人教A数学必修三同步配套课件：第三章概率3.3.1

1、3.3几何概型-1-3.3.1几何概型自主预习探究学习当堂检测首页课标阐释思维脉络1了解几何概型与古典概型的区 另山2 理解几何概型的定义及其特 点.3 会用几何概型的概率计算公式 求几何概型中事件的概率，培养 数学建模的核心素养.几何概型匕几何概型的定义求几何概型中事件的概率一、几何概型的概念及特点【问题思考】1计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？提示(1)通过做试验或用计算机模拟试验等方法得到事件发生的 频率，用频率估计概率;(2)利用古典概型的概率公式计算事件发生 的概率.2.在现实生活中，我们常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多 的情况，例如:一个正方形方格内有一内切圆,往

2、这个方格中投一个 石子，求石子落在圆内的概率.这个试验还能不能用古典概型的概 率公式来计算事件发生的概率呢?若没有人为因素,每个试验结果 出现的可能性相等吗？提示不能，这个试验可能出现的结果是无限多个.相等.93 如图，有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域 时,甲获胜，否则乙获胜在这两种情况下甲获胜的概率分别是多少?戏工具时，甲获胜的概率为丁4 问题3中每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它 所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在 扇形区域的哪个因素有关?与哪个因素无关？提示与扇形区域对应的弧长（或面积）有关，而与扇形区域所在的 位置无关.5 玩

3、转盘游戏中所求事件的概率就是几何概型，你能给几何概型 下个定义吗?几何概型有哪两个基本特征？提示如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积 或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何 概型几何概型的基本特征:可能出现的结果有无限多个;每个 结果发生的可能性相等.6 问题3中，在两种情况下甲获胜的概率分别是怎么求岀来的?提示把转盘圆周的长度记为1，则以转盘为游戏工具时f（“甲1获胜”）# =3以转盘为游戏工具时,P（“甲获胜”）=¥ = I-7 问题2中,石子落在圆内的概率应该怎么求?提示把正方形的边长记为2,则其面积为2X2二4,其内切圆得半径为1，内切圆

4、的面积为兀卩二兀 :P（“石子落入圆内”）=?4二、几何概型的概率公式【问题思考】还有没有其他类型的几何概型,如何求其某一随机事件的概率呢?1. 在装有5升水的水族箱中放入一个身长约1 mm的小型水母，现 从中随机取出1升水,那么这1升水中含有水母的概率是多少?你是 怎样计算的？1提示概率为弓，由于水母出现在这5升水中的位置有无限多个结果 且每个结果发生的可能性相等，因此随机取出的1升水中含有水母 的概率为1升水的体积除以5升水的体积.2. 根据上述几个问题中求概率的方法,你能归纳出在几何概型中， 事件4的概率的计算公式吗？护-构成事件力的区域长度（面积或体积）炷不（丿二试验的全部结果所构成的

5、区域长度（面积或体积j自主预习探究学习当堂检测首页3做一做:一只蚂蚁在如图所示的地板砖（除颜色不同外，其余全部相同）上 爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖（阴影部分）上的概率是（）Dl解析:设每块地板砖的面积为1,则总面积为12,其中黑色地板砖面 积为4,所以所求概率为霜=答案:A思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打"2，错误的 打 “ X”.(1) 几何概型中事件发生的概率与位置、形状有关.()(2) 几何概型在一次试验中可能出现的基本事件有有限个.()(3) 几何概型中每个基本事件的发生具有等可能性.()(4) 概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定

6、会 发生()答案:(1)X (2)X (3)7 (4)X-11-自主预习探究学习当堂检测首页探究一1探究二探究二思维辨析与长度有关的几何概型【例1】（1）（2018山东潍坊期末）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发 车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时 刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（）c-tD.|如图，在的边AC上任取一点巴求使AABP的面积小于ABC面积的一半的概率.探究一1探究二探究二思维辨析分析用数轴画出班车发车时间与小明等车不超过10分钟需要 到达车站时间段，然后利用线段的长度比值表示所求概型;(2)AABP与厶ABC有相同的底

7、A5要使 ABP的面积小于 ABC 面积的一半，只需点P到AB的距离小于点C到AB距离的一半.探究一1探究二探究二思维辨析解析:如图所示，画出时间轴：7:307:407:508:008:108:208:30 ACDB小明到达的时间会随机地落在图中线段中，而当他的到达时间 落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几 何概型得所求概率P二吏評=故选B.402答案:B(2)解过点C作CQ丄A3于点D取AC的中点M,连接BM,过点M1 1作ME丄于点E,则ME=-CD Sbmabc.所以当点P在线段1AM上取时(不取端点A与M)，点P到AB的距离小于仞,即厶ABP 的面积小于AA

8、BC面积的一半，所以所求的概率为警=探究一1探究二探究二思维辨析反思感悟1如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为:PW=构成事件力的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度2 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A发生对应的区域仏在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是 否取到却不影响事件A的概率.探究一1探究二探究二思维辨析变式训练1(1)取一根长度是3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断, 那么剪得的两段中有一段大于2 m的概率是.(2)如图,在平面直角坐标系内，射线07蔣在60°

9、;角的终边上，任作 一条射线OA,则射线OA落在ZxOT内的概率为探究一1探究二探究二思维辨析解析：(1)如图,CQ为的两个三等分点，当在AC或上剪断时符 合要求，其概率为号 =|Ii41ACDB(2)以0为起点作射线0A是随机的，因而射线0A落在任何位置都 是等可能的,落在厶OT内的概率只与厶0T的大小有关，符合几何概 型的条件.于是,记事件B=射线0A落在ZxOT内.因为 厶OT=60。，所以 = iDOUO答案：(1)| (2)|探究一1探究1探究二思维辨析与面积有关的几何概型【例2】如图，在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站, 假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域AQE和扇形

10、区域CBF（该矩 形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机 地选一地点，则该地点无信号的概率是（）AC.2-H D.H探究一1探究1探究二思维辨析解析:由题意知，可将两个四分之一圆补成半圆，其面积为2卫 衣兀小二壬矩形面积为2,则所求概率为¥二1斗 ZZZ 4答案:A-29-探究一1探究1探究二思维辨析反思感悟1与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概 率的计算公式为：PW=构成事件力的区域面积 试验的全部结果所构成的区域面积2 解:与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1) 根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题；

11、(2) 找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积;(3)套用公式,从而求得随机事件的概率.探究一1探究1探究二思维辨析变式训练2射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外 向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄 心”奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm,运动员在 一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等 可能的，那么射中黄心的概率为多少？探究一1探究1探究二思维辨析解如图，记“射中黄心”为事件B12.22_丁丿cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为TT Xcn?的黄心内时，事件B发生，2TTX 所以事件

12、B发生的概率P(B)=TTX12.2122牙=0.01.探究一探究二1探究二1思维辨析与体积有关的几何概型【例3】有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P,求点P到点0的距离大于1的概率.分析先确定出点P所在的空间,并求出该空间的体积，用它与圆柱 的体积相除即得所求事件的概率.解:圆柱的体积V圆柱=71X12x2 = 271,以O为球心，1为半径，且在圆柱内部的半球的体积V半iK=|XyXl3=y,2k-2tt故点P到O的距离大于1的概率为2tt 3探究一探究二1探究二1思维辨析反思感悟如果试验结果所构成的区域的几何度量可用体积表示,则其概率的计算

13、公式为:构成事件A的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积探究一探究二1探究二1思维辨析变式训练3已知正三棱锥S-ABC的底面边长为高为九在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于纟的概率.SB解如图，分别在SA,S5SC上取点AiQC，使 A】，G分别为SA.SB.SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面AXBXCX之间时，点M到底面的距离 小砖设ABC的面积为由厶ABCAAiBiCi,且相似比为2,得AAiBiCi 的面积为字4由题意知区域D（三棱锥S-ABC）的体积为|s7i，区域d（三棱台ABC-AiBiCi）的体积为扌S/i£扌冷=訥 7_sh所以点M到底面的距离小于&

14、#163;的概率为P=- =2訓8探究一探究二探究二1思维辨析忽略无限个基本事件的可能性判断而致误【典例】在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在厶CB内部 作一条射线CM，与线段4B交于点MAM<AC的概率错解设AC=BC=aM AB二屈，在AB上截取ACf=AC,于是P(AM<AC)=P(AM<AC=篇=磊=关即 AM 的长小于 AC 的长的概率为乎.探究一探究二探究二1思维辨析以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你 如何防范？错因分析本题错误解答的原因是把角度问题错误地转化成了线段长度问题. 正解在AB上取ACf=AC,wi B0° -45&

15、#176;则 ZACCf= o 67.5° ,设A=在ZACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点m,am<ac,则所有可能结果的区域角度为90。，事件A的区域角度为67.5° 所以P(A)=67.5"9034*探究一探究二探究二1思维辨析防范措施当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，常以 角的大小作为区域量度来计算概率，切不可用线段代替，否则会导 致基本事件发生的可能性不相等.探究一探究二探究二1思维辨析解:如图，过点 C 作 CCLAB 于 C；则 ACAC,ZACCf=45° , 设A=ZACB内部作一条射线CM占线段43交于点M,AM

16、v#ACR则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域 角度为45° 所以P(A)二篇=*自主预习探究学习当堂检测首页i 2341.在区间0,3上任取一个数，则此数不大于2的概率是（）c-|解析:此数不大于2的概率P=区间0,2的长度区间0,3的长度答案:C2两根电线杆相距100 m,若电线遭受雷击，且雷击点距电线杆10 m 之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时设备受损的概 率为（）A.0.1B.0.2 C.0.05D.0.5解析:如图，两根电线杆相距MN二100 m,MP= 10 m.QN= 10 m，则当 雷击点在MP或0N范围上时，设备受损，故设备受损的概率为P-"