2020海淀区高三数学期末上学期试题及答案

1、海淀区高三年级第一学期期末练习2020.01本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结朿后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列岀的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。(1) 已知集合"=12345,6, A = 1,3,5 , B = 2,3,4，则集合的抽是(A) 1,3,5,6(B) 1,3,5(C)1,3(D)1,5（2）抛物线V2 = 4X的焦点坐标为(A) (0,1)(B) (1,0)(C)(0,-1)(D)(70)（3）下列直线与圆（牙一 1）

2、2+0 1）2 =2相切的是（A）尸一兀(C)y = -2x(D)（4）已知"bwR,且则(B) sin a > sin/?(C)（»（y(D)cr >lr（5）在（X-）5的展开式中，X的系数为X(A) -5(B) 5(C)-10(D)10（6）已知平面向量伏c满足a+b+c=Q.则的值为(A)4（c）-T（7）已知p t 7是三个不同的平而，且aCV”，则5m P”（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）已知等边ABC边长为3.点D在3C边上，且AD = y/l下列结论中错误的是(A)BD(B) | =

3、21ACD( C )cos ZBAD =2 cos ACAD( D)sin ZBAD =2 sin ZCAD单位:W/nf ）满足（9）声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x140dB； 一般说话时，声Y/（x） = 10xlg喷气式飞机起飞时，声音的等级约为1x10音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的(A) ICT 倍(B) 10"倍(C) 10® 倍（D）10门倍ABDA体ABCD -中，记平而ABGD为0 ,平而ABCD为丫，点P是棱CC上一动点(与C, c不重合)，Q. = fyffi(P), Q2=ffif7(p).给出

4、下列三个结论： 线段PQ.长度的取值范用是斗，斗)： 存在点P使得PQi 平而0 ； 存在点P使得PQ丄PQ.其中，所有正确结论的序号是(A)(B)(C) ®(D) ©第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(11) 在等差数列仏”中，«,=5, a5=2,则吗=.(12) 若复数z =,则Izl二I2 2(13) 已知点4(0,血)，点DC分别为双曲线二-=1 (a0)的左、右顶点.a 3若ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为.(14) 已知函数f(x) = x + -在区间(1,4)上存在最小值，则实数d的取值范围是(15)

5、 用“五点法作函数f(x) = Asin(<(ox +(p)的图象时，列表如下:X141254211Tcox+(p0兀2TC3兀T2兀/(x)020-20则/(-I) =，/(0) + /(-护(16) 已知曲线C： A-4 + y4 + m.x2y2 =1 (加为常数).(i)给出下列结论： 曲线C为中心对称图形； 曲线C为轴对称图形： 当/n = -l时,若点PUj)在曲线C上，贝ilxl>l或lylni.其中，所有正确结论的序号是(ii)当m>-2时，若曲线C所用成的区域的而枳小于兀，则加的值可以 是(写岀一个即可)三、解答题共6小题，共80分。解答应写岀文字说明、演算

6、步骤或证明过程。(17) (本小题共13分)已知函数 f(x) = cos2 x +J5sinxcosx-1.2(I) 求函数/)的单调递增区间；()若/(Q在区间0昇川上的最大值为1,求川的最小值.(18) (本小题共13分)如图，在三棱锥V-ABC中，平而V<4C丄平而ABC, ABC和AK4C均是等腰直角三角形，AB = BC. AC = CV = 2, M, N旳紳怡20分别为E4Z VB的中点.（I）求证：平而CMN：（口）求证：AB丄UC：（III）求直线与平而CMN所成角的正弦值.（19）（本小题共13分）某市城市总体规划（20162035年）提岀到2035年实现“15分钟

7、社区生活圈” 全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈"指标体系，并依据"15分钟社区生活圈”指数髙低将小区划分为： 优质小区（指数为0.61）、良好小区（指数为0.40.6）、中等小区（指数为0.20.4） 以及待改进小区（指数为0 0.2） 4个等级.下面是三个小区4个方而指标的调查数 据：小区值权重A小区B小区C小区教育与文化（0.20）0.70.90.1医疗与养老（020）0.70.60.3交通与购物（0.32）0.50.70.2休闲与健身（0.28）0.50.60.1注：每个小区75分钟社区生活圈"

8、指数T = wxT+wJ2+wJ3 + wJ4，其中 叫,，叫,叫为该小区四个方而的权重，八：刁为该小区四个方而的指标值（小区 每一个方而的指标值为0"之间的一个数值）.现有100个小区的15分钟社区生活圈指数数据，整理得到如下频数分布表:分组0,0.2)0.2Q4)0A0.6)0.6Q8)0.8,1频数1020303010(I)分别判断A, B, C三个小区是否是优质小区，并说明理由：(II) 对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽 样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入 调査，记这2个小区中为优质小区的个数为&

9、amp;求$的分布列及数学期望.(20) (本小题共14分)已知椭圆C：4 + 4 = l (a>b>0)的右顶点4(2,0),且离心率为Q .cr b2(I )求椭圆C的方程：(II)设O为原点，过点O的直线/与椭圆C交于两点P, Q ,直线AF和AQ分别与直线x = 4交于点M,N .求 APQ与厶AMN而积之和的最小值.(21) (本小题共23分)已知函数/(x) = e'(ax2 +1) (a > 0).(I) 求曲线y = /(a)在点(o,/(o)处的切线方程:(II) 若函数/Cr)有极小值，求证：/(x)的极小值小于1.(22) (本小题共14分)给定

10、整数n(n > 2),数列 心 不內，禺斜每项均为整数,在九如中去掉一项兀,并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为伙=1,2,2n + l).将叫加2,叫讪中的最小值称为数列人如的特征值(I)已知数列4：1,2,3,3,3,写出mitm2,m3的值及人的特征值：(II)A,<x2<.<x2fl+1,当/-(/z + l)j-(/7 + l)>0,中jjel,2,2“ + 1且心)时，判断与I兀-形I的大小关系，并说明理由；(III) 已知数列A卄的特征值为” 1,求 工lx-X.I的最小值.!<r<；<2n

11、+l海淀区2020届高三年级第一学期期末练习参考答案2020.01阅卷须知:1 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.英它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案DBACAABCBD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号111213141516答案02(1,16)-2： 0；m>2均可三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)解：(I) /W = ll + sin2x-lsin 2x + cos 2x2 2= sin(2x + ).6因为y

12、 = sinx的单调递增区间为2kn-.2kii + -伙eZ),2x + -e62 22k7i- .2kn + (k e Z)2 2所以广(x)的单调递增区间为+ Z伙eZ)3 6(U)方法 1：因为xe0,m,所以2叫哺3+却又因为xe0,m, /(x) =sin(2x + -)的最大值为鸡解得m>-所以川的最小值为少.方法2：由(I )知:当且仅当x=H + -伙wZ)时,f(x)取得最大值16因为/(a)在区间0,加上的最大值为1,所以？的最小值为=(i8)解：(1)在厶匕4中，M, N分别为U4, 1/3的中点,V翊內浄Nx ACBHy所以 MN/AB.又因为ABd平而CMN,

13、 MNu平而CMN ,所以AB 平而CMN.(口)在等腰直角三角形 VAC中，AC = CV,VC u平面所以VC丄AC.因为平而VAC丄平面ABC,平而MCD平而ABC = AC,VAC,所以UC丄平而ABC.又因为AB u平而ABC,所以AB丄VC.(HI)在平面ABC内过点C做CH垂直于AC,由()知，UC丄平而ABC,因为 CH u 平 ifHABC,所以VC丄CH.如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-atz.则 C(0,0,0), U(0,0,2), 8(1,1,0), M(l,0,l), yv(i p： VB = (l,l,-2), CM =(1,0,1) , C/V = (|

14、1 1).设平而CMN的法向量为n =(龙,y, z)，/t - CM =09则f CN = 0X + Z = O, 即11cx + -y + z = 0.12 2-令x = l则y = l, Z = -L所以 w = （1,1,-!）.2迈直线VB与平而CMV所成角大小为0,所以直线VB与平而CMN所成角的正弦值为3（19）解：（I）方法 1：A 小区的指数 T = 0.7 x 0.2 + 0.7 x 0.2+0.5 x 0.32+0.5 x 0.28 = 0.58,0.58 <0.60,所以A小区不是优质小区；B 小区的指数 T = 0.9 x 0.2+0.6x 0.2+0.7 x

15、0.32+0.6x 0.28 = 0.692,0.692 >0.60,所以B小区是优质小区；C 小区的指数T = 0.1 x0.2 + 0.3x0.2+0.2x0.32+0.1 x0.28 = 0.172,072<0.60,所以C小区不是优质小区.方法2：A 小区的指数 T = 0.7 x 0.2+0.7 x 0.2+0.5 x 0.32+0.5 x 0.28 = 0.580.58<0.60以A小区不是优质小区；B 小区的指数T = 0.9x0.2 + 0.6x0.2+0.7x0.32 + 0.6x0.28> 0.6 x 0.2+0.6 x 0.2+0.6 x 0.32

16、+0.6 x 0.28 = 0.6 B小区是优质小区；C 小区的指数7 = 0.1x0.2+0.3x0.2+0.2x032+0.1x0.28< 0.6 x 0.2 + 0.6 x 0.2 + 0.6 x 0.32+0.6x 0.28 = 0.6 C小区不是优质小区.（在对A、B、C小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）（）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区10X凹=4个，其它小 100区104 = 6个依题意£的所有可能取值为0, 1, 2.C2 151P(g = 2)=U _ 6 _ 2C_45_15则的分布列为:g()12p182

17、315151Q7 = 0xrlx- + 2x_ =(20)解：（I）解：依题意，得2c2 = cr 一 b' (a > b>0)., a = 2. 解得，b = .所以椭圆c的方程为+/= 1.4（）设点依题意，点P坐标为（-勺,一儿），满足薈+耳：=1 ( 一2 v 兀0 v 2 且儿 h 0 )，直线Q4的方程为y = -（x-2）心一 2令x = 4,得，=上也，即"（4,上也）无_ 2兀）_ 2直线Q4的方程为y = 匕一2）,同理可得旳（4,丄4）x0 + 2人）+ 2设B为x = 4与x轴的交点.Swq + Smn = * IOAI I 儿-人 I +

18、 ! I 佔 I I 九-y N I= 1x2xI2v0I + 1x2xI-I2山 2兀-2 心+ 2=21儿1+21儿1111如 一 2+ 2=21 儿 1+21 儿 I"I.又因为Xq+4%=4, yo#O,i?所以Smpq + S、MN = 21儿 I +21 儿 I =2lyol + ->4. I)b I当且仅当y0=±l取等号，所以S“pq + S的的最小值为4(21)解：(I)由已知得 /(x) = ex(ax2+2ox+l),因为/(o)=i , /70)= 1,所以直线/的方程为_v = x + l.(II) (i)当 0 va<l 时，av2

19、+2nx + l = n(x + l)2 + 1-« > 0 所以ff(x) = ex(ax2+2ax + )>0 (当且仅当a = l且x = -l时，等号成立).所以/(力在R上是单调递增函数.所以/(力在R上无极小值.(ii)当 a > 1 时L元二次方程 ax2 + 2ax+1= 0 的判别式 = 4a(a -1) > 0, 记心勺是方程的两个根，不妨设<x2.x + x2 = -2 < 0, 则XjXj = > 0.所以兀| <x2 <0.此时f(x), /(Q随X的变化如下:X(-8, X)UpX2)(x2,+oo).

20、fx)+00+fM极大值X极小值所以/(x)的极小值为f(x2).又因为/(X)在勺，0单调递增,所以 /U2)</(O) = 1.所以/(x)的极小值为小于1.22.解：(I )由题知：“ =(3 + 3) (2 + 3) = 1 ； in2 = (3 + 3) (3+1) = 2 ；加3 = 3人的特征值为1.(II) I “ 一 nij I = I Xy - Xy I .理由如下：由于7 ( + l)j-(n + 1)>0,可分下列两种情况讨论:当丘1,2,/ + 1时， 根据左义可知:mi = g”+l + 可“ + + Xn+2）一（如+1 + © + + K

21、不）=（尤2”+1 +勺“ +.+兀”+2）一（£+1 +© +丙）+不同理可得：加产（心+1 +心” + &+2）一（乙+1 +兀+禹）+ X）所以 mt-nij =xi-xj.所以1?厂加丿1 = 1齐I.0当jj + 1,“ + 2,92“ + 1时，同理可得：叫=（兀2“+1 + 兀2” + + £+1 一兀）一（尤” + Xn- + + X J=（七“+1 +尤2” +暫+J 一（心+兀I + +刊）一兀,l1j=（X2n + 吃” + + 1十 1） _ （乙 + 兀一i + + %!）-Xy所以加厂叫=Xj-Xj.所以1“ 一加丿1 = 1齐一卩丄综上有:I /耳一 m I = I兀一 © I（皿）不妨设召5吃55勺”+i，E临-®<i<j<2n¥=2心2,田 + （2/7 - 2）xln + + 2占+2 + 0 xd+1 - 2xn2 好=2（勺卄1 一 西）+ （2/1 - 2）（.® - 勺）+ + 2（兀p -兀），显然，兀2“+1 一西兀2” 一勺巴£+2 一 £，X2n+l +%2n + Xn+2 (Xn+ Vl + * * *+ X1)-(£+1 + ° ° ° + 兀2“