三角形典型题三边关系

1、已知ABC ,(1) 如图1，若D点是AABC内任一点、求证：/ D= / A+ / ABD+ / ACD .(2) 若D点是ABC外一点，位置如图 2所示.猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD有怎样 的关系？请直接写出所满足的关系式.(不需要证明)(3 )若D点是ABC外一点，位置如图 3所示、猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD之间有 怎样的关系，并证明你的结论.考点：三角形的外角性质专题：计算题.分析：(1)由/ BDC= / 2+ / CED , / CED= / A+ / 1,可以得出/ D= / A+ / ABD+ / ACD .(2)由/ D+ / A+ / ABD+

2、 / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB，/ A+ / ABC+/ ACB=180，/ D+ / DBC+DCB=180 ，可以得出/ D+ / A+ / ABD+ / ACD=360(3) 根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知/ AED= / 1+ / A，/ AED= / D+ / 2，所以可知/ A+ / 1= / D+ / 2 即/D+ / ACD= / A+解答：解：(1)证明：延长BD交AC于点E ./ BDC 是 ACDE 的外角，/ BDC= / 2+ / CED ,/ CED 是ABE 的外角，

3、/ CED= / A+ / 1 ./ BDC= / A+ / 1+ / 2 .即/ D= / A+ / ABD+ / ACD .(2 )/ D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB ,/ A+ / ABC+ / ACB=180，/ D+ / DBC+DCB=180 , / D+ / A+ / ABD+ / ACD=360(3)证明：令BD、AC交于点E,/ AED是ABE的外角，/ AED= / 1+ / A ,/ AED 是 ACDE 的外角，/ AED= / D+ / 2 ./ A+ / 1 = / D+ / 2 即/

4、D+ / ACD= / A+ / ABD .形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由.(1)如图，AABC中，P为边BC上一点，试观察比较 BP+PC与AB+AC的大小，并说明 理由.厶(2)将(1)中点P移至AABC内，得图，试观察比较 ABPC的周长与AABC的周长的(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形 BP1P2C的周长与AABC 的周长的大小，并说明理由.(4) 将(3)中的点P2移至ABC夕卜，并使点Pj、P2与点A在边BC的异侧，且/ P1BC v/ ABC , / P2CB

5、 v/ ACB ,得图，试观察比较四边形 BP1P2C的周长与 AABC的周 长的大小，并说明理由.（5）若将（3）中的四边形 BP1P2C的顶点B、C移至ABC内，得四边形 B1P1P2C1,如 图，试观察比较四边形 B1P1P2C1的周长与AABC的周长的大小，并说明理由.考点：三角形三边关系 分析：（1 ）、（ 2）、（ 3）通过作辅助线，利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答；（4）通过将四边形 BP1P2C沿直线BC翻折，使点Pi、P2落在MBC内，转化为（3）情 形，从而问题得解；（5） 延长BiPi、C1P2分别与AB相交，再利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边

6、之 差进行解答.解答：解：（1） BP+PC v AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短.（2） ABPC的周长v AABC的周长.理由:如图，延长 BP 交 AC 于 M，在 AABM 中，BP+PM v AB+AM ,在 APMC 中，PC v PM+MC , 两式相加得 BP+PC v AB+AC，于是得： ABPC的周长v AABC的周长.（3）四边形BP1P2C的周长v AABC的周长.理由:如图，分别延长 BP. CP2交于M，由(2)知，BM+CM V AB+AC，又卩汨2< P1M+P2M ,可得，BP1+P1P2+P2C V BM+CM V AB

7、+AC，可得结论.或：作直线 P1P2 分别交 AB、AC 于 M、N (如图)， ABMP 1 中，BP1V BM+MP 1, AMN中，MP1+P1P2+P2MV AM+AN，AP2NC 中，P2CV P2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2CV AB+AC，可得结论.BP1P2C沿直线BC翻(4)四边形BP1P2C的周长V ABC的周长.理由如下：将四边形 折，使点Pi、P2落在MBC内，转化为(3)情形，即可.(5)比较四边形 B1P1P2C1的周长v AABC的周长.理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交 ABC的边于M、N、K、H ,在NM中，NBj+BjPI+PjMV

8、BM+BN，又显然有，BiCi+CiKv NBi+NC+CK，及 C1P2+P2H V CiK+AK+AH，及 P1P2V P2H+MH+P iM，将以上各式相加，得 B1P1+P1P2+P2C+B iCi V AB+BC+AC，于是得结论.点评：比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答.如图，已知直线J 12, 13、14和12分别交于点A、B、C、D，点P在直线13或14上且不 与点 A、B、C、D 重合.记/ AEP= / 1，/ PFB= / 2，/ EPF= / 3.(1) 若点P在图(1 )位置时，求证：/3= / 1+ / 2 ;(2) 若点P

9、在图(2)位置时，请直接写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系；(3) 若点P在图(3)位置时，写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系并给予证明；(4) 若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出/1、/ 2、/ 3之间的关系.考点：平行线的性质；三角形的外角性质专题：证明题；探究型.分析：此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线ll、I2的平行线，利用平行线的性质得到和/ 1、/ 2相等的角，然后结合这些等角和/3的位置关系，来得出/ 1、/ 2、/ 3的数量关系.解答：解：（1 ）证明：过P作PQ /h /I2,由两直线平行，内错角相等，可得：/ 1= / QPE、/ 2= / QPF;/ 3

10、= / QPE+ / QPF ,/ 3= / 1+ / 2.(2)/ 3= / 2- / 1 ;证明：过P作直线PQ / l1 / 12,则：/ 1= / QPE、/ 2= / QPF ;(3) / 3=360° -Z 1-/2.证明：过 P 作 PQ / li / I2；同(1)可证得：/ 3= / CEP+ / DFP ;/ CEP+ / 仁 180°，/ DFP+ / 2=180° ,/ CEP+ / DFP+ / 1+ / 2=360° , 即/ 3=360° - / 1-/ 2 .(4) 过 P 作 PQ / l1 / l2;当P在C点上方时，同(2 )可证：/ 3= / DFP- / CEP ;/ CEP+ / 仁 180°，/ DFP+ /