导数典型例题讲解

1、完整版本资料一：导数.知识点1 .导数的概念例1.已知曲线y=W上的一点P(0, 0),求过点P的切线方程解析：如图，按切线的定义，当x 0时，割线PQ的极限位置是y轴(此时斜率不存在)，因此过 P点的切线方程是x=0.例2.求曲线y = xy1lim = lim x 0 x x 0，i x(1.1 x)在点(2, 4)处的切线方程解析：: y=x2,y=(xo+ x)2-xo2=2xo x+( x)2 =4 x + ( x)2二 k= lim y lim(4 x) 4.x 0x 0'x曲线y=x2在点(2, 4)处切线方程为y4=4(x 2)即4x y 4 = 0.例3.物体的运动方

2、程是 S= 1+t+t2,其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t = 5秒时的瞬时速度及物体在一段时间5,5+ t内相应的平均速度.解 析： vS=1+t+t2,.S=1+(t+t)+(t+ t)2 (1 + t+t2)=2t t+ t+( t)2,S. 2t 1 t ,即 v(t) 2t 1 t , . v(5) t 11, t即在5, 5+ t的一段时间内平均速度为(t+11)米/秒v(t)= SS=litm0 -7 ltm02 t 1t) 2t 1即 v(5) =2X5+ 1 = 11.物於在t =5秒时的瞬时速度是11米/秒.例4.利用导数的定义求函数y=、在x=1处的导数。 xy

3、 =1x .1x(1 1 x)1 彳 1 、1 x斛析： y= . 1,1 x, 1x2 sin1例5.已知函数f(x)= x求函数f(x)在点x = 0处的导数即f(x)在x=0处有定义,y=f (0+ x)解析：由已知f(x)=0 ,21f (0)= ( x) sin ,x sin , lim -y = limx x 0 x x 01x sin=0, 即 f (0) = 0. x函数f(x)在x=0处导数为0.122(x例6.已知函数f (x)= 21, 2(x1)1)x< 1,判断f(x)在x=1处是否可导?x 1解析：f(1)=1,lim -yx 0 xlimx 0122(1x)

4、2 1 1limx 01(1 - x) 1,2y lim x 0 xlimx 0lim ylimx 0xx 01-(1 x 1) 1函数y=f (x)在x=1处不可导. 例7.已知函数y=2x3+3,求v；y=2x3+3,y=2(x+x)3+3(2 x3+3)=6x2 x+6x ( x)2+2( x)3,y=6x2+6x -x+2( x) 2,x=lim y =6x2.x 0 x例8.已知曲线y= 2x3+3上一点P, P点横坐标为x=1,求点P处的切线方程 和法线方程.解析：: x=1,y=5, P点的坐标为(1,5),利用例7的结论知函数的导数为V, =6x2,. y' |x1 =

5、 6,曲线在P点处的切线方程为y5=6(x1)即6x y1 = 0,又曲线在p点处法线的斜率为一-,66例9.抛物线y = x2在哪一点处切线平行于直线y = 4x 5?2x,4)处切线平行于直线y = 4x 5.曲线在P点处法线方程为y 5=1( x1),即6y + x 31=0.解析： y二飒3二则支xx2 xx 令 2x = 4.x=2, y = 4, 即在点 P(2例10.设mtw0, f (x)在xo处可导，求下列极限值 limx 0f (x0 m x) f(x0)；(2)解析：要将所求极限值转化为导数fxf(x0-) f(x0)lim t.X 0x'(x。)定义中的极限形式

6、。(1) limx 0f(xo m x) f(xo)(其中一m-xx0)= limx 0f (x0 m x) f(x0)-l- ( m) m f'(%),f(x /)f(X0)f(x -)f(Xo) 1 1(2) limt= limt - - f '(X0).x 0xx 0x t tT1(其中1 X 0)t例11.设函数“乂）在乂=1处连续，且limf®x 1 x 1解析：: f(x)在 x=1 处连续，. lim f(x) f (1).f (x)f (x) 一一而又 limf(x) lim(x 1) lim(x 1) lim 0X2=0.x 1x 1x 1 x 1x

7、 1 x 1f (1)=0. f ' (1)= lim f(1x) f(1) lim f(x) f(1) 2 (将 x 换成 x1)x 0 xx 1 x 1即 f ' (1) =2.例12.已知抛物线y = ax2+bx+c ( a . tan( 8 ) = 1 tan2- 7 46 H,41 tan 、31 2例14.设f(x)是定义在 R上的函数，且对任何x1、xzCR,都有f(x1 +x2)=f(x1)f(x2),若 f(0) w0,f ' (0) =1,证明：对任何 xC R,都有 f(x)=f' (x)0),通过点(1 , 1),且在点(2 , 1)处

8、与 直线y = x 3相切，求a, b, c而化22解析：由 y，= lim' = lim a(xx) b(x x) c (ax bx C) 2ax b,x 0 x x 0x由函数在点(2, 1)处与直线y = x 3相切， .2aX2+b=1, 又函数过点(1 , 1), (2, - 1), . a+b+c=1, 4a+2b+c=1, 由三式解得a=3, b=11, c=9.1例13.设曲线y = sin x在点A(-,金)处切线倾斜角为0 ,求tan( - - 0 )的值.解析：: y=sinx, y=sin( x+ x) sin x=2cos(x+x )sin x ,222cos

9、(x=lim y = lim x 0 x x 0)sin 一22xlim cos(xx 0x、I.)lim2 x 0一 x sin一2cosx.即 y' = (sin x)' = cosx,jrf0 e (0,冗),令在A点处切线斜率为k=cos- = 3,.tan 0 =3,解析：由 f(Xi + Xo)=f (Xi)f (X2),令 Xi = X2=0 得 f(0) =f(0) f (0),又 f(0) W0 . f (0)=1由 f ' (0)=1 即 lim f( X) f(0) lim f( X) 1 1,X 0XX 0 X. f，(X)=.f(XX) f(X

10、). f(X)f (X) f(X)f( X) 1lim -lim -f (x) lim -f (x).X 0xX 0xX 0 x即 f ' (x)=f(x)成立.2.几种常见函数的导数例 1.已知 f(x)=x3,求 f ' (x) , f ' (1) , (f(1) ' , f ' ( 0.5) 解析：f(x)=x3, . f ' (x)=3x2, f ' (1)=3,f ' ( 0.5) =3X(0.5) 2= 0.75 , (f(1) ' =(1) ' =0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系.后

11、者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值.例2.已知曲线y=x2上有两点A(1, 1), B(2, 4),求割线AB的斜率；在 1 , 1 + X内的平均变化率；过点A处的切线斜率kAT；点A处的切线 方程.4 1解析： kAB= = 3;2 1平均变化率,f(1 x) f(1)2 x,XXXy' =2X ,y' |x=1 = 2.即点A处的切线斜率为Kat= 2. 点A处的切线方程为y1 = 2(x1)即2x y1 = 0.说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点 处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均

12、变化率之间的关系y'= lim -yX 0 X1)处的切线倾斜例3.利用导数定义和导数公式两种方法求曲线 y=1在点P(1X角及该点处的法线方程.解析：解法一：f (x)= - , y=f (1+ x) -f (1)= X二 V' I x=i= lim -y = lim 1.X 0 x X 01 X135° ,X=1 1.即在点P处斜率为k=1, 倾斜角为 法线方程y1=x1即x y = 0.解法(二)：y=f(x) =,v'=f ' (x)= X完整版本即在点P处切线斜率为k=-1,以下同法(一)说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，

13、第二种用导数公 式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可.例4.已知曲线y=3/X上的一点p(o, 0),求过点p的切线方程.解析：由y=3/x,v'二(我)',在x=0处导数不存在，由图形知33x2过P点的切线方程是x=0. .3例5.设曲线y = cosx在A(g，万)点处的切线倾斜角为0 ,求cot( - - 0 )tan 0 =-, 2的值解析：y=cosx, v' = sin x, x=时，k=sin =-, 662.1-吊. cot( -9)= -1 Uan2 -.4tan() 1 tan 1 J 3例6.求曲线y = x3在点(3, 27)处的切线

14、与坐标轴所围成的三角形面积.解析：y=x3,y' =3x2, y' I x=3=27,曲线y=x3在点(3, 27)处的切线方程为y 27=27(x 3),即y= 27x 54. 其与x轴，y轴交点分别为(2, 0) , (0 , 54)切线与坐标轴围成的三角形面积为S=-X2X54= 54.2例7.在抛物线y=x2上取横坐标为xi=1及x2 = 3的两点，作过这两点的割线， 问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点A(1, 1)B(3, 9),割线斜率为kAB=4,V y' =2x,令y' =2x=4得x = 2,即在点(2 , 4)处切线平行于

15、这一割线.3.函数和、差、积、商的导数,2y=xtanxcosx例1.求下列函数的导数: y=3x2+ xcosx； y=lan-x . x解析： y' =6x+cosx xsin x；2,(tan x)' x tan x (x)' xsec x tan xxsin x 2夕y=(xcosx sin x) cosx (xsin x 2) ( sin x)cosx2cos x完整版本sin x(cosx 2) x2cos x y=x 1 1 x x 1y'二i (x 1)21(x 1)2例 2.已知函数 f(x)=x3-7x+1,求 f ' (x), f

16、' (1) , f ' (1.5).解析：f(x)=x3 7x+1,y' = f ' (x)=3x2 7, f ' (1)= 4, f ' (1.5)=1 .4注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点 处的函数值.例3.已知函数y=x3 + ax2 4a的导数为0的x值也都使y值为0,求常数a 3的化解析：V =3x2+2ax,令 y' =0,则 3x2+2ax=0, Xi=0, x2=- - a,3当 x=0 时，y=0=- -a,a=0,即 a=0 满足条件，3当 x=2a 时.y = 0= a3 -a2 -

17、 a 得 2 = 0或2=±332793检验知a=±3不满足条件，常数的值为0.例4.曲线y= x2+ 4x上有两点A(4, 0), B(2, 4),求 割线AB的斜率kAB； 过点A处的切线斜率kA； 点A处的切线方程。解析： 割线AB的斜率kAB=40=- 2;2 4 y' = 2x+4, ''' y' | x=4= 4,即 kA= - 4"过A点的切线方程为y 0= 4(x4),即y= 4X+16.例5.已知F(x)=f(x)+g(x),就下列两种情形判断F(x)在x = x。处是否可导？f (x)在x = x

18、6;处可导，g(x)在x = x0处不可导.f (x) , g(x)在x = x。处均不可导.解析：F(k)在x=x0处不可导.假设 F(x)在 x = x°处可导，由 F(x)=f (x) +g(x), . .g(x) =F(x) f (x).f(x)在x = x。处可导，g(x)在x=x。处可导，与条件g(x)在x = x。处不可导矛盾，F(x)在x = x0处不可导.F(x)在x = x0处不一定可导.如设 f(x)=sinx+1, g(x)=cosx- 1,则 f(x), g(x)在 x = 0处均不可导,xx但 F(x)=f (x)+g(x) =sin x + cosx 在

19、 x = 0 处可导.1另：右.g(x)=tan x+上，在x = 0处不可导，x2 ,F(x)=f (x)+g(x)=sin x+tanx+在 x = 0 处也不可导.x例6.曲线y = x3+ x 1上求一点P,使过P点切线与直线y=4x7平行.解析：V' =(x3+x1)' =3x2+1,由过P点切线与直线y = 4x7平行，令3x2+1 = 4得x= ± 1,当x=1时，y=1,此时切线为y1=4(x1),即y=4x 3与直线y = 4x 7 平行，P点坐标为(1 ,1)。当x=1时，y= 3,此时切线为y+3= 3(x+1),即y = 4x+1也满足 条件，

20、P点坐标为(1, -3).综上得P点坐标为(1 , 1)或(一1, -3).例 7.证明：过抛物线 y=a(x x1)( x-x2), (aw0, xyxz)上两点 A(xb 0) , B(x2, 0)的切线倾斜角互补.解析：V' =2axa(x1+ x2). y'lxx1a(Xx2),即 k产a(x1一x2),丫'七a(x?x1)，即 k2=a(x2x1),V k产一k2,两切线倾斜角互补.例8.已知曲线y=f(x)及y=f (x)sin ax, (aw0),其中f(x)>0,且为可导函数, 求证：两曲线在公共点处彼此相切. sin ax=1, ax=2k (

21、k Z), 22k 即 xo=2 .a二f' (x) , y1=f (x)sin ax3)小回" 2) f(xo)，解析：由 f(x)=f(x)sin ax, f (x)>0,2k x=2 ,设曲线交点(xo, yo)a又两曲线y1二f(x) , y1y2' 二f ' (x)sin ax+a cosx f(x)y1' |x xo f'(Xo), y2'|xx f'(xo)sin(2kk1=k2,即两曲线在公共点处相切.例9.已知直线y=kx与曲线y = x3 3x2+2x相切，求k的值.解析：由 y' =3x2 6

22、x+2=k,又由 kx=x3 3x2+2x, . 3 x3 6x2+2x=x3 3x2+2x 即 2x33x2= o 得 x1 = o 或 x2=3 .k = 2 或1.244.复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数2例1.函数 y=(sin x2) 3是由函数 y=, u =, v=三个 函数复合而成.2解析：答案分别为：y=u3, u=sinv. v=x2.例2.求下列函数的导数： 1 y=(x2+2x)3； y=e5 4x ； y=3/ax2bx c ； y= (sin x2) 3 ; y = ln( x+ Gx2); y = x3lig M； y=cos5x ； y=xn, ( xC

23、 R, n sin 2xCR). (8x)=8x -5 4x2 e解析： y=(x2+2x)3, y' =3(x2+2x)2 (2x+2)=6(x+1)( x2+2x)2.5 4x25 4x2 y=e, y = e y=3ax2bx=1 (ax23bx2x) 3 - (2 ax+b).i y=(sin x2) 3,2(sin x2) 3-cosxc2 x cosx2 2x=33 (sin x2)2 y = ln( x+ Jix2),z-Z?x3. y = x lig 3x,y231222=3x - lig 3x+xlig 3e=3x lig 3x+x lig 3e=x lig 3(ex

24、).x y=cos5x sin 2xy'二(cos5 x)'(sin 2x) cos5x (sin 2x)'5sin 5xsin 2x 2cos5xcos2x_2(sin 2x)_2(sin 2x) y=xn=(elnx)nenlnxn In二 e1 n n 1一 x 二nx x说明：本例集中训练常见函数求导公式， 导数的四则运算法则，复合函数的 求导法则等，这些要反复熟记22例3"攵 f(x)=0) xa & x & ba x b的导数。a或x bb)b)2(x a)(x b)(x解析：f (x)=02(x a)(x b)(2x a一 f一八

25、0例 4.若 f(x)=x + ln( x5) , g(x) =ln( x1)，解不等式 f ' (x)>g，(x).解析：f ' (x)=1 + , g，(x)=,由 f ' (x)>g(x),有x 5x 11+>, 即一(x 3 0,x>5 或 x<1.x 5 x 1 (x 5)(x 1)又两函数定义域为x>5,所以，不等式f ' (x)>g，(x)的解集为(5, +oo).说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域.例5.证明：可导奇函数的导数是偶函数。解析：法一：定义法：设f(x)为可导奇函数，则f(x)= f(

26、x),f，( x尸 lim f( x x) f( x) lim f(x x) f(x)x 0xx 0xf (x x) f (x) _f=lim =f (x).x 0x即f ' ( x)=f ' (x) . .导函数为偶函数.法二：复合函数求导法：设f(x)为可导奇函数，则f(-x)=-f(x),两边对x求导得：f ( x) ' =- f ' (x)即-f ' ( x) = f ' ( x),. f ' ( x)=f ' (x). f ' (x)为偶函数，即命题成立.同理可证：可导偶函数的导数是奇函数.例6.石头落在平静水面

27、上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是an/s,问在b秒末波扰动水面积的增大速度是多少？解析：设b秒末最外一圈波纹的半径为 R,则R=ab,S=冗 R2,又 R' =a, S' |R=ab=2TtR - R' (t)| R=ab=2 冗 b b.即b秒末波扰动水面积的增大率为 2冗a2b m/ s.例7.将水注入锥形容器中，其速度为 4米3/分，设锥 形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米" -时，水面上升的速度.(如图)/解析：设注入水t分钟后，水深为h米，由相似三角形对应过之比可得水面直径为3h米，七巨/ 1 I这时水的体积温V=1 tt

28、 ( 3 h)2 - h= h3,由于水面vL1一;3864高度h随时间t而变化，因此h是t的函数h=h(t),由此可得水的体积关于时问 t 的导数为 V' t=V，h，t,. V t = (3-h3)' h't 9-h2 h't ,6464由假设，注水的速度为4米3/分.94 64Vt 二h h't=4,即 h t =亨，649 h当h= 5米时，水面上升的速度为h，/5=0(米/分).2255.函数的单调性和极值1,求函数y=ex x+1的单调区问解析：y' =(ex x+11二ex1,由 ex 1>0 得 x>0,即函数在(0,

29、 + °0)上为 增函数；由ex1<0得x<0,即函数在(一8, 0)上为减函数.函数的单增区间为(0, +8),单减区间为(一oo, 0).例2.证明：函数y=52x x2在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1, 2)上单调递减.解析:1 x2x x2当 xC(0, 1)时，y' >0,f(x)在(0, 1)上递增;当 xC(1 , 2)时，y' <0,. 刈在(1 , 2)上递减. 例3.讨论函数y=x2sinx在(0 , 2冗)内的单调性.V V, =12cosx, x (0, 25兀)，由 y >0,得-<x<-，即

30、 y=f(x)在(-,今-)内是单调递增；同理，由5y <0, 4< 0<x<-<x<2：t ,33一 .一 5y=f(x)在(0,)和(5_, 2冗)内都是单调递减33例4.设f(x)= 7x21 ax ( a>0),求a的范围，使函数f(x)在(0 , +oo)上 是单调函数.解析：f 'a,当 xC(0, + oo)时，0<_x=<1, x2 1x2 1a>0,且f(x)在(0, +8)上是单调函数，则必有 f ' (x)<0, .a1.即a>1时，函数乂)在(0,+8)上是单调函数.例5.已知函数f

31、(x) = alg(2 ax)(a>0且aw1)在定义域(0 , 1)上是减函数，求a的取值范围.解析：:定义域要求2 ax>0, x<-,又函数在(0,1)上都有意义, a >1, , a02, a y'= alg(2 ax) In a 1 log畿e ( a) alg(2 ax) lg a 二 ,2 ax2xlg a 0alg a 0由y' <0,得 2 或x 0a22若 0<a<1, WJ Iga <0, x ->0, WJ x>4 >2与定义域 x C (0, 1)矛盾,22只有 a>1,止匕时 I

32、ga >0, x <0, x<-<2, . 1<a<2.例6.当x>0时，证明不等式上ln(1 x) x1 x解析：设 f(x)= x- ln(1 x)=1 ln(1 x), 1 x1 x则 f ' (x)二 (111x)2 1 xx(1 x)2当x>0时,f '/ 、 x(X) =2(1 x)2<0,即f(x)在(0, +8)上是递减函数,又当 x=0 时，f(0) =0. f (x)<f (0),即xln(11 x一 xx)<0,ln(1 x).1 x.1令 g(x)=ln(1 +x)x, g (x) = 1

33、1 x当x>0时，g' (x)<O,g(x)也为减函数，+ x)x<0 即 ln(1 +x)<x.又当 x=0 时，g(x)=0,g(x)<g(0). ln( 1 ln(1 x) x1 x例7.右图是函数y = x3 + x2 5x 5的图象，试结合 图形说明函数的极值情况：解析：f ' (x)=3x2+2x5=(3x+5)(x1),令 f ' (x)=0,得 x1二5, x2=1,3，- x= 5和x=1是f(x)可能的极值点，3又由图象可以看出，f( 5)比它临近点的函数值大，f(1)比它临近点的函 3数值要小,f(-5), f(1)分

34、别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值3百八、例 8.设函数 f (x) =ax3+bx2 + cx,在 x=1 与 x= 1 处有极值，且 f (1) = 1, 求f(x)表达式.解析：= f (x) =ax3+bx2+ cx, /. f ' (x)=3ax2+2bx+c, x (-00, + °°), 由已加f (x)在x=- 1与x= 1时有极值. f ' (1) =f ' ( 1) = 0,又f(1) = -1,3a 2b c 01.33a 2b c 0 ,斛行 a= , b=0, c=.22a b c 1f (x)= 1x3 3

35、x.22例 9.已知 f(x)=x2+ c,且 g(x)=f f(x)= f(x2+ 1),设小(x) =g(x)入 f (x), 问：是否存在实数 入，使(Hx)在(一8, 1)上是减函数，并且在(一1, 0)上 是增函数.解析：由 ff(x) =f( x2+ 1)得(x2+c)2+ c=(x2+1)2+ 1,得 c=1,小(x) =g(x)入 f (x) =x4+ (2 - X)x2+ (2 入)是连续函数，2小'(x) =2x(2x +2一入)由4(x)在(一8, 1)上是减函数，且在(一1, 0)上是增函数,.小'(x)| x=尸|'(一1)=0, .二 入=4

36、,即存在实数入=4,使(Rx)满足条件.说明：本题若用函数单调性定义太繁！6.函数的最大值和最小值例1.求函数f (x) = 5x+ 2 Vx3 V4x的值域.x 3>0 解析：由得f(x)的定义域为一3<x<4,原问题转化为求f(x)在4 x> 0区间3, 4上的最值问题。y，= f，(x) = 5,；x 3 2.4 x在3, 4上f ' (x)>0恒成立,. f(x)在3, 4上单调递增.当 x = - 3 时ymin= 15 ',7 , 当 x =4 时 y max=20+ 2 V 7 ,函数的值域为 15", 20+ 2<7

37、.例2.设2<a<1,函数f(x) =x33ax2+b ( 1 &x& 1)的最大值为1,最小值32为一逅，求a, b的值。2解析：f ' (x)=3x23ax=3x(x a),当 x 变化时，f ' (x), f(x)的变化情 况列表如下：XL (-1,0)0(O.a)a(«J)1尸()+0*一一 Q 6| b、31 , 0 + h当 x=0 时，f(x)取极大值 b,而 f(0)>f(a), f( 1)<f(1), 需要比较f(0)与f(1)的大小，. f(0) f(1) =3a1>0, ; f(x)的最大值为 f(0

38、) =b1, 2又 f ( 1) f (a)= (a - 3a 2)= (a+1) (a )<0 ,22f (x)| min=f ( 一 1) a- 1+b= a=一, a= , b=1.2223例3.若函数“乂)在0 , a上单调递增且可导，f(x)<0, f(x)是严格单调递增的， 求工(x)在(0, a上的最大值。x解析：四'f'(x) x2 f(x), V f(x)是严格单调递增的， xx. f ' (x)>0,f(x)<0, x>0,f ' (x) xf(x)>0,. ©'f'(x) x2

39、f(x)>0, - f包在(0, a上是增函数。xxx上区在(0, a上最大值为 工回. xa例 4.设 g(y) = 1-x1当 0<x<(a)5 时，f ' (x)<0,当 x>(9)5 时 f ' (x)>0, 2+ 4 xy3 y4在 y - 1, 0上最大值为 f (x) , xC R, 求f(x)表达式； 求f(x)最大值。解析：g' (y)= 4y2(y 3x), yC1, 0,当 x0 时，g" (y)>0, g(y)在1, 0上递增，. f(x)=g(0)=i -x2.当一1<x<0时，g

40、' (y)>0,在1, 3x上恒成立，在(3x, 0)上包成立，3f (x)=g(3x)=1 -x2+27x4.当 x01 时，g' (y) , g(y)在1, 0上递减，. f (x)=g( -1)=-x2-4x,31f (x)= 1 x2 27x4x 0.321x 4x x0 -3当 x>0 时，f (x) <f(0)=1 ,当 xC(1, 0)时,f(x)=27( x1)2+1<f( 一1)=人, 3545439当 x0 1 时，f(x)= ( x + 2)2+ 4< f(2)=4, 3 1< U< 4, f (x)| max= f( 2)=4. 9例5.设