高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版必修4

1、人教版高中数学必修精品教学资料1.2.1任意角的三角函数(一)学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一任意角的三角函数使锐角的顶点与原点o重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点p,作pmx轴于m,设p(x,y),|op|r. 思考1角的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin ,cos ,tan .思考2对确定的锐角,sin ,cos ,tan 的值是否随p点在终边上的位

2、置的改变而改变？答案不会.因为三角函数值是比值,其大小与点p(x,y)在终边上的位置无关,只与角的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.思考3在思考1中,当取|op|1时,sin ,cos ,tan 的值怎样表示？答案 sin y,cos x,tan .梳理(1)单位圆在直角坐标系中,我们称以原点o为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.(2)定义在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点p(x,y),那么：y叫做的正弦,记作sin ,即sin y；x叫做的余弦,记作cos ,即cos x；叫做的正切,记作tan ,即tan (x0).对于确定的角,上述三个值都是唯一确定的

3、.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角,sin ,cos ,tan 都有意义吗？答案由三角函数的定义可知,对于任意角,sin ,cos 都有意义,而当角的终边在y轴上时,任取一点p,其横坐标x都为0,此时无意义,故tan 无意义.梳理三角函数的定义域函数名定义域正弦函数r余弦函数r正切函数知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于

4、点p(x,y),则sin y,cos x,tan .当为第一象限角时,y>0, x>0,故sin >0,cos >0,tan >0,同理可得当在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.梳理记忆口诀：“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.知识点四诱导公式一思考当角分别为30°,390°,330°时,它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数值相等.梳理诱导公式一sin(k·2)sin ,cos(k·2)cos ,tan(k·2)tan ,其中kz.类型一三角

5、函数定义的应用命题角度1已知角终边上一点坐标求三角函数值例1已知终边上一点p(x,3)(x0),且cos x,求sin ,tan .解由题意知r|op|,由三角函数定义得cos .又cos x,x.x0,x±1.当x1时,p(1,3),此时sin ,tan 3.当x1时,p(1,3),此时sin ,tan 3.反思与感悟(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.在的终边上任选一点p(x,y),设p到原点的距离为r(r>0),则sin ,cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时,

6、用该方法更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1已知角的终边过点p(3a,4a)(a0),求2sin cos 的值.解r5|a|.若a>0,则r5a,角在第二象限,sin ,cos ,2sin cos 1.若a<0,则r5a,角在第四象限,sin ,cos ,2sin cos 1.综上所述,2sin cos ±1.命题角度2已知角终边所在直线求三角函数值例2已知角的终边在直线y3x上,求10sin 的值.解由题意知,cos 0.设角的终边上任一点为p(k,3k)(k0),则xk,y3k,r |k|.(1)当k&

7、gt;0时,rk,是第四象限角,sin ,10sin 10×3330.(2)当k<0时,rk,是第二象限角,sin ,10sin 10×3×()330.综上所述,10sin 0.反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a,b),则对应角的三角函数值分别为sin ,cos ,tan .跟踪训练2已知角的终边在直线yx上,求sin ,cos ,tan 的值.解因为角的终边在直线yx上,所以可设p(a,a)(a0)为角终边上任意一点,则r2|a|(a0).若a>0,则为第

8、一象限角,r2a,所以sin ,cos ,tan .若a<0,则为第三象限角,r2a,所以sin ,cos ,tan .类型二三角函数值符号的判断例3(1)若是第二象限角,则点p(sin ,cos )在()a.第一象限 b.第二象限c.第三象限 d.第四象限答案d解析为第二象限角,sin 0,cos 0,点p在第四象限,故选d.(2)确定下列各三角函数值的符号.sin 182°；cos(43°)；tan.解182°是第三象限角,sin 182°是负的,符号是“”.43°是第四象限角,cos(43°)是正的,符号是“”.是第四象限

9、角,tan是负的,符号是“”.反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀：一全正,二正弦,三正切,四余弦.跟踪训练3(1)已知点p(tan ,cos )在第三象限,则是第 象限角.答案二解析由题意知tan <0,cos <0,是第二象限角.(2)判断下列各式的符号.sin 145°cos(210°)；sin 3·cos 4·tan 5.解145°是第二象限角,sin 145°0.210°360°150

10、6;,210°是第二象限角,cos (210°)0,sin 145°cos(210°)0.3452,sin 30,cos 40,tan 50,sin 3·cos 4·tan 50.类型三诱导公式一的应用例4求下列各式的值.(1)sin(1 395°)cos 1 110°cos(1 020°)sin 750°；(2)sincos·tan 4.解(1)原式sin(4×360°45°)cos(3×360°30°)cos(3×

11、;360°60°)sin(2×360°30°)sin 45°cos 30°cos 60°sin 30°××.(2)原式sincos·tan(40)sincos×0.反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2间的三角函数,也可把大于2的角的三角函数化为0到2间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”.跟踪训练4求下列各式的值.(1)costan；(2)sin 810°tan 765°cos 360°.解(1)原式costancos

12、tan1.(2)原式sin(90°2×360°)tan(45°2×360°)cos 360°sin 90°tan 45°11111.1.已知角的终边经过点(4,3),则cos 等于()a. b.c. d.答案d解析由题意可知x4,y3,r5,所以cos .故选d.2.cos()等于()a. b.c. d.答案c解析cos()cos(2)cos .3.若点p(3,y)是角终边上的一点,且满足y<0,cos ,则tan 等于()a. b.c. d.答案d解析cos ,5,y216,y<0,y4,t

13、an .4.当为第二象限角时,的值是()a.1 b.0c.2 d.2答案c解析为第二象限角,sin >0,cos <0.2.5.已知角的终边上有一点p(24k,7k),k0,求sin ,cos ,tan 的值.解当k>0时,令x24k,y7k,则有r25k,sin ,cos ,tan .当k<0时,令x24k,y7k,则有r25k,sin ,cos ,tan .1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角的三角函数值的符号只与角所在象限有关,角所在象限确定,则三角函数值的符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.3.

14、终边相同的三角函数值一定相等,但两个角的某一个函数值相等,不一定有角的终边相同,更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(1 380°)的值为()a. b.c. d.答案d解析sin(1 380°)sin(360°×460°)sin 60°.2.已知是第二象限角,p(x,)为其终边上一点,且cos x,则x的值为()a. b.±c. d.答案d解析cos x,x0或2(x25)16,x0或x23,x0(是第二象限角,舍去)或x(舍去)或x.故选d.3.已知sin <0,且tan <0,则为()a.第一象限

15、角 b.第二象限角c.第三象限角 d.第四象限角答案d4.已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为()a. b.c. d.答案d解析sin ,cos .角的终边在第四象限,且tan ,角的最小正值为2.5.已知角的终边经过点p(3,4t),且sin(2k)(kz),则t等于()a. b.c. d.答案a解析sin(2k)sin 0,则的终边在第三或第四象限.又点p的横坐标为正数,所以是第四象限角,所以t0.又sin ,则,所以t.6.某点从(1,0)出发,沿单位圆x2y21按逆时针方向运动弧长到达q点,则q点的坐标为()a. b.c. d.答案a解析由三角函数定义可得q,cos ,sin.

16、7.如果点p(sin cos ,sin cos )位于第二象限,那么角的终边在()a.第一象限 b.第二象限c.第三象限 d.第四象限答案c解析由题意知sin cos 0,且sin cos 0,为第三象限角.8.若角的终边在直线y2x上,则sin 等于()a.± b.±c.± d.±答案c二、填空题9.tan 405°sin 450°cos 750° .答案解析tan 405°sin 450°cos 750°tan(360°45°)sin(360°90°)

17、cos(720°30°)tan 45°sin 90°cos 30°11.10.使得lg(cos tan )有意义的角是第 象限角.答案一或二解析要使原式有意义,需cos tan >0,即需cos ,tan 同号,所以是第一或第二象限角.11.若角的终边与直线y3x重合且sin <0,又p(m,n)是终边上一点,且|op|,则mn .答案2解析y3x且sin <0,点p(m,n)位于y3x在第三象限的图象上,且m<0,n<0,n3m.|op|m|m,m1,n3,mn2.12.函数y的值域是 .答案4,0,2解析由si

18、n x0,cos x0知,x的终边不能落在坐标轴上,当x为第一象限角时,sin x>0,cos x>0,sin xcos x>0,y0；当x为第二象限角时,sin x>0,cos x<0,sin xcos x<0,y2；当x为第三象限角时,sin x<0,cos x<0,sin xcos x>0,y4；当x为第四象限角时,sin x<0,cos x>0,sin xcos x<0,y2.故函数y的值域为4,0,2.三、解答题13.化简下列各式：(1)sin cos cos(5)tan ；(2)a2sin 810°b2cos 900°2abtan 1 125°.解(1)原式sin cos cos 110111.(2)原式a2sin 90°b2cos 180°2abtan(3×360°45°)a2b22abtan 45°a2b22ab(ab)2.四、探究与拓展14.已知角的终边上有一点p(x,1)(x0)