxfxfxxf由定义由定义2可推得：可推得：3.单侧连续单侧连续;)(),()(lim,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxfxx 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在函数函数处连续处连

5、续在在函数函数xxfxxf.)(, )()(lim,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxfxx 例例1 1.0020002)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f .0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf),0(f ,0)0( f4. 连续函数连续函数( (continuous function) )与连续区间与连续区间.)(),(,),()(,)(),( ,),()(的连续区间的连续区间叫做叫做

6、内连续内连续在在则称函数则称函数连续连续内每一点内每一点且对且对内有定义内有定义在开区间在开区间如果函数如果函数xfbabaxfxfbabaxf.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba . ),()(bacxf 记为记为. ,)(bacxf 记为记为在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,称函数在该区间称函数在该区间上连续，或者叫做在该区间上的上连续，或者叫做在该区间上的连续函数连续函数.连续函数的图形是一条连续而不间断的

7、曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(0 x任取任取00sin)sin(xxxy )2cos(2sin20 xxx , 1)2cos(0 xx 2sin2xy 则则,x . 0,0yx 时时当当.sin0连续连续在在函数函数xxy ),(,000 xuxxx 使使取增量取增量.),(sin,0内连续内连续在在的任意性可知的任意性可知由由 xyx例例5 5.0, 0, 0, 0 , 2,sin)(,2处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxbxxfba解解xbxxfxxsinlim)(lim

8、00 , b )(lim)(lim200 xaxfxx , a , 2)0( f),0()00()00(fff 要使要使,2时时故当且仅当故当且仅当 ba.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 2 ba:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点 xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx. )()(lim)3(00 xfxfxx . )()(,)()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三

9、个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0处处满满足足下下列列条条件件之之一一在在点点函函数数xxf;)()1(0没有定义没有定义在点在点 xxf;)(lim)()2(00不存在不存在有定义但有定义但在点在点xfxxfxx. )()(lim,)(lim,)()3(0000 xfxfxfxxfxxxx 但但存在存在有定义有定义在点在点. )()(0或不连续点或不连续点的间断点的间断点为为则称点则称点xfx;0,|)()1为间断点为间断点 xxxxf20200 xx) f ( x ), x;sin xxx 为为间间断断点点21131111xx) f ( x

10、), x;xx 为为间间断断点点例如：例如：(1) 跳跃间断点跳跃间断点.)(),()(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例1 1.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy1.第一类间断第一类间断点点(2) 可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点

11、或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例2 2.00102sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例例3 3.224)(2处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxx 例例2 2.00102sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 1)0( f22sinlim)(lim00 xxxfxx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例2

12、中中, 2)0( f令令.0, 02, 02sin)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x如例如例3中中, 4)2( f令令.2, 24, 224)(2处连续处连续在在则则 xxxxxxf2. 第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在一个不存一个不存处的左、右极限至少有处的左、右极限至少有在点在点如果如果xfxxxf(1) 无穷间断点无穷间断点.)(,)(lim, )(lim)(00

13、00的无穷间断点的无穷间断点为函数为函数则称点则称点中至少有一个为无穷大中至少有一个为无穷大处处在点在点如果如果xfxxfxfxxfxxxx 例如例如,11)( xxf.)(1的无穷间断点的无穷间断点是是xfx 例例4 4.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxyxxfxx 00lim)(limxxfxx1lim)(lim00 .0为函数的无穷间断点为函数的无穷间断点 x,0 , (2) 振荡间断点振荡间断点.)(,)(lim, )(lim)(0000的振荡间断点的振荡间断点为函数为函数则称点则称点不为无穷大不为无穷大中至少有一个不存在且中至少有

14、一个不存在且处处在点在点如果如果xfxxfxfxxfxxxx 例例5 5.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为振荡间断点为振荡间断点 x注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,sin1:xy 如如.)(均为函数的间断点均为函数的间断点zkkx 间断点的分类：间断点的分类：第一类第一类间断点间断点第二类第二类间断点间断点间断点间断点可去可去间断点：间断点：跳跃跳跃间断点：间断点：无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点练习练习11

15、21212213102xxnnnnx( )f ( x )tan x()f ( x )x()f ( x )limx() ,x 讨讨论论下下列列函函数数的的间间断断点点，并并指指出出类类型型。三、连续函数的运算三、连续函数的运算1、四则运算的连续性、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf .),()()(0处也连续处也连续在点在点为常数为常数xxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在

16、其定义域内连续故故xxxx三角函数在其定义域内皆连续三角函数在其定义域内皆连续.例例.)(),(min)( ),(),(max)( ,)(),(00处也连续处也连续在点在点那么函数那么函数处连续处连续在点在点设函数设函数xxgxfxxgxfxxxgxf )()()()(21)(),(maxxgxfxgxfxgxf )()()()(21)(),(minxgxfxgxfxgxf 2、反函数的连续性、反函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1ar

17、csin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy同理：同理：反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.3、复合函数的连续性、复合函数的连续性.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量

18、代换xu 注意注意定理定理3是定理是定理4的特殊情况的特殊情况.定理定理4 4).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解4、初等函数的连续性、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调

19、且连续内单调且连续在在 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )4、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的任一区间区间定义区间是指包含在定义域内的任一区间区间. .例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e解解例例2 2.arctan)1cos(lim21x

20、xxx 求求1arctan0cos1 原式原式.4 解解1. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx注意注意2. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义在其定义域内不一定连续域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xd这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxd及及在点在点x= 0的邻域内没有定义的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间求求 f (x) 的连续区间的连续区间, 就是求就是求 f (x) 的

21、定义区间的定义区间.3. 分段函数的连续性：各段内部的连续性及分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段点处的连续性各分段点处的连续性.?),()(,001sin)(内连续内连续在在函数函数取何值时取何值时问问设设例例 xfbaxbexxxxfxa,)(,0连续连续取何值取何值不论不论时时当当xfax 解解;)(,0连续连续取何值取何值不论不论时时当当xfbx .0)(,处连续处连续在在使使的值的值故只需确定故只需确定 xxfba)(lim)00(0befxx ,1b )1sin(lim)00(0 xxfax 00a,1)0(bf 0 a不不存存在在.0)(,0不不连连续续在在时时 xxfa)

22、,0()00()00(fff 则应有则应有,01 b即即,0)(,0连连续续在在要要使使时时 xxfa.),()(,1,0连连续续在在时时当当 xfba,1 b四、小结四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点: :可去型可去型 , 跳跃型跳跃型 .第二类间断点第二类间断点: :无穷型无穷型 , 振荡型振荡型 . .间断点间断点 连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义

23、区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义. 反函数的连续性反函数的连续性.思考题思考题1、若、若)(xf在在0 x连续，则连续，则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否连续？又若否连续？又若| )(|xf、)(2xf在在0 x连续，连续，)(xf在在0 x是否连是否连续？续？ 2、设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性. 思考题思考题1解答解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfx

24、f 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续思考题思考题2解答解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf一

25、、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练练 习习 题题 一一三、三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变间断点的

26、类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续函数的定义使它连续 . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在rx 上上 . .四、四、 讨论函数讨论函数 nnnxxxf2211lim)( 的连续性，若有间断的连续性，若有间断点，判断其类型点，判断其类型 . .五、试确定五、试确定ba,的值的值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有无穷间断点）有无穷间断点0 x； （2 2）有可去间断点）有可去间断点1 x . .一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类

27、. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点； 2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0( kkx为第二类间断点为第二类间断点. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,练习题一答案练习题一答案), 2, 1, 0(2, 02,tan)(2 kkxkkxxxxf. .四、四、 1,0, 01,)(xxxxxxf1 x和和1 x为第一类间断点为第一类间断点. .五、五、(1)(1); 1, 0 ba (2) (2)eba , 1. .一、一、

28、 填空题：填空题：1 1、 43lim20 xxx_. .2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、设、设,0,0,)( xxaxexfx 当当 a_时，时，)(xf在在 ),( 上连续上连续 . .练练 习习 题题 二二7 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. .四、四、 设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，试证函数，