第5章习题答案

1、第五章习题5.1 设计一个数字低通滤波器，在频率的范围内，低通幅度波纹不超过0.75,在频率之间，阻带衰减至少为20。试求出满足上述指标的最低阶巴特沃什滤波器系统函数H(Z)，并画出它的级联形式结构。（于2 138 3.1）解：假设T=1，若通带在处归一化为1，即有巴特沃斯滤波器的形式为将上式以dB表示，有将给定指标代入，得则模拟滤波器的系统函数为5.2 试证明一个N阶FIR滤波器的冲激相应h(n)满足下列条件之一者亦为线性相位滤波器。 1. N为偶数 2. N为奇数 (于2 138 3.3)证明：由定义可知，若FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是实数，而且满足偶对称或奇对称的条件，即或，则滤

2、波器具有严格的线性相位特性。（1）当N为偶数时， 奇对称。因为，则因此同样我们可以把表达为因此，得其幅度函数为，将其两两合并后得因此，由于在处为零，所以在处为零，即在上有零点、并对呈奇对称。（2）当N为奇数时，h(n)为偶对称。其幅度函数为再进行一次换元，即令，则上式可改为整理可得： 由于对这些点是偶对称的，因此对都有偶对称结构。5.3 假设一个数字系统其输出序列y(n)和输入序列x(n)之间满足下列关系，试求该系统的频率响应并画出幅频特性曲线： 1. 2. 3. 4. （于2 138 3.8）解：（1），其幅频特性曲线如图1所示： 图1（2），其幅频特性曲线如图2所示： 图2（3），其幅频特

3、性曲线如图3所示：图3（4），其幅频特性曲线如图4所示：图45.4 给定一理想低通FIR滤波器的频率特性 1 0 现希望用窗函数设计该滤波器，要求具有线性相位。滤波器系数的长度为29点，即M/2=141. 用矩形窗2. 利用Hamming窗 （胡 261 8.1）解：线性相位理想低通滤波器的频率特性：(1) 矩形窗：窗函数：(2) 汉明窗(Hamming)：窗函数: 5.5 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截至频率，通带最大衰减，阻带截至频率，阻带最小衰减。求归一化传输函数和实际的。（西电 193 2）解：(1)确定滤波器技术指标(2)求阶数N和为了满足技术指标取N=4。(3)求归一化传输

4、函数，其中由教材给出算法求解出来后结果如下(4)将去归一化，求得实际滤波器函数：其中因为所以。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。也可以得到分母多项式形式。5.6 已知模拟滤波器的传输函数为1.2.试采用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2。(西电，194，5)解： 用脉冲响应不变法直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s) 的极点为 s1=-12+j32 ，s2=-12-j32Has=-j32s-（-12+j32）+j32s-（-12-j32）Hz=-j321-e（-12+j32）Tz-1+j321-e（-12-j32）Tz-1将T

5、=2代入上式，得Hz=-j321-e-1+j3z-1+j321-e-1-j3z-1 =233z-1e-1sin（3）1-2z-1e-1cos3+e-2z-2 用双线性变换法Hz=Hass= 2T 1-z-11+z-1 ,T=2=1(1-z-11+z-1)2+1-z-11+z-1+1 (2) 5.7 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2 rad时，允许幅度误差在1 dB之内；频率在0.3到之间的阻带衰减大于10 dB，试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采用T=1ms。（西电 194 9）解：由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：采用脉冲响应不

6、变法转换，所以，相应的模拟低通巴特沃斯滤波器指标为(1) 求滤波器阶数N以及归一化系统函数G(p):取N=5，查阅教材中的表可知模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为将部分分式展开：其中，系数为(2) 去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数。我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富余量，所以求3dB截止频率为(3) 用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数H(z):5.8 要求同题5.7，试采用双线性变换法设计数字低通滤波器。（西电 194 10）解：已知条件如下：数字滤波器指标：采用双线性变换法，所以要进行预畸形变校正，确定相应的模拟滤波器指标(为了方便取)：(1) 求相应的模拟滤波器阶数N：

7、取N=4，查阅教材中的表可知模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为(2) 去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数。(3) 用双线性变换法将转换成系统函数H(z):5.9 设计一个数字高通滤波器，要求带通截至频率 ，通带衰减不大于3，阻带截至频率 ，阻带衰减不小于18，希望采用巴特沃斯型滤波器。（西电194 11）解：确定数字高通滤波器技术指标：确定相应模拟高通滤波器技术指标。由于设计的是高通数字滤波器，所以应选用双线性变换法，因此进行预畸形变校正求模拟高通边界频率(假定采样间隔T=2 s)：将高通滤波器指标转换成归一化模拟低通指标：，得到低通归一化边界频率为(本题)设计归一化低通：得到归一化低通滤波器：频率变换，求模拟高通：用双线性变换将转换成H(z)：5.10 通过查表确定4阶切比雪夫低通滤波器，要求截至频率为2KHz，通带波纹为3dB。答：略5.11 试推导截至频率的理想低通滤波器的单位冲激响应h(n