2015天津市高考数学试卷(理科)答案与解析资料

1、学习资料精品文档2015年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （5 分）（2015?天津）已知全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合 A=2 , 3, 5, 6, 集合 B=1 , 3, 4, 6, 7,则集合 AP?UB=（）A. 2, 5B. 3, 6C. 2, 5, 6D. 2, 3, 5, 6, 8考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：由全集U及B,求出B的补集，找出 A与B补集的交集即可；解答：解：二.全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合 A=2

2、, 3, 5, 6,集合 B=1 , 3,4, 6, 7,?UB=2 , 5, 8,则 A n?UB=2 , 5.故选：A .点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.（叶力02. （5分）（2015?天津）设变量x, y满足约束条件 卜一,则目标函数z=x+6y的 12其十7 - 340最大值为（）A. 3B. 4C.18D. 40考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.z的最分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 大值.解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由 z=x+6y 得 y= - -Ax+z,

3、G 6平移直线y= - x+z,由图象可知当直线 y= - "x+"z经过点A时，直线y=-x+jz的截距最大, 此时z最大.fx-y+3=0. o f x=0由，解得/ ，即A (0, 3)12/厂3=。1y=3将A （0, 3）的坐标代入目标函数 z=x+6y , 得z=3 >6=18 .即z=x+6y的最大值为18.故选：C.点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.3. （5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S的值为（）开始S=20, i =1i=2i/输出，/转

4、束* A. - 10B. 6C. 14D. 18考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i, S的值，当i=8时满足条件i>5,退出循环，输出S的值为6.解答：解：模拟执行程序框图，可得S=20, i=1i=2 , S=18不满足条件i>5, i=4, S=14不满足条件i>5, i=8, S=6满足条件i>5,退出循环，输出 S的值为6.故选：B.点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i, S的值是解题的关键，属于基础题.4. （5 分）（2015?天津）设 x 贝，贝 U |X2|<1

5、”是 X2+x 2>0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：简易逻辑.分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解答：解：由 |X2|<1"得 1vxv3,由 x2+x -2>0 得 x>1 或 xv 2,即仅-2|<1”是x2+x-2>0”的充分不必要条件，故选：A .点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础.0 。中，M、N是弦AB的CN=3 ,则线段NE的长为（，弦CD, CE分别经5. （5分）（2015以津）如

6、图，在过点 M , N,若 CM=2 , MD=4 ,C. 10考点：与圆有关的比例线段. 专题：选作题；推理和证明. 分析：由相交弦定理求出AM 解答：解：由相交弦定理可得2M=AM ?2AM ,AM=2 ,MN=NB=2 ,又 CN?NE=AN ?NB , 3XNE=4X2,NET故选：A .点评：本题考查相交弦定理，青,再利用相交弦定理求 NE即可.CM?MD=AM ?MB ,，比较基础.6. （5分）（2015?天津）已知双曲线二j=1 （a> 0, b>0）的一条渐近线过点 （2,心）,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4bx的准线上，则双曲线的方程为（）考点：双曲线的标准

7、方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出 a、b,即可得到双曲线的标准方程.解答:解：由题意，=,耳2抛物线y2=4 J7x的准线方程为x=j,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4/7 x 的准线上，c=/r a2+b2=c2=7, a=2, b= :I22.双曲线的方程为5一勺二1-故选：D.点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基 础题.7. (5分)(2015?天津)已知定义在 R上的函数f (x) =2|x

8、 m|- 1 (m为实数)为偶函数，记 a=f (log0.53), b=f (log25), c=f (2m),贝 U a, b, c 的大小关系为()A. avbvcB. av c< bC. cv a< bD. cvbv a考点：函数单调性的性质.专题：函数的性质及应用.分析：根据f(x)为偶函数便可求出 m=0,从而f (x)=2|x|-1,这样便知道f(x)在0, +8) 上单调递增，根据f(x)为偶函数，便可将自变量的值变到区间0,+°°)上：a=f( |log0.53|), b=f (log25), c=f (0),然后再比较自变量的值，根据 f (

9、x)在0, +°°)上的单调性 即可比较出a, b, c的大小.解答：解：:f (x)为偶函数；1. f (- x) =f (x);.2| x m| 1=2|x m| 1；|- x - m|=|x m|;(-x- m) 2= (x- m) 2；mx=0;m=0;f (x) =2|x| - 1 ；f (x)在0, +8)上单调递增，并且 a=f (|log0.53) =f (log23), b=f (log25), c=f (0)；0V log23vlog25;cv a< b.故选：C.点评：考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量

10、的值变到区间0, +8)上，根据单调性去比较函数值大小.对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用.,函数 g (x) =b - f (2 x),8. (5分)(2015?天津)已知函数f (x)=其中bCR,若函数y=f (x) - g (x)恰有4个零点，则b的取值范围是(+°°)4B ,(8,C(0D.2)4考点：根的存在性及根的个数判断.专题：创新题型；函数的性质及应用.分析：求出函数y=f (x) - g (x)的表达式，构造函数 h (x) =f (x) +f (2-x),作出函数 h (x)的图象，利用数形结合进行求解即可.解答：解：.g (

11、x) =b -f (2 - x),1. y=f (x) - g (x) =f (x) - b+f (2-x),由 f (x) b+f (2 x) =0,得 f (x) +f (2x) =b,设 h (x) =f ( x) +f (2 - x),若x磅，则-x%, 2-x或，则 h (x) =f (x) +f (2-x) =2+x+x2,若0a及，贝1 2<- x双 0<2-x2,贝U h (x) =f (x) +f (2-x) =2 - x+2 - |2- x|=2 - x+2 - 2+x=2 , 若 x>2, - x<0, 2-x<0,贝U h (x) =f (

12、 x) +f (2x) = (x2) 2+2 |2 x|=x25x+8 .即 h (x) = 2,1 - 5x+8j x>2作出函数h (x)的图象如图：当 x磷时，h (x) =2+x+x2= (x+看)2当 x>2 时，h (x)=x2 - 5x+8= (x-至)2/ J 24 4'故当b时，h (x) =b,有两个交点,4当b=2时，h (x) =b,有无数个交点，由图象知要使函数 y=f (x) - g (x)恰有4个零点, 即h (x) =b恰有4个根，则满足jvbv 2, 同故选：D.点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是

13、解 决本题的关键.二.填空题（每小题 5分，共30分）9. （5分）（2015?天津）i是虚数单位，若复数（1-2i） （a+i）是纯虚数，则实数 a的值为-2 .考点：复数的基本概念.专题：数系的扩充和复数.分析：由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于。求得a的值.解答:解：由(1-2i) (a+i) = (a+2) + (1-2a) i 为纯虚数,a= - 2.故答案为：-2.点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题.m）,则该几何体的体积为10. （5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位:处m3.3 -A14C 1山离

14、视图俯视囹考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出 它的体积.解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为 1,高为2,圆锥底面圆的半径为 1,高为1;，该几何体的体积为V几何体二2X3兀12X1+兀42?238兀.3故答案为：包兀.回点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目.11. （5分）（2015?天津）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为考点：定积分在求面积中的应用.专题：计算题；导数的概念及应用.

15、分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为1,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1,积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积 S=£1 （x-x2） dx而 61 (x x2) dx= (y2 - t3)曲边梯形的面积是4-4 6 故答案为:-4-5点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用 定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数.12. （5分）（2015?天津）在（x-L） 6的展开式中，x2的系数为也_.4瓮一18一考点：

16、二项式定理的应用.专题：计算题；二项式定理.分析：在二项展开式的通项公式中，令x的哥指数等于2,求出r的值，即可求得x2的系数.解答：解：（x-A） 6的展开式的通项公式为 Tr+i=c" （x） 6 r? （-A）r= （-_） r?c，？x64 工64t 462r,令6- 2r=2 ,解得r=2, 展开式中x2的系数为小心， M 6 16故答案为：理.16点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数， 属于中档题.13. （5分）（2015?天津）在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知ABC 的面积为3/15, b

17、- c=2, cosA=-,则a的值为 8 .4考点：余弦定理.专题：解三角形.'析,由 c0sA=3，ac（0,同，可彳导 sinA= .口 目2人.禾用 saabc =k>csinA =3VT5,化为bc=24,又b-c=2,解得b, c.由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA即可得出.解答：解：. A （0,兀），sinA=JT二''' SaABC=bcsLnA =4 乂，bc= 3V15,化为 bc=24,又 b c=2,解得 b=6, c=4.由余弦定理可得：a2=b2+c2 2bccosA=36+16 48X 1 -工）=64.解得a

18、=8.故答案为：8.点评：本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. （5 分）（2015?天津）在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB / DC, AB=2 , BC=1 , Z ABC=60 °,动 点E和F分别在线段BC和DC上，且位=菽,而=则标涵的最小值为曰一 考平面向量数量积的运算.点：专创新题型；平面向量及应用.题：分 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于入的代数式，根据具体的析：形式求最值.解一., 解：由题意，得到 AD=BC=CD=1 ,所以他?M=(AB + BE)?(AD + D

19、F)=(AB+人 BC)=二I '上二=2 M ><Cos60°+ 1 M >Cos60°+9入X2M+! M X91 XCos120°=1+寺品根辨卷(当且仅当 上1时等号成立)2 9 h故答案为:318本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是评：正确表示所求，利用基本不等式求最小值.三.解答题(本大题共 6小题，共80分)15. (13 分)(2015以津)已知函数 f (x) =sin2x-sin2 (x-) , xCR.(I )求f (x)的最小正周期；(n )求f (x)在区间-三，JL内的最

20、大值和最小值.34考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值.分析:解答:专题：三角函数的求值.(I )由三角函数公式化简可得f (x) =-lsin (2x- -),由周期公式可得;(n)由x-,工结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值.34解：(I)化简可得 f (x) =sin2x - sin2 (x-)=7； (1 - cos2x) - 7j1 - cos (2x -=-j-j (1 - cos2x - 1 ri-i>x+率in2x)，1 c 4 c、(-cos2x+-sin2x)弓sin (2x -7TJ，f (x)的最小正周期丁二苛L-J=兀

21、;sinxq-工，2L, 34_ 兀、一2x-) QT,6.f (x)在区间-三，工内的最大值和最小值分别为退，JL3442点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题.16. (13分)(2015?天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员 5名，其中 种子选手3名，从这8名运动员中随机选择 4人参加比赛.(I )设A为事件 选出的4人中恰有2名种子选手，且这 2名种子选手来自同一个协会 ”, 求事件A发生的概率；(n )设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的

22、分布列和数学期望.考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.专题：概率与统计.分析：(I )利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；(n)随机变量X的所有可能取值为1,2, 3, 4,由古典概型概率计算公式求得概 率，列出分布列，代人期望公式求期望.解答：-二. .解：(I )由已知，有P (A) = Jq 35事件A发生的概率为上；(n )随机变量X的所有可能取值为1,2, 3, 4. k 飞L 3P (X=k) = (k=1 , 2, 3, 4).然，随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P -.147 7 14随机变量X的数

23、学期望 E (X) =1/焉+2><：+3乂*十4><击!.点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数 学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题.17. (13分)(2015以津)如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，侧棱 AAU底面ABCD , AB ±AC , AB=1 , AC=AA 1=2, AD=CD=返,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点.(I )求证：MN /平面ABCD(n )求二面角Di - AC - B1的正弦值；（出）设E为棱A1B1上的点，若直

24、线NE和平面ABCD所成角的正弦值为g求线段A1E的长.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角.专题：空间位置关系与距离；空间角.分析：（I ）以A为坐标原点，以 AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与 福的数量积为0,即得结论；（II ）通过计算平面 ACD i的法向量与平面 ACB 1的法向量的夹角的余弦值及平方关 系即得结论；1_=HI（出）通过设人£=增津，利用平面ABCD的一个法向量与 曲的夹角的余弦值为3计算即可.解答：（I ）证明：如图，以 A为坐标原点，以 AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、

25、z 轴建系，0), D (1, - 2, 0),贝U A (0, 0, 0), B (0, 1,0), C (2, 0,A1 (0, 0, 2), B1 (0, 1, 2), C1 (2, 0,又“、N分别为B£、D1D的中点，.M2), D1 (1 , - 2, 2), (1,1), N (1, -2, 1).由题可知：n= （0, 0, 1）是平面ABCD的一个法向量，而二（0,0）,2 n?MN=0 , MN ?平面 ABCD , MN / 平面 ABCD ;(n )解：由(I)可知：AD= (1, - 2, 2), AC= (2, 0, 0), AB1 =(。，1, 2),设

26、X（x, y, z）是平面ACD 1的法向量,nr AD1二0x - 2y+2z=02x=0取 z=1 ,得 H= ( 0, 1, 1),设0= （x, y, z）是平面ACB1的法向量,npABj=On* AC=Ov+2e=0取二 0取 z=1 ,得 口= ( 0, 2, 1),10.二面角D1 - AC - B1的正弦值为 阳 叫non（出）解：由题意可设吊忑=4瓦，其中入q。，i,E= (0, ' 2) , ME= (- 1 , H2, 1),又片二（。，。，1）是平面 ABCD的一个法向量,.3福=尊巴=,1=1|NE | n | 7（ D Z+ （X+2） 2+i2 3整理，

27、得 落4入-3=0,解得 后5-2或-2-齿（舍）， 线段A1E的长为沂-2.点评：本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用 空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意 解题方法的积累，属于中档题.*18. （13分）（2015以津）已知数列an满足an+2=qan （q为实数，且q力），n CN , a1=1, a2=2,且a2+a3, a3+a4, a4+a5成等差数列（1）求q的值和an的通项公式；，、1-二*（2）设bn=, n CN ,求数列bn的刖n项和.目2rL - 1考点：数列的求和.分析:解答:（1）通过 an

28、+2=qan、a1、a2,可得 a3、a5、a4,利用 a2+a3, a3+a4, a4+a5成等差数列, 计算即可；（2）通过（1）知bn=, nCN*,写出数列bn的前n项和Tn、2Tn的表达式, 厂利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.斛：（1） . an+2=qan （q 为头数，且 q 力），nCN , a1=1 , a2=2, a3=q, a5=q2, a4=2q,又 a2+a3, a3+a4, a4+a5 成等差数列，2 - 2X3q=2+3q+q ,即 q2- 3q+2=0,解得q=2或q=1 （舍），12 *n=2k, ktN*(2)由(1)bnJ-i记数列bn的前贝

29、U Tn=1+2?-+3n项和为Tn,+ + (n1)2Tn=2+2+3?+4?-+5?-+-+ (n-222231)2n 3+n? 1L点评:两式相减，得Tn=3+二+. + 知- 0)=3+=3+1 21 15 n2n-2 2n=4 一严- 1本题考查求数列的通项与前1+ -+-尸-2n?一.2nl一n?n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.219. （14分）（2015?天津）已知椭圆 三ab2=1 (a>b>0)的左焦点为 F ( - c, 0),离心率，点M在椭圆上且位于第一象限，直线 FM被圆x2+y234截得的线段

30、的长为c,4 VI|FM|=湛9（I ）求直线FM的斜率;an=<（n）求椭圆的方程；（出）设动点P在椭圆上，若直线 fp的斜率大于 寸万，求直线op （。为原点）的斜率的取 值范围.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（I ）通过离心率为 Y5,计算可得a2=3c2、b2=2c2,设直线FM的方程为y=k （x+c）, 3利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（II ）通过联立椭圆与直线 FM的方程，可得 M （c, 一至c）,利用|FM|二3司计算即 331可；（m ）设动点P的坐标为（x, y）,分别联立直线

31、FP、直线OP与椭圆方程，分xC （2, - 1）与xC （ - 1, 0）两种情况讨论即可结论.阳解答：解：（I） 离心率为乂£=匕， 2a2=3b2, -a2=3c2, b2=2c2,设直线FM的斜率为k （k>0）,则直线FM的方程为y=k （x+c）, ,2 直线FM被圆x2+y2=-y截得的线段的长为 c, 圆心（0,0）到直线 FM的距离d= : ,解得,即直线FM的斜率为叵,（n）由（I）得椭圆方程为:J+上=1 ,直线FM的方程为3c2 27联立两个方程，消去 y,整理得3x2+2cx - 5c2=0,解得x= _c,或*=5 J丁点 M 在第一"象限

32、，M ( c, cc), .|FM尸学，. J ,(竽c - 0 ) G=P，解得 c=1,a2=3c2=3, b2=2c2=2,即椭圆的方程为（出）设动点P的坐标为（x, y）,直线FP的斜率为t, F ( 1, 0), ，t=¥ _ 0 rr,即 y=t (x+1) (xa 1),x+1'产t Ck+i)联立方程组/ 2,消去 y 并整理，得 2x2+3t2 (x+1) 2=6,+-=13 2又直线FP的斜率大于 瓜6-2 JG+1 ) *>72,解得一或一1 V XV 0 ,设直线OP的斜率为 m,得m=/，即y=mx-1)时，有 y=t (x+1) <0,

33、因此 m>0,武(-亍当 x C ( - 1, 0)时，有 y=t (x+1 ) > 0,因此 m<0,m ( 8,综上所述，直线 op的斜率的取值范围是：(-8,-2学)u(¥，¥b.点评：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能 力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题.20. (14 分)(2015以津)已知函数 f (x) =nx-xn, xCR,其中 nCN?,且 n注.(I )讨论f (x)的单调性；(n )设曲线y=f (x)

34、与x轴正半轴的交点为 P,曲线在点P处的切线方程为y=g (x),求 证：对于任意的正实数 x,都有f (x)可(x);(出)若关于x的方程f(x) =a (a为实数)有两个正实数根 x1，x2,求证：|x2-x1|v+2.1 - n考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：压轴题；创新题型；导数的概念及应用；导数的综合应用.分析：(I )由f (x) =nx- xn,可得f' (x),分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得 函数的单调性.(n)设点P的坐标为(xc, 0),则可求x0=n I'T ,，仃0) =n-n2,可求g (x)=f'

35、 (x0) ( x - x0), F ' (x) =f' (x) - f' (x0).由 f ' (x) = - nxn 1+n 在(0, +°0)上 单调递减，可求 F (x)在C (0, x0)内单调递增，在(x。，+8)上单调递减，即可 得证.(出)设xia2,设方程g (x) =a的根为工；,由(n )可得x2Q :.设曲线y=f (x)在原点处的切线方程为 y=h (x),可得h (x) =nx,设方程h (x) =a的根为夏,可* 1得 x： <xi，从而可得：x2 xix： x； =+ 5 ,由 n或，即 2n 1= (1+1) n1工 i 一 n uI 1 11 m+C，_ =1+n T=n ,推得：2'11rLT=x0,即可得证.解答:(本题满分为14分)解：(I )由 f (x) =nx- xn,可得 f' (x) =n- nxn 1=n (1 - xn 1),其中 n CN?,且 n2 下面分两种情况讨论：(1)当n为奇数时，令f' (x) =0,解得x=1，或x= - 1,当x变化时，f'