课件84多元复合函数求导法则

1、第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分 形式不变性形式不变性一、链式法则一、链式法则定理定理 dtdvvzdtduuzdtdz 且其导数可用下列公式计算且其导数可用下列公式计算 ( ),( )zftt 则复合函数则复合函数在对应点在对应点 t 可导，可导，),(vufz ),(vu函数函数在对应点在对应点有连续偏导数，有连续偏导数，( )ut )(tv 如果函数如果函数及及都在点都在点t 可导，可导， 一元一元:( ),( )yf uux 链式法则链式法则ddddddyy

2、uxuxuvtz( ),zzzuvouv( )zzuzvotutvttdudtd vd t证证()( ),uttt 则则);()(tttv tt 设设 有有增增量量， .z duz dvu dtvdt22()() )uv ()ot22()() uvtt 0t0 时时, ,取取“”号号0t 当当时时，由于函数由于函数),(vufz 在点在点故可微，即故可微，即),(vu有连续偏导数，有连续偏导数，0limtdzzdtt dtdvvzdtduuzdtdz 例例1 设设 而而2,xyze ( )yt sin ,xt 其中其中 可导，求可导，求( ) t .dzdtxytzdzz dxz dydtx

3、dty dt 解解22cos( 2)( )xyxyetet 2cos2( )xyett ( , ),( ),( )zf u v ut vtdtdvvzdtduuzdtdz 1. .上定理的结论可推广到上定理的结论可推广到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz推广推广)(),(),(tttfz 中间变量多于两个的情况中间变量多于两个的情况: :,zzuzvxu xvx yvvzyuuzyz 在对应点在对应点 的两个的两个),(yx偏导数存在偏导数存在, ,且可用下列公式计算且可用下列公式计算: : ( , )ux y ),(yx

4、v ),(yx如果如果及及都在点都在点),(vufz 具有对具有对x和和y的偏导数，的偏导数，且函数且函数 ( , ),( , )zfx yx y 则复合函数则复合函数),(vu在对应点在对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数， 2. .上定理还可推广到上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：uvxzy复合结构如图示复合结构如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ( , ),( , )zfx yx y 链式法则的规律：链式法则的规律：“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”解解 xz uzxu vzxv 1cossi

5、n veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu uvxzy例例2 zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ),(yx在对应点在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算的两个偏导数存在，且可用下列公式计算链式法则的规律：链式法则的规律： “连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”( , ),vx y ( , ),ux y ( , )wx y 设设),(yx都

6、在点都在点具有偏导数，具有偏导数，( , ,)zf u v w 在在则复合函数则复合函数对应点对应点( , ,)u v w具有连续偏导数，具有连续偏导数，),(yxufz ( , )ux y 即即 ( , ), , ,zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中两者的区别两者的区别yyxzxu区别类似区别类似3.中间变量中间变量既有一元函数既有一元函数,也有多元函数的情况也有多元函数的情况：解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvtzt例例3 解解令令, zyxu ;xy

7、zv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf zywxvu 例例4 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff 例例5 设设( , )uf x y 二阶偏导数连续二阶偏导数连续,求下列求下列表达式在极坐标系下的形式表达式在极坐标系下的形式222222(1) ()() , (2

8、)uuuuxyxy解解cos,sin ,xy22,arctan,yxyx则则ux ux ux xyu已知已知uy uy uy ( , ).uf 于是于是复合函数复合函数(当当 在二、三象限时在二、三象限时, ) arctanyx u xr ,xx x 2yx 21()yx 22yxy 2u y sincosuu (1)ux ux ux 22,arctan,xyyx u yr ,yy y 1x21()yx 22xxy 2u x cossinuu 22,arctan,xyyx uuyy uy sincosuuux 22()()uuxy2221()()uusincosuuux 22()uuxxx 2

9、222(2)uuxy ,ux sin( ) sincosuu ( ) ux ( ) sincosuu cos sin ux ( ) cos 222cosu 2sincosu 2222sinu 22sincosu 2sinu 2 xyu利用已有公式利用已有公式22uy 2222uuxy 21 22ux 22222222sin cossincos2uuu 222sin cossinuu222sin coscosuu同理可得同理可得22u 2221u 1u 22()uu 22222222sin coscossin2uuu 全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论z是自变量是自变量x,

10、y的函数或中间变量的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 例例5 设设 而而cos ,uzev ,uxy vxy,.zzxy求求解解(cos )udzd ev cos( sin )uuevduev dv (),dud xyydxxdy (),dv d x ydx dy (cossin )(cossin )uuuudzev y ev dxev x ev dy dyyzdxxzdz cos() sin()xyeyxyxy dx cos()sin()xyexxyxy dy比较比较1、链式法则（连线相乘，分线相加）、链式法则（连线相乘，分线相加）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别注意特殊情况：（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）函数的复合结构的层次）小 结zzdzdudvuv思考题思考题),(xvufz ( ),ux )(xv 设设，而，而.dzdx求求xfdxdvvfdxduufdxdz dxdzxf 试问试问与与是否相同？为什么？是否相同？为什么？uzvxx xxvuxdxduufdxdz),(.),(),