二次函数与几何综合

1、 中考解决方案和二次函数相关的面积学生姓名：上课时间：和二次函数相关的面积中考说明本讲属于二次函数几何综合的一个模块。和二次函数相关的面积类问题经常会在压轴题出现，尤其是代数几何综合题，而九年级上的期末试卷中也会常常出现。通过此讲，学生应该掌握基本的面积计算方法并体会方程思想在此讲的应用例题精讲考点说明：求三角形面积有方法3方法一：补形法图，图图，图方法二：分割法图，图,方法三：平行线转化法图（过点作的平行线,则两三角形同底等高）一、坐标系中的面积【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，三点（1）求抛物线的解析式（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为求关于的函数关系

2、式，并求出的最大值（3）探究当取最大值时，点的横坐标与、两点横坐标的关系xyOBCMA【例2】 在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与轴交于,两点（点在点左侧），与轴交于点.点的坐标为，连接，.（1）求证：；（2）是第一象限内抛物线上的一个动点，连接交于点.当是等腰三角形时，直接写出点的坐标；连接，当的面积最大时，求点的坐标.【例3】 抛物线顶点坐标为点,交轴于点，交轴于点.(1) 求此抛物线的解析式； (2) 抛物线上是否存在点,使,若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.【例4】 如图 , 已知二次函数的图象交轴于，两点（点在点的左侧）， 交轴于点.（1）求直线的解析式；（2）点是在直线下

3、方的抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点坐标.【例5】 已知：抛物线，对称轴为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（1）求直线的解析式；（2）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；【例6】 如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为.（1）求此抛物线的解析式；（2）联结 ，过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切，先补全图形，再判断直线与的位置关系并加以证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间.问：当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积.备用图【例7】 已知直线与轴交于点

4、，与轴交于点，抛物线经过点和点,动点在轴上以每秒个长度单位的速度由抛物线与轴的另一个交点向点运动，点由点沿线段向点运动且速度是点运动速度的倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点和点同时出发，运动时间为（秒），试问当为何值时，以、为顶点的三角形与相似；备用图（3）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【例8】 已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与直线交于点.（1）如图，若点的横坐标为，点的坐标为，试确定抛物线的解析式；A A P P B O O 图1 图2（2）在（1）的条件下，若点是直线下方抛物线上的一点，且，求点的坐标；【

5、例9】 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，为的中点（1）求的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由ABCOyxED【例10】 如图, 已知抛物线经过坐标原点及，其顶点为,是中点，点是直线上的一个动点 (点与点不重合)，点在轴上, 且 .（1）求此抛物线及直线OC的解析式；（2）连接, 当点运动到何处时，的面积为，请直接写出此时点的坐标.【例11】 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；（2）直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧，若为直线上一动点，求的面积；【例12】

6、已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点的坐标为（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）设点是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形面积相等的四边形的点的坐标；【例13】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为. 点是二次函数图象上、两点之间的一个动点（不与点、重合），设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点，作于点.（1）求及的值；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为. 如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由.【例14】 如图，已知点，点，将绕点顺

7、时针旋转角（0°90°）得到（、的对应点分别为、），将沿轴负方向平移个单位得到（，、的对应点分别为、），的值恰好使点、落在同一反比例函数的图象上（1）_°，a_°；（2）求经过点、三点的抛物线的解析式；（3）若（2）中抛物线的顶点为，抛物线与直线的另一个交点为，抛物线上的点满足以、为顶点的四边形的面积与四边形的面积相等（点不与点重合），请直接写出满足条件的点的个数，并求位于直线上方的点的坐标OABxyOABxy备用图二、 二次函数与动点图形面积考点说明：因为动点产生的面积问题，需要考虑动点的运动情况，及分类讨论【例15】 如图，在直角坐标系中，梯形的底边

8、在轴上，底边的端点在轴上，直线的表达式为，点，的坐标分别为，动点自点出发，在上匀速运行，动点自点出发，在折线上匀速运行，速度均为每秒个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动设点运动（秒）时，的面积为（不能构成的动点除外）（1）求出点，的坐标；（2）求随变化的函数关系式（注明的取值范围）；（3）当为何值时有最大值？并求出最大值BCOAxyD（备用图2）BCOAxyD（备用图1）BCOAxyDPQ【例16】 如图，梯形中，于点,，从初始时刻开始，动点P、Q分别从点、同时出发，运动速度均为cm/s，动点沿的方向运动，到点停止；动点沿的方向运动，到点停止，设运动时间为s，的面积为cm2（这里

9、规定：线段是面积为的三角形）解答下列问题：（1）当时， _cm2；当时，y_cm2；（2）当时，求与之间的函数关系式；（3）当动点在线段上运动时，求出使的的值；【选作】直接写出在整个运动过程中，使与四边形的对角线平行的所有的值CDABE备用图CDABEPQ【例17】 如图，在直角梯形中，点是上的一个动点（不与重合），过点作，交于点（当运动到时，与重合），把沿着对折，点的对应点是点，与梯形重叠部分的面积为（1）求的长及的度数；（2）若点恰好在上，求此时的值；（3）求与之间的函数关系式，并求为何值时，的值最大？最大值是多少？ABCEDFG1【例18】 如图，矩形中，点是的中点，点在的延长线上，且一

10、动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后，立即以原速度沿返回；另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，点、同时出发，当两点相遇时停止运动，在点、的运动过程中，以为边作等边，使和矩形在射线的同侧设运动的时间为秒（）（1）当等边的边恰好经过点时，求运动时间的值；（2）在整个运动过程中，设等边和矩形重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；ABCDOFPE三、抛物线内特殊三角形的面积考点说明： 我们经常会碰到特殊，其中点、分别为二次函数与轴的两个交点，为抛物线的顶点，则三角形的面积公式是 若为直角三角形时， 若为等边三角形时，记住这些公式

11、，会有助于我们提高做题速度【例19】 已知二次函数图像的对称轴在轴的右侧，且图像与轴交于点，与轴交于、两点，顶点为，的面积为，则二次函数的解析式为_【例20】 为何值时，抛物线与轴的两交点、及顶点满足°课后作业【题1】 已知：如图，抛物线 （）与轴交于点 ，与轴交于点， ，点的坐标为.(1) 求该抛物线的解析式;(2) 点是线段上的动点，过点作，交于点，连接. 当的面积最大时，求点的坐标；如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为 (1) 求的值和抛物线的解析式；(2) 点在抛物线上，且点的横坐标为,轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形（如图2）若矩形的周