三角形单元复习与巩固

1、北大教育 厚德诚信 专业敬业 追求卓越 三角形单元复习与巩固一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；l 掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式；l 通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；l 会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；l 掌握多边形内角和性质的应用.重点难点：l 重点：三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用.l 难点：难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识.学习策略：l 在充分理解三角形及多边形的边及角的相

2、关概念和性质的基础上，体会其中蕴含的转化的数学思想，并能灵活运用所学镶嵌知识进行图形的设计和解决实际生活中的问题。二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识网络知识点一：三角形的有关的概念（一）三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的，相邻两边上的公共点叫做三角形的，相邻两边所组成的角叫做三角形的，简称三角形的 .注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：（1）三条线段；（2）不在 直线上；（3）首尾顺次连接. 这

3、是判定是否是三角形的标准.（二）三角形的表示方法：“三角形”用符号“ ”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“ ”，读作“三角形ABC”. （三）三角形的分类三角形等腰三角形不等边三角形（1）按边分类： 底边和腰不相等的等腰三角形 三角形 （2）按角分类： 三角形 三角形 斜三角形 三角形（四）三角形的三边关系（1）三边关系：三角形的任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于 线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长

4、的取值范围.注意：（1）这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；（2）三角形的三边关系是“ ”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线（一）三角形的高：从三角形的一个 向它的对边所在的直线作 ，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.注意：（1）三角形的高线是一条 ；（2）锐角三角形的三条高都在三角形 ，三条高的交点也在三角形 部；钝角三角形有两条高落在三角形的 部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形 一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的 .（3）三角形的三条高交于一

5、点，这一点叫做三角形的 .（二）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的 的线段叫做三角形的中线.注意：（1）三角形的中线是一条 ；（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积 的三角形；（3）三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的 .（三）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的 和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：（1）三角形的角平分线是一条 ；（2）三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的 .知识点三：三角形的内角与外角（一）三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的 角.（2）三角形内角和定理：三

6、角形三个内角的和等于.（3）三角形内角和定理的作用：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；求一个三角形中各角之间的关系.（二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为 °.（2）特点：外角的顶点在三角形的一个顶点上；外角的一条边是三角形的一边；外角的另一条边是三角形某条边的 . （3）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 的和. 三角形的一个外角 （大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点四：多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组

7、成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 从边形的一个顶点出发，可以画 条对角线，边形一共有 条对角线.（三）多边形的内角和公式：边形的内角和为 .内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 . 外角和定理的应用：（

8、1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点五：镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就能拼成一个平面图形.经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。类型一：数学思想方法的应用（一）分类思想例1等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A60° B120° C60°或150° D60

9、6;或120°思路点拨：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论举一反三：【变式1】已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则BAC的度数为 .【变式2】有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选出三条组成三角形，正确的选法有（ ）A1种B2种C3种D4种（二）转化思想例2（1）如图1是一个五角星ABCDE，请算出A+B+C+D+E的大小.（2）如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么思路点拨：本题是一题多变题，先求出图1中各角之和，其他图形是否有相同的结论同理

10、可证. 图1 图2 图3 举一反三：【变式1】如下图，ABCDEF。【变式2】一个零件的形状如下图所示，规定A90°，B和C分别是32°和21°，检验工人量得BDC149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因。（三）方程思想例3在ABC中，B20°+A，CB10°，求A的度数.思路点拨：由三角形的内角和，建立方程解决.举一反三：【变式1】如下图，若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求该三角形各边的长。【变式2】已知从多边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成三角形的个数

11、恰好等于该多边形所有对角线条数，求多边形内角和。思路点拨：根据从n边形一个顶点引出的对角线，把多边形分成 个三角形，共有 条对角线，列出方程，先求出多边形的边数n，再进一步求内角和。类型二：三角形内角和定理例4如图所示，已知D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，A62°，ACD15°，ABE20°.（1）求BDC的度数；（2）求BFD的度数；（3）试说明BFCA.思路点拨：BDC是ADC的一个外角，由三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 可以求出BDC和BFCA。然后根据三

12、角形内角和定理，求出BFD。举一反三：【变式1】已知：如图，在ABC中，ABC345，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，求BHC的度数。思路点拨：由已知可求出A、B、C，在RtABD中，190°A，在RtBEH中，290°1，而2是BHC的邻补角，BHC180°2即可求出。 【变式2】如图，已知D为ABC内任一点，求证：BDCABD。思路点拨：要证 ，这两个角度没有直接关系，如连结 并延长，则在ABD中有1ABD，而BDC ，所以 。【变式3】（2010辽宁锦州）如图所示，BDC=98°，C=38°，B=23°，

13、A的度数是（ ） A61° B60° C37° D39°类型三：三角形三边性质例5如图，点P是ABC内一点，比较BP+CP与AB+AC的大小.思路点拨：三边关系是说明不等式问题的首选方法：寻找或构造一个新的三角形，使它与已知的两个三角形联系起来.举一反三：【变式1】已知：如图，P为ABC内任一点。求证：PAPBPC(ABBCAC)类型四：实践应用例6某公园便道用三种不同的正多边形地砖铺设，其中已选好了用正十二边形和正方形两种，还需要选用 ，使这三种组合在一起把便道铺满.思路点拨：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个 时，就能拼成一个

14、平面图形. 举一反三：【变式】（烟台市中考题）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ）A2种B3种C4种D5种例7餐馆的厨房有一块90cm长，54cm宽的长方形墙面准备贴上瓷砖，现在已经买了18cm×12cm的瓷砖24块，6cm×6cm的瓷砖三块，请你帮忙设计一种铺设方案，并说明设计意图.思路点拨：此类问题应先进行有关的运算，再寻找合理的设计方案举一反三：【变式】如图，某部队在灯塔A周围进行爆破作业，A的周围3千米内的区域为危险区域，有一渔船误入离A为2千米的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？（要求给予证明） 三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力 三角形是最简单的多边形，是研究复杂图形的基础，在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形有很多重要性质，如稳定性，三角形内角和等于 等，这些在生产和生活中有广泛