高考数学复习平面向量的数量积及运算律

1、平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教学过程：一、引入：力做的功：w = |f|×|s|cosq，q是f与s的夹角二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与，作a，则（0）叫a与的夹角.说明：（1）当0时，a与同向；（2）当时，a与反向；（3）当时，a与垂直，记a；（4）注意在两向量的夹角定义中

2、，两向量必须是同起点的.范围0°q180°2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫a与的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并规定0与任何向量的数量积为0。×探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘

3、号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0。（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是a×b = b×c a = c 如右图：a×b = |a|b|cosb = |b|oa|，b×c = |b|c|cosa = |b|oa|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在实数中，有(a×b)

4、c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|。4向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向

5、的单位向量。1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b|。 特例：a×a = |a|2或4° cosq =5° |a×b| |a|b|三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由.a·00；0·a0；0；a·a；若a0，则对任一非零有a·0；a·0，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a·

6、;）a（·）；a与是两个单位向量，则a.例2 已知a3，6，当a，a，a与的夹角是60°时，分别求a·.例3 判断下列命题的真假：（1） 在abc中，若，则abc是锐角三角形；（2） 在abc中，若，则abc是钝角三角形；（3） abc为直角三角形的充要条件是.例4 试证明：若四边形abcd满足则四边形abcd为矩形.例5 设正三角形abc的边长为四、小结 通过本节学习，要求掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题课后反思：1.概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负

7、角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1.已知abc中，°，求·.对此题，有同学求解如下：解：如图，°，··cos5×8cos60°20.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是c的补角120°.2.向量的数量积不满足结合律分析：若有（·）·（·），设、夹角为，、夹角为，则(·)·cos·，·(·

8、)·cos.若，则，进而有：（·）·(·)这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：已知，与夹角是60°，与夹角是45°，则：(·)·（·cos60°），·(·)（·cos45°）而，故（·）··（·） 平面向量的数量积及运算律（2）教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

9、 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念c2平面向量数量积（内积）的定义： 3“投影”的概念：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。4向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。（1）e×a = a×e =|a|cosq；（2）ab Û a×b = 0（3）当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b =

10、-|a|b|。 特例：a×a = |a|2或（4）cosq = ；（5）|a×b| |a|b|6判断下列各题正确与否：1°若a = 0，则对任一向量b，有a×b = 0。 ( )2°若a ¹ 0，则对任一非零向量b，有a×b ¹ 0。 ( )3°若a ¹ 0，a×b = 0，则b = 0。 ( )4°若a×b = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( )5°若a ¹ 0，a×b = a×c，则b = c。 ( )6°若

11、a×b = a×c，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立。 ( )7°对任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×(b×c)。 ( )8°对任意向量a，有a2 = |a|2。 ( )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律：a × b = b × a2数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c说明：（1）一般地，(a·)a（·）

12、（2）a··，0a（3）有如下常用性质：aa，（a）（）a·a···(a)a2a·三、讲解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。例2 已知|a|=3,|b|=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？例3 已知a、b是非零向量，设m=|a+tb|.(1) 求当m取最小值时，实数t的值；(2) 证明当m取最小值时，向量b和a+tb垂直.例4 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。例5 四边形abcd

13、中，a，且a····a，试问四边形abcd是什么图形?.课后反思：1.常用数量积运算公式在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛.即(ab)aa·bb，（ab）aa·bb上述两公式以及(ab)(ab)ab这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.2.应用举例例1已知a，b，a·b，求ab，ab.解：ab（ab）aa·bb×（）ab，（ab）（ab）a2a·bb22×（3）×35，ab例2已知a8，b10，ab16，求a与b的夹角(

14、精确到°).解：（ab）（ab）a2a·bba2a·bb××，°平面向量的数量积及运算律（3）教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念c2平面向量数量积（内积）的定义： 3“投影”的概念：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。4向量的数量积的几何意义：数量积a×b

15、等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。(1) e×a = a×e =|a|cosq；(2) ab Û a×b = 0(3) 当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b|。 特别的a×a = |a|2或(4) cosq = ；(5) |a×b| |a|b|6.平面向量数量积的运算律1交换律：a × b = b × a2数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c二、例题例1 已知是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）（1）（2）（3）（4）a 1 b 2 c 3 d 4 例2 已知|a|=4,|b|=5,当（1）a/b, (2) ab ， （3）a与b的夹角为30o时，分别求a与b的数量积.例3 已知