第二章 逻辑代数基础

1、五邑大学五邑大学第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理3逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法4逻辑函数表达式类型的转换逻辑函数表达式类型的转换6逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法5五邑大学五邑大学思思 考考 题题1逻辑代数逻辑代数与普通代与普通代数运算规数运算规则不同处则不同处2逻辑代数逻辑代数为什么要为什么要进行化简进行化简3逻辑代数逻辑代数表达式类表达式类型为什么型为什么要转换要转换五邑大学五邑大学第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础基本概

2、念基本概念逻辑：事物的因果关系逻辑：事物的因果关系逻辑运算的数学基础：逻辑运算的数学基础： 逻辑代数逻辑代数在二值逻辑中的变量取值：在二值逻辑中的变量取值： 0/1 0/1五邑大学五邑大学2.1 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算与与（and） 或或（or） 非非（not） 五邑大学五邑大学与与条件同时具备，结果发生条件同时具备，结果发生y=a and b = a&b=ab=ab五邑大学五邑大学或或条件之一具备，结果发生条件之一具备，结果发生y= a or b = a+b五邑大学五邑大学非非条件不具备，结果发生条件不具备，结果发生 anoty a五邑大学五邑大学几种常用的

3、复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算与非与非 或非或非 与或非与或非五邑大学五邑大学几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算异或异或bababay五邑大学五邑大学几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算同或同或baabbabay)(五邑大学五邑大学2.2.1 基本公式基本公式表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式表2.3.1 逻辑代数的基本公式序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9公 式公 式00aaa 1aaa0aaabbacbacba)()(cabacba)(baba)(aa)(序号序号10101111121213131414151516161717

4、1818公 式公 式aa 0aaa1 aaabbacbacba)()()()(cabacbababa )(100111 a2.2 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式五邑大学五邑大学a 0 = 0a + 0 = aa 1 = aa + 1 = 12. 交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律a. 交换律交换律： ab= ba a + b=b + ab. 结合律结合律：a（bc） =（ ab）c a +（ b c）= （ab） + cc. 分配律分配律：a( b + c) = ab + ac a + bc = (a + b)(a + c)1.关于变量与常数关系的定理关于变

5、量与常数关系的定理逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式说明：由表中可以看出说明：由表中可以看出五邑大学五邑大学a. 互补律：10aaaab. 重叠律：a a = a a + a = ac. 非非律：aa)(d. 吸收律：a + a b = a a (a+b) = a babaae. 摩根定律：baab )(baba )(注：以上定律均可由真值表验证注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理逻辑函数独有的基本定理逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式五邑大学五邑大学逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式表2.3.1 逻辑代数的基本公式序号序号1 12 23 34 45

6、 56 67 78 89 9公 式公 式00aaa 1aaa0aaabbacbacba)()(cabacba)(baba )(aa)(序号序号101011111212131314141515161617171818公 式公 式aa 0aaa1 aaabbacbacba)()()()(cabacbababa )(100111 a五邑大学五邑大学序号序号212122222323242425252626公 式公 式ababaabaa)(cababccaba abaababaa )()(abaababaacababcdcaba 表2.3.2 常用公式2.2.2 若干常用公式若干常用公式逻辑代数的基本公

7、式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式五邑大学五邑大学2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.3.1 代入定理代入定理 任何一个含有变量任何一个含有变量a 的等式，如果的等式，如果将所有出现将所有出现 a 的位置都用同一个逻辑的位置都用同一个逻辑函数函数g来替换，则等式仍然成立。来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式前面的两变量常用公式推广成多变量的公式五邑大学五邑大学2.3.1 代入定理代入定理应用举例：应用举例： 式式 a+bc = (a+b)(a+c) a+b(cd) = (a+

8、b)(a+cd)= (a+b)(a+c)(a+d)？五邑大学五邑大学应用举例：应用举例： cbabcacbabcbbaba)()()(代入以2.3.1 代入定理代入定理利用代入定理可以证明一些公式，也可以将利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式前面的两变量常用公式推广成多变量的公式五邑大学五邑大学2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.3.2 反演定理反演定理 若已知逻辑函数若已知逻辑函数y的逻辑式，则只要将的逻辑式，则只要将y式中所有的式中所有的“.”换为换为“+”, “+”换为换为“.”,常量常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，所有

9、，所有原原变量（不带非号）变成变量（不带非号）变成反反变变量，所有量，所有反反变量换成变量换成原原变量，得到的新函数变量，得到的新函数即为原函数即为原函数y的的反函数反函数（补函数）（补函数） 。五邑大学五邑大学2.3 .2 反演定理反演定理2.3.2 反演定理反演定理 -对任一逻辑式对任一逻辑式原变量反变量反变量原变量，0110yy变换顺序 先括号，然后乘，最后加不属于单个变量的上的反号保留不变五邑大学五邑大学2.3.2 反演定理反演定理应用举例：应用举例：cdcbay)(dcbdacbcadccbay)(五邑大学五邑大学2.3.2 反演定理反演定理解：由反演定理解：由反演定理dccbcad

10、ccccbcacdcbacdcbay )()( 五邑大学五邑大学2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.3.3 对偶规则对偶规则 设设y是一个逻辑函数，如果将是一个逻辑函数，如果将y中所有中所有的的“+”换成与换成与“”， “.”换成与换成与“+” ，“1” 换成与换成与“0”， “0” 换成与换成与“1”，而变量保持，而变量保持不变不变，则所得的新的逻，则所得的新的逻辑式辑式 yd 称为称为y的的对偶式对偶式。cbayd如：如：)(cbay五邑大学五邑大学2.3.3 对偶规则对偶规则对偶规则：对偶规则：如果两个函数如果两个函数y和和g相等，则其对偶式相等，则其对偶式yd和和gd也必然

11、相等。利用对偶式可以证明一些常用公式也必然相等。利用对偶式可以证明一些常用公式acabgacabcbaydd)(例例 试利用对偶规则证明分配律试利用对偶规则证明分配律 abc=(a+b)(a+c)式子成立式子成立证明：设证明：设y abc，g (a+b)(a+c)，则它们的，则它们的对偶式为对偶式为ddgy由于由于故故yg，即，即abc=(a+b)(a+c)五邑大学五邑大学2.3.3 对偶规则对偶规则证明：设证明：设bagbaay则它们的对偶式为则它们的对偶式为ababaabaayd)(由于由于ddgy故故yg，即即babaa试利用对偶规则证明吸收律试利用对偶规则证明吸收律aa bab 式子成

12、立式子成立abgd五邑大学五邑大学2.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法真值表真值表逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图波形图波形图卡诺图卡诺图逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法各种表示方法之各种表示方法之间可以相互转换间可以相互转换五邑大学五邑大学真真 值值 表表yba011101110000输出输入五邑大学五邑大学逻辑式逻辑式 将输入将输入/输出之间的逻辑关系用输出之间的逻辑关系用与与/ /或或/ /非非的运算的运算式表示就得到逻辑式。式表示就得到逻辑式。 如异或关系的逻辑函数可写成如异或关系的逻辑函数可写成 ya b ab 逻逻 辑辑 式式五邑大学五邑大学逻辑图逻辑图 用用逻辑图形符

13、号逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。的实现相对应。 下图表示的是异或关系的逻辑图下图表示的是异或关系的逻辑图逻逻 辑辑 图图aby五邑大学五邑大学波形图波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形，也称时序图。排列起来画成时间波形，也称时序图。如如波波 形形 图图五邑大学五邑大学卡卡 诺诺 图图 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的实质：将逻辑函数的最小项之和最小项之和的以图形的方的以图形的方式表示出来式表示出来以以2n个小方块分别代表个小方块分别代表

14、n 变量的所有最小项变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻几何位置相邻的两个最小项在的两个最小项在逻辑上也是相邻的逻辑上也是相邻的（只有一个（只有一个变量不同），就得到表示变量不同），就得到表示n变量全部最小项的变量全部最小项的卡诺图。卡诺图。 五邑大学五邑大学逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式最小项最小项之和之和 最大项最大项之积之积五邑大学五邑大学两变量两变量a，b的最小项的最小项三变量三变量a，b，c的最小项的最小项）4个（22abbababa,）8个（32abccabcbacbabcacbacbacba,逻辑函数的最小项之和的形式

15、逻辑函数的最小项之和的形式最小项举例：最小项举例：五邑大学五邑大学最小项的编号最小项的编号abccabcbacbabcacbacbacba五邑大学五邑大学逻辑函数转化成最小项之和的形式逻辑函数转化成最小项之和的形式例：例：),()(),(763mbcaabccabaabccabbccabcbay利用公式可将任何一个函数化为1 aa im逻辑函数 最小项之和的形式五邑大学五邑大学逻辑函数转化成最小项之和的形式逻辑函数转化成最小项之和的形式例：例：dcbaacdbaadcbcdbddcbdbcaadcbacbdbcdcbadcbay)()(.)()(),(五邑大学五邑大学卡卡 诺诺 图图 逻辑函数

16、的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的实质：将逻辑函数的最小项之和最小项之和的以图形的方的以图形的方式表示出来式表示出来以以2n个小方块分别代表个小方块分别代表 n 变量的所有最小项变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻几何位置相邻的两个最小项在的两个最小项在逻辑上也是相邻的逻辑上也是相邻的（只有一个（只有一个变量不同），就得到表示变量不同），就得到表示n变量全部最小项的变量全部最小项的卡诺图。卡诺图。 五邑大学五邑大学表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图二变量卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图三变量的卡诺图变量的卡诺图变量的卡诺图

17、五邑大学五邑大学各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换真值表真值表 逻辑式逻辑式例：奇偶判别函数的真值表例：奇偶判别函数的真值表na=0，b=1，c=1使 abc=1na=1，b=0，c=1使 abc=1na=1，b=1，c=0使 abc =1这三种取值的任何一种都使这三种取值的任何一种都使y=1,所以所以 y= ? 五邑大学五邑大学真值表真值表 逻辑式：逻辑式：1.找出真值表中使找出真值表中使 y=1 的输入变量取值组合。的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为为1的写原变量，取值为的写原变量，取值为0的写反变量。的写反

18、变量。3.将这些变量相加即得将这些变量相加即得 y。各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学例例2.5.2 已知真值表如表已知真值表如表2.5.2所示，试写所示，试写出输出的逻辑函数出输出的逻辑函数解：其输出的逻辑函数为解：其输出的逻辑函数为cabcbabcacbay各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学真值表真值表 逻辑式：逻辑式：1.找出真值表中使找出真值表中使 y=1 的输入变量取值组合的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为值为1的写原变量，取值为的写原变量，取值为0的写反变量。的

19、写反变量。3.将这些变量相加即得将这些变量相加即得 y。 把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出中求出y，列出真值表，列出真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学例例2.5.3 写出逻辑函数写出逻辑函数yab c 的的真值表真值表解：其真值表如表解：其真值表如表2.5.3所示所示输入输入输出输出abcy00001111001100110101010110101110表表2.5.3各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式

20、中的逻辑运算符。)(cbay各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学例例2.5.4 画出逻辑函数画出逻辑函数y(ab+c ) ( ac ) b) 的逻辑电路的逻辑电路解：其实现电路如解：其实现电路如图图2.5.3所示所示1a ab bc c11y y图2.5.3 例2.5.4的电路图2.5.3 例2.5.4的电路各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2. 从从输入到输出输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑逐级写出每个图形符号对应的逻辑 运算式。运

21、算式。 )( bab)(baa)()( bababababababababa )()()(各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学11 1a ab bc cy y图2.5.4 例2.5.5的逻辑电路图2.5.4 例2.5.5的逻辑电路ca例例2.5.5 已知逻辑电路如图已知逻辑电路如图2.5.4，试写出，试写出输出端的逻辑函数式。输出端的逻辑函数式。ababc解：输出的逻辑式为解：输出的逻辑式为bccaaby各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学波形图波形图 真值表真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换 将每个时间段内输入变量和输出的取值对

22、将每个时间段内输入变量和输出的取值对应列表，即可得到函数的真值表。应列表，即可得到函数的真值表。五邑大学五邑大学波形图波形图 真值表真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换例例2.5.6 已知图所示是某个逻辑电路的输入输已知图所示是某个逻辑电路的输入输出波形，试画出该真值表，并判断其逻辑功能出波形，试画出该真值表，并判断其逻辑功能abttooyto图2.5.6 例2.5.7的波形图2.5.6 例2.5.7的波形五邑大学五邑大学波形图波形图 真值表真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换例例2.5.9 已知逻辑函数的真值表如表已知逻辑函数的真值表如表2.5.9所示，所示，试画

23、出输入输出波形。试画出输入输出波形。输入输入输出输出abcy00001111001100110101010111001000表表2.5.9解：由真值表画出输入输出波形如解：由真值表画出输入输出波形如图图2.5.9所示所示abcyttttoooo图2.5.9 例2.5.9的波形图2.5.9 例2.5.9的波形五邑大学五邑大学卡诺图卡诺图 真值表真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换根据真值表得到其卡诺图如表根据真值表得到其卡诺图如表2.6.6所示所示输入输入输出输出abcy00001111001100110101010100110001表表2.6.5a abcbc0000010111

24、1110100 01 1表表2.6.6 y的卡诺图的卡诺图1 11 11 1五邑大学五邑大学卡诺图卡诺图 逻辑式逻辑式各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换卡诺图用于化简逻辑函数式卡诺图用于化简逻辑函数式五邑大学五邑大学真值表真值表逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图波形图波形图卡诺图卡诺图各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换五邑大学五邑大学2.5 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式 最简最简与或与或 -包含的乘积项已经最少，每个乘积项的包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的因子也最少，称为最简的与与- -或或逻辑式。逻辑式。cbacyac

25、dcbabcy21五邑大学五邑大学2.5 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法逻辑函数的化简有两种方法逻辑函数的化简有两种方法1.公式化简法公式化简法2.卡诺图化简法卡诺图化简法 公式法化简就是利用逻辑代数的一些公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理定理、公式公式和运算规则，消去多余的乘积项和多余的和运算规则，消去多余的乘积项和多余的因子。因子。将逻辑函数的真值表图形化，将逻辑函数的将逻辑函数的真值表图形化，将逻辑函数的最最小项之和小项之和的以的以图形图形的方式表示出来，然后完成的方式表示出来，然后完成相邻最小项的相邻最小项的合并合并。五邑大学五邑大学反复应用基本公式和常用公式，消去多余的反复应用基

26、本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。乘积项和多余的因子。 例：例： dbcbadcdbcbadebaadcdbcbacdebacbadcdbcbaccbadebadbcacbadcdbcbacy )()()(2.5.1 公式化简法一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。以判断。五邑大学五邑大学2.5.2 卡诺图化简法卡诺图化简法1.将函数表示为最小项之和的形式将函数表示为最小项之和的形式 。2.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入在卡诺图

27、上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添其余地方添0。 im用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数五邑大学五邑大学表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图二变量卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图三变量的卡诺图变量的卡诺图变量的卡诺图五邑大学五邑大学最小项的性质最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为值为1。全体最小项之和为全体最小项之和为1 。任何两个最小项之积为任何两个最小项之积为0 。两个两个相邻相邻的最小项之和可以的最小项之和可以合并合并，消去一对因子，消去一对因子，只留下公共因子。，只留下公共因子。 -相邻相邻：仅一个变量不

28、同的最小项：仅一个变量不同的最小项 如如 baccbabcacbabcacba)(与五邑大学五邑大学最大项之积最大项之积最大项最大项m：m是相加项；是相加项；包含包含n个因子。个因子。n个变量均以原变量和反变量的形式在个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一中出现一次。次。如：两变量如：两变量a, b的最大项的最大项）4个（22babababa,五邑大学五邑大学最大项的性质最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为值为0 0；全体最大项之积为全体最大项之积为0 0；任何两个最大项之和为任何两个最大项之和为1 1；只有一个变量不同的最大

29、项的乘积等于各相同变只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。量之和。五邑大学五邑大学最大项的编号最大项的编号cbacbacbacbacbacbacbacba五邑大学五邑大学设有三变量设有三变量a、b、c的最小项，如的最小项，如m5 ab c，对其求反得对其求反得cbam555)(mcbacbam由此可知对于由此可知对于n 变量中任意一对最小项变量中任意一对最小项 mi 和和最大项最大项mi ，都是互补的，即，都是互补的，即iiiimmmm或最小项与最大项的关系五邑大学五邑大学imy若某函数写成最小项之和的形式为若某函数写成最小项之和的形式为则此函数的反函数必为则此函数的反函数必为)(

30、ikmyk如表如表2.5.15中中)7 , 6 , 3(763immmmy)5 , 4 , 2 , 1 , 0(54210kmmmmmmya ab b0 00 00 01 10 01 11 11 1表2.5.15 逻辑函数y的真值表表2.5.15 逻辑函数y的真值表c c0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 0y y最小项与最大项的关系五邑大学五邑大学5421054210)(mmmmmmmmmmy 利用反演定理可得利用反演定理可得ikkikkkmmikmy)()5 , 4 , 2 , 1 ,

31、 0(54210kmmmmmmy上式或写成上式或写成最小项与最大项的关系五邑大学五邑大学 imyikkmyikkmy)(kikkikmmy最小项与最大项的关系五邑大学五邑大学cbcaabcbay),(例2.5.12 试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式a ab b0 00 00 01 10 01 11 11 1表表2.5.16 例例2.5.12的逻辑函数真值表的逻辑函数真值表c c0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1y y1 11 11 11 11 10 01 10 0解：其真值表如表2.5.16所示逻辑函数转化成两种标准形式逻辑

32、函数转化成两种标准形式五邑大学五邑大学a ab b0 00 00 01 10 01 11 11 1表表2.5.16 例例2.5.12的逻辑函数真值表的逻辑函数真值表c c0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1y y1 11 11 11 11 10 01 10 0abccabcbabcacbacbamcbay)7 , 6 , 4 , 3 , 1 , 0(),(逻辑函数的标准或与型为逻辑函数的标准或与型为)()5 , 2(),(cbacbamcbay则逻辑函数的标准与或型为则逻辑函数的标准与或型为逻辑函数转化成两种标准形式逻辑函数转化成两种

33、标准形式五邑大学五邑大学)6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 () ( ) () () ( ),(26151346immmmmmmmmbcaabccbacabcbabcacababcaabcaacbbbcabbaccbcbcacacbay用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数abc五邑大学五邑大学 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。子。 在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。地反映出来。五邑大学五邑大学卡诺图化简的原则卡诺图化简的原则化简后的

34、乘积项应包含函数式的所有最小项，化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆即覆盖图中所有的盖图中所有的1。乘积项的数目最少，乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少即圈成的矩形最少。每个乘积项因子最少，每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大即圈成的矩形最大。 n 为了使圈成的矩形最大，可以在不同的圈中为了使圈成的矩形最大，可以在不同的圈中反复反复圈圈 入某一项。入某一项。n 边边边边相连，相连，角角角角相连。相连。五邑大学五邑大学合并最小项的原则：合并最小项的原则：n两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子n四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消四个排成矩形

35、的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子去两对因子n八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学例：例：cbcbcacacbay),(abc 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学例：例：cbcbcacacbay),(cbcabaabc 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学例：例：cbcbcacacbay),(abccbbaca 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学例：例：cbcbcacacbay),(cbcabacbbaca 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学例

36、例 用卡诺图简化下面逻辑函数用卡诺图简化下面逻辑函数)14,12,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(),(mdcbayababcdcd00000101111110101010表2.4.16 y的卡诺图表2.4.16 y的卡诺图000011110101解解:cbbady11111111111 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学例：例：abcddcacbadcdcaabdabcy 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学例：例：dcacbadcdcaabdabcyabcdda 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学注：注： 以上是通

37、过合并卡诺图中的以上是通过合并卡诺图中的“1”项来简化逻辑函数的，项来简化逻辑函数的，有时也通过合并有时也通过合并“0”项先求项先求f的反函数，再求反得的反函数，再求反得y例如上面的例题例如上面的例题,圈圈“0”情况如表情况如表所示，可得所示，可得ababcdcd00000101111110101010表表2.6.15 y的卡诺图的卡诺图0000111101010 00 00 00 0111111111111daydaday)( 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大学a.任意项：任意项：输入变量的某些取值对电路的功能没影输入变量的某些取值对电路的功能没影响，这些项称为响，这些项称为任

38、意项任意项。 例如例如8421bcd码取值为码取值为0000 1001十个状态，而十个状态，而10101111这六个状态不可能出现，故对应的函数取这六个状态不可能出现，故对应的函数取“0”或取或取“1”对函数没有影响，这些项就是任意项。对函数没有影响，这些项就是任意项。2、化简时，根据需要任意项可以、化简时，根据需要任意项可以作为作为“1”也可作也可作“0”处理处理，以得到相邻最小项矩形组合最大（包含，以得到相邻最小项矩形组合最大（包含“1”的个数最多）为原则。的个数最多）为原则。1、将任意项在卡诺图相应位置、将任意项在卡诺图相应位置用用“ ”表示表示最小项的表达式为最小项的表达式为dmy其中

39、其中d为任意项为任意项无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简五邑大学五邑大学例例 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式)13,12,11,10, 8 , 7 , 4 , 2()15,14, 9 , 6 , 1 , 0(),(dmdcbay解：根据解：根据y的卡诺图的卡诺图则最简与或式为则最简与或式为cbady111111 无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简五邑大学五邑大学无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简b.约束项约束项 ：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制

40、称为意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制称为约束约束，被约束的项叫做，被约束的项叫做约束项约束项。例如有三个逻辑变量例如有三个逻辑变量a、b、c分别表示一台电动机的分别表示一台电动机的正转、反转和停止。若正转、反转和停止。若a1表示电动机正转，表示电动机正转，b1表示电动机反转，表示电动机反转，c1表示电动机停止，则其表示电动机停止，则其abc的的只能是只能是100、010、001，而其它的状态如，而其它的状态如000、011、101、110、111是不能出现的状态，故是不能出现的状态，故abc为具有约为具有约束的变量，恒为束的变量，恒为0。可写成。可写成0abccabcbabcacba这

41、些恒等于这些恒等于“0”的最小项称为的最小项称为约束项约束项五邑大学五邑大学例例 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式试简化下列逻辑函数，写最简成与或式0),(约束条件：bacdbadcbadbcacbadcbay解：约束条件为解：约束条件为0abba则则y的卡诺图如所示的卡诺图如所示最简与或式为最简与或式为dccaacy11111无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简五邑大学五邑大学 将约束项和任意项统称为将约束项和任意项统称为无关项无关项 。即把这些最。即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响 含有无关项的逻辑函数的表示方法含有无关项的逻辑函数的表示方

42、法最小项的表达式为最小项的表达式为dmy其中其中d为无关项为无关项也可以写成也可以写成0约束条件： ddmy利用无关项可以使得函数进一步简化利用无关项可以使得函数进一步简化无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简五邑大学五邑大学化简步骤：化简步骤： 1、用卡诺图表示逻辑函数、用卡诺图表示逻辑函数 2、合并的最小项、合并的最小项n 矩形圈上所有的矩形圈上所有的1 1n 矩形圈要最大，圈数要最少矩形圈要最大，圈数要最少n 有无关项用有无关项用“ ” ”表示，表示，可作可作“1”“1”也也可作可作“0”“0” 3、化简后的乘积项相加、化简后的乘积项相加 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数五邑大学五邑大

43、学2.6 逻辑函数表达式类型的转换逻辑函数表达式类型的转换 逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可由达形式可由不同的门电路不同的门电路来实现。一般的逻辑来实现。一般的逻辑函数为与或式（乘积和），这样需要转换成其函数为与或式（乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。五邑大学五邑大学与或式转换成与非式与或式转换成与非式1. 与或式转换成与非式与或式转换成与非式 利用摩根定理将整个与或式两次求反利用摩根定理将整个与或式两次求反，即可得到与非式。即可得到与非式。五邑大学五邑大学