上海市宝山区2021届高三一模数学试题(含答案解析)

1、2020学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷2020.12考生注意；1. 本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2. 本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3. 在本试题卷上答題无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4. 可使用符合规定的计算器答题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1題至第6题每题填对得4分，否则一律得 零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果.1. 若集合-3）, B=（-4, +oo）,则.2. 抛物线尸=&的准线方程为.3. 已知烫数z满足占“（

2、i为虚数单位），则?=.4. 设向量7=（1, 2）, 7=（2, 1）,则7与牙的夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5. 已知二项式（2x+6 ,则其展开式中的常数项为.心0,6. 若实数匕尹满足，则z=2x+y的最大值为7. 已知圆锥的底而半径为1,高为诵，则该圆锥的侧而展开图的圆心角&的大小为.&方程cos2x-sinx=0在区间0,刃上的所有解的和为99. 己知函数/（X）的周期为2,且当0 VxWl时，/（x）=log古 那么/（卫=10. 设数列斗的前项和为S”，对任意"已V*,均有S“+兀=一1,贝恰6=.11. 设函数f（x）=asin2x+bc

3、os2j （e bWR）,给ill下列结论： 当4 = 0, 6=1时，/（X）为偶函数； 当a=i, go时，/（2Q在区间（0,彳）上是单调函数； 当方=一1时，/（|扌|）在区间（一2冗，2町上恰有3个零点； 当a=3t b=时，设/'（x）在区间/, r+为（fWR）上的最大值为卩（0，最小值为必）, 则必）一卩（f）W2迈.则所有正确结论的序号是.2020学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷笫1页共4页内写出必要的步骤.17. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.如图，在长方ABCD-AXBCD中，T为DD上一点，已知DT=2,

4、AB=4, BC=29 AAy=6.(1)(2)求点C到平面右TC的距离.求直线TC与平而力BCD所成角的大小(用反三角函数值表示);18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分第2题满分8分. 已知函数/'(x)=x+y Sgr).(1) 当加=1时，解不等式f(x)+l>/(x+l)；(2) 设xE3, 4,且函数尸/(x)+3存在零点，求实数加的取值范围.19. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分.第2题满分8分.7TTT设函%f(x)=sin(cu.r+)(w>0,最小正周期为2兀，且/'(x)的图象过坐标原点.(1) 求、(p

5、的值：(2) 在AABC中，若y2(B)+3/2(O=2/()<(5)<(Qt/2()» 且三边b、c所对的角依次 为/、B、C.试求错误!的值.20(本题满分16分)本题共有3个小题，第1题满分4分第2题满分6分，第3题 满分6分.己知尺、E分别为椭圆八号+护=1的左、右焦点，M为厂上的一点.(1)若点M的坐标为(1, m)(加>0，求aF,MF2的面积；(2) 若点M的坐标为(0, 1),且直线，=冷一丰伙丘尺)与厂交于两不同点X、B,求证：为定值，并求出该定值；/f/(3) 如右图，设点M的坐标为($, /),过坐标原点O作圆M："I(x$)2+(y

6、_f)2=Q (其中r为定值，0VY1,且|$|丹)的两 厂条切线，分别交厂于点P、0宜线op、00的斜率分别记犷)为人、k2.如果R禹为定值.试问：是否存在锐角&，便得丿2|0鬥|OQ=5sec0?若存在，试求出&的一个值；若不存在，请说明理由.21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题 满分8分.若有穷数列x 沖 十，©满足£+2暫+韓兀> 0(这里X用卜仁 心3, 1W/W一1,常数f>0),则称有穷数列£具有性质P(f).1力一 1(1)已知有穷数列©具有性质P(r)(常数且1勺“

7、|+|屯-对+|心试求f的值；设%=2|勺+什2|-肉+一2| (Z,心3,常数/>2),判断有穷数列%是否具有性质P(/2),并说明理由；(3) 若有穷数列几：儿，y2,，儿具有性质P(l),其各项的和为2000,将片，y2,，儿中的最大值记为A.当AWMR寸，求/+/?的最小值.2020学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质最监测试卷第3页共4页参考答案与评分标准一.填空題（本大題共有1232,满分54分）1.（4, 3）2.才=一扌7. it8疋3IT9.4. arccos-5. 160ii. (D<3)6. 412. 3103二、选择題（本大題共有4題.满分20分）13.

8、 C14. B15. C17.（本题满分14分本题共有2个小團 第1題满分6分，第2题满分8分. 解：方法一：（1）联结TC,在长方Wabcd-a中， 因为DD丄平iRABCD9即7D丄平lhiABCD9 所以直线TC与平ffiJBCZ）所成的角即为ZTCD,DTLRtATCD中，由D*2, CD=AB=4.可得tanZrCZ>J"2¥显然 ZTCDG（0,号），故ZTCD=arctan,所以直线7T与平hABCD所成角的人小为arctan*C2）由己知可協lT=TC=2>/L AtC= 2y/14r所以Sd启丽辰呵又易 tcc 6*4= 12.设点C到平耐JC

9、的炬离为h.在长方ABCD中，W九4 4丄平面CQCQi 即/1D丄平血TGC 山由2-心=乙1 - g91nznf7即点6到平而禺2的距离为嗥方法二：<1)如圉，以D为原点，DA. DC、QD1分别为X、八二鼬建立空间直角坐标系 因为zfB=4, BC=2、AA69所必(2. 0, 0)、B(2. 4, 0)、C(0, 4, 0). D(0, 0, 0). 710.7V=(0, 4, -2),平SUSCQ的一个法向星=(0, 0, 1),设£线TC与平血43CD所成和的大小为®0, 2),21则 sin0=、I花卜I荀 _ 2 _ _ 如+( - 2)2"

10、丁4Z5Z即sin*誓， 注总到0已0,号,故&=arcsin当,所以，直线TCABCD所成角的大小为arcsin-.(2)注盘到G© 4, 6),如 0, 6),及710, 0, 2). C(0, 4,0).故 J/=(-2, 0, 一4) C?=(0, -4, 2), 帚=(0, 4, 一4), 设平面的一个法向虽为万=(丫，y» z)»m丄比丁” I1郁万丄in 9AxT=01, nil> >I wcr=o-2x-4z=0 rrrr 一4卄2二=(r川以x=4v“2y 1ir12/可®7W=(-4, 1, 2),>1所以点

11、C1到平而禺“的距离为旦型|汕|0x(-4)+(-4)xl+(-4)x2|V(-4)2+l2+22_4血7 -即点C1到平而的距离为零.18.（本题满分14分本題共有2个小題，第1题满分6分.第2題满分8分解：（1）当2=1 时，/（X）=x+Y，”1ll If (x)+1 >f(x+1)得(x+p+1 >(x+ 1)+右解得xV 0或r>l,所以，原不等式的解集为（-00, 0）U（l, +oo）.6/（2）函数尸/+3存在零点丫日3, 40 方程几丫）+3=0有解xW4,即 方松+£y+3=0有解xW3, 4,创亦即 7= _(.v+3)(x-l)有解xW3,

12、4,10z注意到?/=-(x+l)2+4fee3, 4上递减，12/故 £-(4+1)2+4, -(3+1)2+4=卜21,12,从而，实数加的取值范国为-21, -12.1” 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1題满分6分.第2题满分8分.解：（1）依题意，得二=2兀，21co所以（y=l,3,畝f（x）=sin（工+卩），因为TOO的图象过坐标原点所以/X。）二0.即sinp=O4/因此 =0.20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题滿分4分，第2題满分6分，第3题满分6分.解'由己知条件得占+心，”因为加>0,所以m二冬2/y4/又氐 尸2的坐

13、标分别为（-也 0）、心.0）. 因此，的面积为右尸产卜“戶赧帀爭.<2）设胁B（xb.专由v+>>2=1r24k显然论2+欝>0, H “歹吁，汨严25（4灿）所以脇扬=（丹一 Wb片一1）即 脇拐=0为定何.满足2OP|O0=5sec0的锐角0不存仏 理曲如下，=（0+ 1也-才®煜=呼叶帚卜対為煜64卜伙2+1） -3杓（4辰+1）=1 025（4杓1）i（yir因为直iOPt y*kx与0M相切，所以5亍十同理，由直线O0 尸甩x与OMffl切，可得（$2-2记-2卅2+42=0,于是，g $是关于卍的方程（£2-2）3-2旖十宀宀。的两实根

14、，即（$2-月）甘-2s庆1十2一启0,注愆到国工心且普十宀1,故尺店£二空吕c2（1 盲）"= 宀卢，12,因"为定值，故不妨纳W定值），于宝,即（J+-1+（1-=0,依题意可知.$变化，而人§均为定值，所以d+4=0,解得局斤2=6=尸=半13/再设尸儿），Q0匕“由得4斤:同理可得所以如陽F+用3）=讐X帶弋寫鑫般）2+4（斤+疋）勿+*号255即 OPOQ<.亦即 OP-OO<-9若锐角 &,使2|OP|.|O0=5sec8,则|OP|-|Oi=|sec>|,与嵌）相矛盾.因此，这样的锐角0不存在.21. (本题满分1

15、8分)本題共有3个小羁 第1題満分4分，第2題満分6分，第3题満分8分. 解：(1>因为有穷数列©兵有性质2V)，所以 W”一4=0厂兀鼻人即 xj/t (/=!> 2» 7J1).再由己知条件可得 (fi iy=十f £ + ( W! x2xt I +1 Xjx2|+ + k厂兀-JV"一 1-2 11卩-】"W乎2/而必3,所以，禺.3,又2$丿无以，/=$“(2)当©SO时，冇穷数列殆不具冇性质"一2)；当“QO时，冇穷数列0具冇性质P(t-2).6, 理由如下： 若坷WO,则有另数列的显然不具有性质Pl-

16、2).若。1>0,则由/>2,可得 角=2|“£十2|1“+72|=2©十(十2)(q+f2尸勺*+69 即 分“十(+6, 所以.q>q+a-2)(©>(>) a«2>o.r冋理可得,aaM(6>0人所以,©Aq+a 2) , Ra3>Qt>一般地，若吁备卢+6贝1山>5+(2),且竹>0,W于是 *。严=2 |q+r+21|口尹一21=2(q+f+2)(q+/2)=q+f+6 * 即 aat+6,所以，aA勺+ (L2),且q>0仍有%A0.这里i,代心心3, WlI),A 因此，当©>o时，有穷数列乙具有性隨P(r-2).综上，当