初中数学--折叠问题

1、折叠问题知识梳理折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换.2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后 图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形， 这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系.4、

2、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度， 选择适当的直角三角形， 运用勾股定理列出方程求解例题解析一、矩形中的折叠【例1】将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC, BD为折痕，折叠后 B阴口 BH在同一条直线上，/ CBD=度.二 田AB £【巩固训练】1.如图所示，一张矩形纸片沿 BC折叠，顶点A落在点A处，再过点A折叠 使折痕D曰BC,若AB=4, AC=3贝ADE的面积是.小* * 4、 一， i C二 D B2 .如图，矩形纸片

3、ABCD中，AB=4 , AD=3 ,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕 DG,求AG的长.3 .把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着 BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则/ DFB等于（）、纸片中的折叠【巩固训练】1.如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC,使/ CAB=45 ° ,则后重合部分的面积为()2.将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是()3.如图a是长方形纸带，/ DEF=20。，将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的/CFE的度数是( )、三角形中的折叠【例3】如图，把RtAABC(

4、/ C=90° ),使A, B两点重合，得到折痕 ED,再沿BE折叠, C点恰好与 D点重合，则 CE AE=【巩固训练】1.在 ABC中，已知 AB=2a, / A=30° , CD是AB边的中线，若将 ABCgCD E 1对折起来，折叠后两个小 ACM BCD1叠部分的面积恰女?等于折叠前ABC的面积的-.4（1）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于 ;（2）有如下结论（不在“ C*于a”的限制条件下）： AC边的长可以等于a;折叠前 的 ABC的面积可以等于 号a2 ;折叠后，以A B为端点的线段 AB与中线CD平行且相 等.其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都

5、填上，若认为都不正确填“无”）.2 .在4ABC中，已知/ A=80° , /C=30° ,现把 CDE沿DE进行不同的折叠得 C' DE , 对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把 CDE沿DE折叠在四边形 ADEB内，则求/ 1 + /2的和；（2）如图（2）把 CDE沿DE折叠覆盖/ A,则求/ 1 + /2的和；（3）如图（3）把 CDE沿DE斜向上折叠，探求/ 1、/ 2、/ C的关系.3 .观察与发现：将三角形纸片 ABC （AB > AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD , 展开纸片（如图）；在第一次折叠的基础上第二

6、次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后得到 AEF （如图）.小明认为 AEF是等腰三角形，你同意吗？ 请说明理由.实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE （如 图）；再沿过点E的直线折叠，使点 D落在BE上的点D'处，折痕为EG （如图）；再展 平纸片（如图）.求图中/ a的大小.（2）将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点巳与BC边交于点F;将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都 与点F重合，展开纸片，此时恰好有 MP=MN=PQ （如图），求/

7、 MNF的大小.图四、圆中的折叠【例4】如图，正方形 ABCD勺边长为2,。的直径为AD,将正方形的BC边与gEC折叠，点 B落在圆上的F点，求BE的长【巩固训练】1.如图，将半彳至为8的。O沿AB折叠，弧AB恰好经过与 AB垂直的半径 OC的中点D,则折痕AB长为（2.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=55 DB=7,则BC的长是多少?D反思总结解题步骤归纳：1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数 x;2、利用折叠，找全等。3、将已知边和未知边（用含 x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理，

8、列出方程，解方程，得解。随堂检测1.如图，正方形纸片 ABCD勺边长为8,将其沿EF折叠，则图中四个三角形的周长之和为Br2.如图，将边长为 边形BCFE勺面积4的正方形ABCD&着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四3将一张长为70 cm的长方形纸片 ABCD ,沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽 AB是()4.直角三角形纸片 ABC中，/ ACB=90 ° , AC < BC,如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F.探究：如果折叠后的 CDF与

9、BDE均为等腰三角形，那么纸片中/ B的度数是多少？写 出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形.6 . 一 .一 ,.5.如图，双曲线y= - (x>0)经过四边形 OABC勺顶点A C, / ABC=90 , OCF分OAf xx轴正半轴的夹角，AB/ x轴，将 ABCgAC翻折后得到 AB'C, B'点落在OA上，则四边课后练习1.如图，将一个边长为 1的正方形纸片 ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重 合.MN为折痕，折叠后 B'C'与DN交于P.(1)连接BB 那么BB'与MN的长度相等吗？为什么?(2)设BM=y , AB &

10、#39;=x,求y与x的函数关系式；MNC 'B'面积最小？并验证你的猜想.(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形2.一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠 (阴影部分表示纸条的反面)， 为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求 MA的长 3.如图，矩形纸片 ABCD, AB=/6 , BC标 .第一次将纸片折叠，使点 B与点D重合， 折痕与BD交于点Q； QD的中点为Di,第二次将纸片折叠使点 B与点D1重合，折痕与 BD 交于点Q;设QD的中点为C2,第三次将纸片折叠使点 B与点D2重合，折痕与BD交于点 Q,.按上

11、述方法，第 n次折叠后的折痕与 BD交于点Oi,则BO=, BQ=5.下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图 1）的全过程：首先对折，如图2,折痕CD交AB于点D;打开后，过点 D任意折叠，使折痕 DE交BC于点E, 如图3;打开后，如图4;再沿AE折叠，如图5;打开后，折痕如图 6.则折痕DE和AE 长度的和的最小值是（）参考答案一、矩形中的折登【例1】将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC, BD为折痕，折叠后 B阴口 BH在同一条直线上，/ CBD=度.BC、BD 是折痕，所以有/ ABC = /GBC, / EBD = Z HBD 则/ CBD = 90

12、76;折叠前后的对应角相等【巩固训练】1.如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A处，再过点A折叠使折痕DE/ BC,若AB=4, AC=3贝ADE的面积是.沿BC折叠，顶点落在点 A'处，根据对称的性质得到 BC垂直平分AA',即AF =义AA 又DE / BC,得到 ABC s AADE ,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求 出三角形ADE的面积=24对称轴垂直平分对应点的连线2 .如图，矩形纸片 ABCD中，AB=4 , AD=3 ,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕 DG,求AG的长.由勾股定理可得 BD = 5,由对称的性质得 ADG 色 A

13、'DG,由A'D = AD = 3,AG' = AG , 则A'B = 5 - 3 = 2,在RtAA,BG中根据勾股定理，列方程可以求出AG的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可3 .把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着 BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则/ DFB等于（）根据对称的性质得到/ ABE= /CBE, / EBF=/CBF,据此即可求出/ FBC的度数，又知道 ZC=90° ,根据三角形外角的定义即可求出/DFB = 112.5 °

14、注意折叠前后角的对应关系二、纸片中的折叠【例2】如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则/ ”的度数等于（）CA:人 5 = Z2 .2/ a +/ABE=180 ° ,即 2/ a +30° =180° ,解得/ a =75° .题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意 EAB是以折痕AB为底的等腰三角形【巩固训练】1.如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC,使/ CAB=45 ° ,则后重合部分的面 积为作 CDXAB ,1. CE / AB , .1 = 7 2,根据翻折不变性，/ 1

15、 = /BCA,故/ 2=/ BCA .AB=AC .又. / CAB=45 ° ,在 RtAADC 中，AC = 2也 ,AB = 2也1Saab C = AB X CD = 2y2在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片） 折叠，折叠后会形成“平行线 +角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的 等腰三角形ABC2.将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是如图，作 QHL PA,垂足为 H,则QH=2cm 由平行线的性质，得/ DPA=/ PAQ=60 由折叠的性质，得/ DPA =/PAQ/ APQ=60 ,又.

16、 / PAQ=APQ=60 ,. APQ为等边三角形， 人_ ./_ HQ在 RtAPQh, sin/HPQ =PQ32 皿 4 3 号=PQ'则 PQ = 3注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形(纸片)折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ3.如图a是长方形纸带，/ DEF=20,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的/ CFE的度数是(图a1. AD / BC,DEF=Z EFB=20° ,在图 b 中，GE = GF, / GFC=180° -2/EFG=140° ,在图 c 中

17、/ CFE=/GFC-/EFG=120° ,本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知/ DEF=/EFB=20° 图 bZGFC=140° ,图 c 中的/ CFE= / GFC-/ EFG三、三角形中的折叠【例3】如图，把RtAABC(/ C=90° ),使A, B两点重合，得到折痕 ED,再沿BE折叠, C点恰好与 D点重合，则 CE AE=CD【巩固训练】1.在 ABC中，已知 AB=2a, Z A=30° , CD是AB边的中线，若将 ABCgCD

18、1对折起来，折叠后两个小 ACM BCD1叠部分的面积恰女?等于折叠前ABC的面积的一.4(1)当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于 ;(2)有如下结论(不在“ C*于a”的限制条件下)： AC边的长可以等于a;折叠前 的 ABC的面积可以等于 坐a2 ;折叠后，以A B为端点的线段 AB与中线CD平行且相 等.其中， 结论正确(把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”).1(1)CD = 2 AB/ ACB = 90. AB = 2a , BC = a , . AC =小aSa ABC= 1 x ACX BC =申a2，重叠部分的面积为:(2)若AC = a ,如右图180&#

19、176; - 302=75ZBDC = 180 ° - 75 . B'DC = 105 °=1053 = 1051 = Z3-75=30.AC/ B'D四边形AB'DC是平行四边形，重叠部分 CDE的面积等于C的面积的若折叠前 ABC的面积等于过点C作CH LAB于点H,1 x AB x CH =乎a23CH = 2 a23a2则又 tan / 1 =CHAH.AH =32a.BH =1 2a则 tan / B =CH 一Q ,得/ B = 60BH. CBD等边三角形，/2= /4 / 3 = Z4, AD / CB2又 CB2 = BC = BD

20、 = a ,. CB2 = AD，四边形ADCB2是平行四边形1则重叠部分 CDE的面积是 ABC面积的1 4如右图，由对称的性质得，/3 = Z4, DA1 = /2又3 + /4 = Z 1 +/2242E3121ED14CB'CADHBC=DB 31. Z 4 = Z 1 AB 3/ CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边2 .在4ABC中，已知/ A=80° , Z C=30 ° ,现把 CDE沿DE进行不同的折叠得 C' DE , 对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把 CDE沿DE折叠

21、在四边形 ADEB内，则求/ 1 + /2的和；(2)如图(2)把 CDE沿DE折叠覆盖/ A,则求/ 1 + /2的和；(1)根据折叠前后的图象全等可知，/1=180° -2Z CDE, Z 2=180° -2Z CED ,再根据三角形内角和定理比可求出答案；(2)连接DG,将/ ADG+ /AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；(3)将/ 2看作180° -2/CED, / 1看作2/CDE-180。，再根据三角形内角和定理来求.解：(1)如图(1)71+7 2=180° - 2/CDE +180° - 2/CED=360°

22、; - 2( / CDE+ / CED)=360° -2 (180° - /C)=2/ C=60°(2) 连接如图(2)DG ,71+7 2=180° - /C' - (/ ADG + / AGD ) =180° -30° - (180° -80° )=50° ;(3)如图(3)图Z2-Z 1=180° - 2/CED - (2/CDE - 180 ° )=360° - 2( / CDE + ZCED)=360° - 2 (180° - /C)=2

23、/ C所以：/ 2 - Z1=2ZC.由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形3 .观察与发现：将三角形纸片 ABC （AB > AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD , 展开纸片（如图）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后得到 AEF （如图）.小明认为 AEF是等腰三角形，你同意吗？ 请说明理由.实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE （如 图）；再沿过点E的直线折叠，使点 D落在BE上的点D'处，折痕为EG （如图）；再展 平纸

24、片（如图）.求图中/ a的大小.在第一次折叠中可得到/EAD = / FAD在第二次折叠中可得到 EF是AD的垂直平分线，则 AD± EF AEF = / AFE. AEF是等腰三角形(1)由折叠可知/ AEB = / FEB, / DEG = / BEG而/ BEG = 45° + / a因为/ AEB + Z BEG + Z DEG = 180° 所以 45 ° + 2 (45° +/ a) = 180 ° / a = 22.5 °由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前

25、后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 EF,折痕与AD边交于点巳与 BC边交于点F;将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都 与点F重合，展开纸片，此时恰好有 MP=MN=PQ (如图)，求/ MNF的大小.由题意得出：工m/ e p口ZNMF= / AMN= / MNF ,.MF=NF ,由对称性可知，MF=PF ,.NF=PF ,而由题意得出：MP=MN ,/又 MF=MF ,7MNFA MPF,图 ./ PMF=Z NMF ,而/ PMF+ / NMF+ / MNF=180 ° , 即 3/ MNF=180 &

26、#176; , ./ MNF=60 ° ,在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形四、圆中的折叠【例4】如图，正方形 ABCD勺边长为2,。的直径为AD,将正方形的BC边与才EC折叠，点 B落在圆上的F点，求BE的长连接 OC OF 则 OC四 OCD(SSS) ./ OFC = / ODC = 90° ,所以/ OFE = 180° ,即点 Q F、E在一条直线上设 BE = x ,贝U EF = x , AE = 2 - x , OE = 1 + x在 RtAAEO, AE2 + AO2 = OE 2所以(2 -

27、 x) 2 + 1 = (1 + x) 2解得：x =-3用对称关系构造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法【巩固训练】1.如图，将半彳至为8的。O沿AB折叠，弧AB恰好经过与 AB垂直的半径 OC1DE =万(8 X 2 - 4) = 6OE=6-4=2 ,在RtAOEB中，根据勾股定理可得：AB = 4质注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解2.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径 AB于点D,若AD=5, DB=7,则BC的长是多少?连接CA CD根据对称的性质，得：弧 CB =弧BDC/ CAB=/ CBD吆 BCD / CDAh CBD吆 BCD丁./

28、 CAD=/ CDA即 CAD是等腰三角形；过 C作 CEL AB于 E,则 AE=DE=2.5; .BE=BD+DE=9.5在 RtACB中,CE±AB, ABS CBE 得： BG=BE?AB=9.5X 12=114;故BC=元此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出 CAD是等腰三角形，是解答此题的关键随堂检测1 .如图，正方形纸片 ABCM边长为8,将其沿EF折叠，则图中四个三角形的周长 之和为 四边形BCFE与四边形B' C' FE关于直线EF对称，则这四个三角形的周长之和等于正方形折叠前后对应边相等2 .如

29、图，将边长为 4的正方形ABCD替着折痕 中点G处，求四边形 BCFE的面积设 AE = x ,则 BE = GE = 4 - x ,在RtAAEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x) 2解得 x = 1.5, BE = EG = 4 -1.5 = 2.5, / 1 + /2 = 90° , / 2 + Z3 = 90°./ 1 = Z3ABC曲周长EF折叠,G使点B落在边AD的AEG s DGP,AE EGDG = GP2 5 .一筹，解得GP =GPio310PH = GH -GP = 4 -3Z 3 = /4, tan

30、/3 = tanZ 1 =GEPf '尸FHPH4 , FH =4 XPH = 4又. / A = / D = 90°1.CF = FH = 2二S 梯形 BCFE = 12(2 +52 )X4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等3将一张长为70 cm的长方形纸片 ABCD ,沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽 AB是()FE60cm设 AB=xcm .右图中，AF = CE = 35 , EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x (cm).则有 2 (35-x) +x=60

31、 ,x=10 .4.直角三角形纸片 ABC中，/ ACB=90 ° , AC < BC,如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F.探究：如果折叠后的 CDF与 BDE均为等腰三角形，那么纸片中/ B的度数是多少？写 出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形.CDF中，/ C=90° ,且 CDF是等腰三角形, .CF=CD / CFD4 CDF=45 ,设/ DAE=x ,由对称性可知， AF=FD AE=DE一 1 。,一。/ FDA=2 / CFD=22.5 , / DEB=2乂 ,分类如下：当 DE=

32、DB寸，/ B=Z DEB=2x ,由/ CDE=/ DEB吆 B,彳导 45° +22.5 ° +x=4x, 解得：x=22.5 ° .此时/ B=2x=45° ;见图形（1）,说明：图中 AD应平分/ CAB当 BD=BE寸，贝U/ B= (180° -4x ),由 / CDEh DEB+Z B得：45+22.5+x=2x+180-4x , 解得 x=37.5 ° ,此时/ B= (180-4x) ° =30° .图形(2)说明：/ CAB=60 , / CAD=22.5° .180 - 2x DE=

33、BE时，贝U/ B= ，2L -cc C 180° - 2x由/ CDE=/ DEB+Z B的，45+22.5+x=2x+2此方程无解.DE=B环成立.综上所述/ B=45或30先确定 CDF是等腰三角形，得出/ CFD=ZCDF=45° ,因为不确定 BDE是以那两条边 为腰的等腰三角形，故需讨论， DE=DB ,BD=BE ,DE=BE ,然后分别利用角的关系 得出答案即可65.如图，双曲线y= (x>0)经过四边形 OABC勺顶点 A C, / ABC=90 , OC¥分OAf xx轴正半轴的夹角，AB/ x轴，将 ABCgAC翻折后得到 AB'

34、;C, B'点落在OA上，则四边形OABC勺面积是多少？设 C(m ,) m /根据对称的性质有：CD = CB = CB'一一, 12 m 12所以 B(m，m), A( , m ), D(m, 0)m126AB = 2 , BD =m，CD = m , OD = m则四边形OABC的面积为：11X (AB + OD) X BD X OD X CD=1x(m+ m) X12- - 1 x mx 2'2" m 2 m=6明白折叠中的对应边就行课后练习1.如图，将一个边长为 1的正方形纸片 ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重 合.MN为折痕，折叠后

35、B'C'与DN交于P.(1)连接BB 那么BB'与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y , AB -x,求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC 'B'面积最小？并验证你的猜想.(1)BB '= MN过点 N 作 NH / BC 交 AB 于点 H),证 ABB ' HNM(2)MB ' = MB = y , AM = 1 - y, AB ' = x在 RtAABB '中BB，-寸AB 2 + AB' 2 =巾 + x2因为点B与点B'关于MN对称，所以BQ

36、 - B'Q,则 BQ = »1 + x2由 BMQA BB'A 得BM X BA = BQ X BB '1 y = 21 + x2 x 小 + x2 = % + x2)C'BC(3)梯形MNC' B'的面积与梯形 MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB ' = x,BH = BM - HM = y - x,贝U CN = y - x梯形MNCB的面积为：112 (y - x + y) x 1 = 2 (2y - x) =1 (2X1(1 + x2) x)(x - 2)2 + 8.1 3当x =2时，即B点落在AD的中点时，梯形 MNC'B'的面积有最小值，且最小值是 g2.一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠 （阴影部分表示纸条的反面）， 为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求 MA的长 将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即 3cm,下