构造法证明不等式(一)

1、精品资料欢迎下载构造法证明不等式（一）1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式， 而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键一、移项法构造函数【例 1】已知函数 f ( x)ln( x1) x ，求证：当 x1时，恒有 11ln( x1)x x1【分析】本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g( x) ln( x1)11 ，从其导数入手即可证明x 1【解析】由题意得： f(x)1

2、x1x0时， f ( x)0 ，即 f ( x) 在x11，当x1x ( 1, 0) 上为增函数；当x0时， f( x) 0 ，即 f ( x) 在 x (0 ,) 上为减函数；故函数 f (x) 的单调递增区间为(1 , 0) ，单调递减区间(0 ,) ；于是函数f ( x) 在 (1,)上的最大值为f ( x) maxf(0)0 ，因此，当 x1时， f (x)f ( 0)0 ，即ln( x 1)x0 ， ln( x1)x （右面得证） 现证左面，令 g( x)ln( x11 ， 则 g ( x)11x2 ，当1)x1(x1)2( x1)x1x ( 1, 0)时， g' (x)0

3、；当 x (0 ,) 时， g' ( x)0 ，即 g ( x) 在 x( 1,0)上为减函数，在 x(0 ,) 上为增函数，故函数g( x) 在 (1,) 上的最小值为g( x) ming (0)0 ，当 x1时， g( x) g(0)0，即 ln( x1)10 ，x1111ln( x 1)1综上可知：当 x1时，有1ln( x1)x xx11【点评】如果f (a) 是函数 f ( x) 在区间上的最大（小）值，则有f (x)f (a) （或精品资料欢迎下载f ( x)f (a) ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0 就可得证2、作差法构造函数证明【例 2】已知函数f (

4、x)1 x2ln x ，求证：在区间 (1 ,) 上，函数 f (x) 的图象在函数2g( x)2 x3的图象的下方3【分析】函数 f ( x) 的图象在函数g (x) 的图象的下方不等式 f ( x)g( x) 在 (1,) 上恒成立问题，即 1 x 2ln x2 x3 ，只需证明在区间(1,) 上，恒有1 x2ln x2 x 3 成立，23123设 F (x)g( x)f ( x) ，x(1,) ，考虑到 F (1)0 ，要证不等式转化变为： 当 x16时， F ( x)F (1)，这只要证明：g( x) 在区间 (1 ,) 是增函数即可【解析】设 F (x)g( x)f ( x) ，即

5、F (x)2 x 31 x 2ln x ，则32F ' ( x) 2 x2x1( x 1)( 2 x2x 1) ；当 x1时，xxF ' ( x)(x1)( 2x 2x1) 上为增函数，x0 ，从而 F (x) 在 (1,F ( x)F (1)10 ，当 x1时，g (x) f ( x)0，即 f (x)g( x) ，故在区间 (1,)62 x3 的图象的下方上，函数 f ( x) 的图象在函数g (x)3【点评】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零， 将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义， 证明要证的不等式 读者也可

6、以设 F ( x)f ( x)g( x) 做一做，深刻体会其中的思想方法3、换元法构造函数证明【例 3】（ 2007 年山东卷）证明：对任意的正整数111n ，不等式 ln(1)n2n3 都成立n【分析】本题是山东卷的第（21x，则问题转化为：当x 0）问，从所证结构出发，只需令n精品资料欢迎下载时，恒有 ln( x1)x2x3 成立，现构造函数h( x)x3x 2ln( x1) ，求导即可达到证明【解析】令 h(x)x3x 2ln( x1) ，则 h ( x)3x 22x13x3(x 1) 2在x1x1x(0 ,) 上恒正，函数h(x) 在 (0 ,) 上单调递增，x(0 ,) 时，恒有h(

7、 x)h(0)0 ，即 x 3x2ln( x1)0， ln( x1)x2x3 ，对任意正整数 n ，取x1(0 ,111n) ，则有 ln(1)n2n3 n【点评】我们知道， 当 F ( x) 在 a , b 上单调递增， 则 xa 时，有 F ( x)F (a) 如果 f (a)(a) ，要证明当 xa 时， f ( x)( x) ，那么，只要令 F ( x) f ( x) ( x) ，就可以利用 F ( x) 的单调增性来推导 也就是说， 在 F ( x) 可导的前提下， 只要证明 F '(x)0 即可4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数 yf ( x) 在 R 上可导，

8、且满足不等式 xf ' ( x)f (x) 恒成立，常数 a 、b 满足 ab ，求证： af (a) bf (b) 【解析】由已知： xf ' (x)f ( x)0 ，构造函数F (x)xf (x) ，则 F ' ( x)xf ' ( x)f ( x)0 ，从而 F ( x) 在 R 上为增函数，ab ， F (a)F (b) ，即 af ( a)bf (b) 【点评】由条件移项后xf ( x)f ( x) ，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F ( x)xf (x) ，求导即可完成证明若题目中的条件改为xf ( x)f ( x) ，则移项后xf ( x

9、)f (x) ，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结5、主元法构造函数【例 5】已知函数f ( x)ln( 1x)x ， g( x)x ln x （1）求函数f (x) 的最大值；精品资料欢迎下载（2）设 0a b ，证明： 0 g(a) g (b) 2g( a b) (b a) ln 2 2【分析】对于第（ 2）小问，绝大部分的学生都会望而生畏学生的盲点也主要就在对所给函数用不上 如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关， 由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等

10、式的目的【解析】（1）过程略；（2）对 g( x)x ln x 求导，则 g' ( x)ln x1 在 g (a)g(b)2g ( ab ) 中以 b 为主变2g( ax) ，则2元构造函数，设F ( x)g (a)g (x)2F '( x)axln xaxx a 时， F ' (x)0 ，因此 F ( x)g '( x) 2 g ()'ln当 022在 (0 , a) 内为减函数； 当 x a 时， F ' ( x)0 ，因此 F ( x) 在 (a ,) 上为增函数 从而当xa 时， F (x) 有极小值 F ( a) ， F (a)0 ，

11、ba ， F (b)0 ，即g(a)g(b)2g ( ab)0 又设 G( x) F ( x)( x a ) ln 2 ，则2G' ( x)ln xaxln 2ln xln( ax) ；当 x0时， G '( x) 0 因此 G ( x) 在ln2(0 ,) 上为减函数，G ( a)0 ， b a ， G(b)0 ，即g( a)ab(ba) ln 2g(b) 2 g ()26、构造二阶导函数证明函数的单调性（二次求导）【例 6】已知函数f ( x)aex1 x2 2（1）若 f ( x) 在 R 上为增函数，求a 的取值范围；（2）若 a1，求证：当 x 0 时， f ( x)

12、 1 x 【解析】（1） f '( x)ae xx ， f ( x) 在 R 上为增函数， f ' (x)0 对 xR 恒成立，即 a xe x精品资料欢迎下载对 xR 恒成立；记 g( x)xe x ，则 g ' ( x)e xxex(1 x)e x ；当 x1 时，g' ( x)0 ；当 x1时， g' ( x)0 知g( x) 在 (,1)上为增函数， 在 (1 ,) 上为减函数， g (x) 在x1时，取得最大值，即g( x)maxg(1)1， a1，即 a 的取值范围是 1 ,) 1 x2eee（2）记 F ( x)f ( x) (1x) ex

13、x1 （ x0），则 F '( x)exx 1，令2h( x) F ' ( x) exx 1，则 h' (x)ex1；当 x0 时， h'( x)0 ， h( x) 在 (0 ,)上为增函数， 又 h(x) 在 x0 处连续， h(x)h(0)0，即 F ' ( x)0， F ( x) 在 (0 ,)上为增函数，又F ( x) 在 x0 处连续， F ( x) F (0)0 ，即 f ( x)1x 【点评】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，

14、往往把变量分离后可以转化为mf (x)（或 mf ( x) ）恒成立， 于是 m 大于 f ( x) 的最大值（或 m 小于 f ( x) 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）【例 7】证明：当 x 0时，111x(1x)xe2 【解析】对不等式两边取对数得(11 ) ln(1x)1x ，化简为 2(1x) ln(1x)2x x2 ，x2设辅助函数 f ( x) 2xx22(1 x) ln(1x) （ x0 ）， f ' (x)2x 2n(l1x) ，又f 

15、9; '( x)2x0 （ x0 ），易知f '( x) 在 ( 0 ,) 上严格单调增加，从而1 xf ' (x)f ' (0)0 （ x0 ），又由 f ( x) 在 0 ,) 上连续，且f ' ( x) 0 ，得 f ( x) 在 0 ,) 上严格单调增加， f ( x)f (0)0（ x0 ），即 2xx 22(1x) ln(1 x) 0 ，2x x22(1x) ln(1x) ，故 (1111xx)xe2 （ x0 ）8、构造形似函数【例 8】证明：当bae，证明 abba 精品资料欢迎下载【分析】此题目具有幂指数形式，对不等式两边分别取对数得b ln aa ln b ，整理为1 ln a1 ln b ，在此基础上根据“形似”构造辅助函数f ( x)1 ln x ，再根据函数的单调abx性证明之【解析】不等式两边分别取对数得 b ln aa ln b ，可化为1 ln a1 ln b 令 f ( x)1 ln x ，显abx然 f (x) 在 (e ,) 内连续并可导，f ' (x)111(1 ln x) 0（ x e ），故x2 ln xx2x211f ( x) 在 (e ,) 内严格单调递减，由bae 得： f (a)f (b) ，