空间向量和立体几何练习题及答案

1、b1. 如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面ABCD为正方形，平面 PAD丄平面ABCD 点 M 在线段 PB上, PD/平面 MAC, PA=PD二二,AB=4.(1) 求证：M为PB的中点；(2) 求二面角B- PD- A的大小；(3) 求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)设ACn BD=O,则0为BD的中点，连接0M，利用线面平行的性 质证明0M / PD,再由平行线截线段成比例可得 M为PB的中点；(2) 取AD中点G,可得PG丄AD,再由面面垂直的性质可得 PG丄平面ABCD 则PG丄AD,连接0G,贝U PG丄0G,再证明0G丄AD.以G为坐标原点，分别以 GD

2、G0 GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD与平面 PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD- A的大小；(3) 求出r的坐标，由r与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直 线MC与平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)证明：如图，设ACn BD=0, ABCD为正方形，二0为BD的中点，连接 0M, PD/平面 MAC, PD?平面 PBD,平面 PBDn 平面 AMC=0M, PD/ 0M,则"，即M为PB的中点；BD BP(2)解：取AD中点G, PA=PD 二 PG丄 AD,平面PAD丄平面ABCD,且平面PADn平面AB

3、CD=AD PG丄平面ABCD,贝U PG丄AD ,连接0G,贝U PG丄0G,由G是AD的中点,0是AC的中点,可得 0G/ DC,贝U 0G丄AD.以G为坐标原点，分别以GD G0、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标 系，由 PA=PD=, AB=4,得 D (2 , 0 ,0) ,A (- 2 ,0 ,0) ,P(0 ,0,匚)，C (2 ,4, 0），B （- 2, 4, 0），M （- 1, 2,片）,设平面PBD的一个法向量为：|id-DP-0则由匸二一"，得*L m*DB=O仃:暮，取皿，得沁5b取平面PAD的一个法向量为/_ co=亠二面角B- PD- A的大

4、小为60°(3)解：二；-，平面BDP的一个法向量为直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值为| cos < ,. >1=1|=| H ri【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题.2. 如图，在三棱锥 P-ABC中，PA!底面ABC,/ BAC=90.点D, E, N分别为 棱PA PC, BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4 AB=2.(I)求证：MN /平面BDE(U)求二面角C- EM - N的正弦值；(川)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为:，求线段AH的长.【分析】(I)取AB中点F,连接MF、

5、NF,由已知可证MF/平面BDE NF/平 面BDE 得到平面 MFN /平面BDE 则MN /平面BDE(U)由PA!底面ABC,/ BAC=90.可以A为原点，分别以 AB AC、AP所在 直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面 MEN与平面CME的一个法向 量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 C-EM- N的余弦值，进一步求得正弦 值；(川)设AH=t,则H (0, 0, t)，求出而、竜的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为二列式求得线段AH的长.【解答】(I)证明：取AB中点F,连接MF、NF, M 为 AD 中点，二 MF/ BD, BD?平面 BDE, MF?

6、平面 BDE 二 MF / 平面 BDE N 为 BC中点，二 NF/ AC,又 D、E分别为 AP、PC的中点，二 DE/ AC,贝U NF/ DE.v DE?平面 BDE, NF?平面 BDE,二 NF/平面 BDE又 MFA NF=F.平面 MFN/平面BDE,贝U MN /平面BDE(U)解：v PA!底面 ABC, / BAC=90.以A为原点，分别以AB、AC AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.v PA=AC=4 AB=2 A (0 , 0 , 0), B (2 , 0 , 0), C( 0 , 4 , 0), M (0 , 0 , 1), N (1 , 2 , 0)

7、, E (0 , 2 , 2),则叮.,11 一，设平面MEN的一个法向量为；:-,出 m*MN=O z0 x+2y-z=0 w泪-、由一，侍"一件，取 z=2 侍nF（4,1,2）lm-ME=O Uy+z=O由图可得平面CME的一个法向量为1. I.,.:>=m n4W21G£| 二/刃 XI 二 21面角C-EM-N的余弦值为；'则正弦值为；（川）解：设 AH=t,则 H （0, 0, t）,而二七-2, t）,瓦二（-乙 2, 2）-谨线NH与直线BE所成角的余弦值为二JcosVii匚 bf > 1=1一 _r | =|1 或I NH I I BE

8、 I21NH-BE2t-2解得：t=或t= 1 .52当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长21为：或.52【点评】本题考查直线与平面平行的判定， 考查了利用空间向量求解空间角， 考 查计算能力，是中档题.3. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以AB边所在 直线为旋转轴旋转120。得到的，G是的中点.（I）设P是卜上的一点，且 API BE,求/ CBP的大小；(U)当AB=3, AD=2时，求二面角E AG C的大小.i f I*【分析】(I)由已知利用线面垂直的判定可得 BEX平面ABP,得到BE! BP,结 合/ EBC=120求得

9、/ CBP=30;(U)法一、取苛的中点H,连接EH, GH, CH,可得四边形BEGH为菱形，取 AG中点M，连接EM, CM, EC,得到EM丄AG, CM丄AG,说明/ EMC为所求二 面角的平面角.求解三角形得二面角 E- AG- C的大小.法二、以B为坐标原点，分别以BE, BP, BA所在直线为x, y, z轴建立空间直 角坐标系.求出A, E, G, C的坐标，进一步求出平面 AEG与平面ACG的一个 法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 E-AG- C的大小.【解答】 解：(I)v API BE, AB! BE,且 AB, AP?平面 ABP, ABA AP=A BE!平

10、面 ABP,又 BP?平面 ABP, BE! BP,又/ EBC=120 ,因此/ CBP=30;(U)解法一、取三的中点H,连接EH, GH , CH,vZ EBC=120,二四边形BECH为菱形,AE=GE=AC=GC= .取AG中点M ,连接EM , CM , EC,贝U EM丄AG , CM!AG , Z EMC为所求二面角的平面角.又 AM=1 , EM=CM= 1-一 二；1在厶 BEC中 ,由于Z EBC=120,由余弦定理得：EC=22+22 - 2X 2 X 2X cos120°12,二、,因此 EMC为等边三角形,故所求的角为60° 解法二、以B为坐标原

11、点，分别以BE, BP, BA所在直线为x, y, z轴建立空间 直角坐标系.由题意得：A（0，0，3），E（2, 0，0），G（ 1,灭，3），C （- 1，巫,0）, 故.'J.，.:-设为平面AEG的一个法向量,由 J m*AE=Oi m AG 二。-3z L=0"+咼产0取可=2,设为平面ACG的一个法向量,亍F,可得,L np CG=O七+运匕=°卄怒皿R取Z2=- 2,得&迟-2)-cos<n I in I I n |面角E-AG- C的大小为60°【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角 的求法及利

12、用空间向量求二面角的大小，是中档题.4. 如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD/ AFD=90,且二面角 D- AF- E与二面角 C- BE- F 都是 60°(I)证明平面 ABEFL平面EFDC【分析】(I)证明AF丄平面EFDC利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEFL平面 EFDC(U)证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求 出平面BEC平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 E- BC- A的余 弦值.【解答】(I)证明：ABEF为正方形，二AF丄EF.vZ AFD=90，二

13、AF丄 DF，v DFn EF=F AF丄平面EFDCv AF?平面 ABEF平面ABEFL平面EFDC(U)解：由 AFL DF，AFL EF,可得Z DFE为二面角D-AF- E的平面角；由ABEF为正方形，AF丄平面EFDCv BE! EF, BE!平面 EFDC即有CE! BE,可得Z CEF为二面角C-BE- F的平面角.可得Z DFE=/ CEF=60.v AB/ EF, AB?平面 EFDC EF?平面 EFDC AB/平面 EFDCv平面 EFD(n 平面 ABCD=CD AB?平面 ABCD AB/ CD, CD/ EF,四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点，建立如图所示的坐

14、标系，设 FD=a则 E（0，0，0），B（0，2a，0），C（ :，0, a），A（2a，2a，0）， 2 2EB = （0，2a，0），DC =（旦，一 2a，亚a），AB = （- 2a，0，0）2 2ra*,EB=0p- -，L inp BC=0fft设平面ABC的法向量为芥（X2，y2，Z2），贝h 丁聖", t n*AB=0设二面角E- BC- A的大小为9,则cos B-J"巳Im |- | n |=-4_ 2负V3+16 =19 ，设平面BEC的法向量为ir= （xi，yi，zi），贝叭【点评】本题考查平面与平面垂直的证明， 考查用空间向量求平面间的夹角，

15、建 立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.5如图，菱形 ABCD的对角线AC与BD交于点O, AB=5，AC=6点E，F分 别在AD, CD上, AE=CF= , EF交于BD于点巴将厶DEF沿 EF折到 D E的位4置，OD五.(I)证明：D' H平面ABCDDl(U)求二面角B- DA C的正弦值.B【分析】(I)由底面ABCD为菱形，可得AD=CD结合AE=CF可得EF/ AC,再 由ABCD是菱形，得 AC丄BD,进一步得至U EF丄BD,由EF丄DH,可得EF丄D H 然后求解直角三角形得 D H0H,再由线面垂直的判定得 DH平面ABCD(U)以H为坐标原

16、点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的 坐标，得到7 矿.二的坐标，分别求出平面 ABD与平面AD C勺一个法向量石、&,设二面角二面角B-D A C的平面角为9,求出|cosq .则二面角B -D - C的正弦值可求.【解答】(I)证明：ABCD是菱形, AD=DC 又 AE=CF=,DE DF,贝U EF/ AC,又由ABCD是菱形，得 AC丄BD,贝U EF± BD, EF± DH,贝U EF± D' H AC=6 A0=3,又 AB=5, AO丄 OB, 0B=4OH竺.0D=1 ,贝U DH=D H=3 AD.| 0D| 2=

17、| 0H| 2+| D H,则 DH OH,又 OHGEF=H.D H平面 ABCD(U)解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系, AB=5, AC=6 B (5 , 0 , 0), C (1 , 3 , 0), D (0 , 0 , 3) , A (1 , - 3 , 0),AB-(4, 3, 0), AD? =(-1, 3, 3)，AC=(0. 6, 0)，ni AB二°由，上.，得丿nAD' =0设平面ABD的一个法向量为-,-.，:,z=5.4x+3y=0,取 x=3，得 y=- 4 ,p+3y+3沪 0同理可求得平面AD C勺一个法向量巴二0, 1),设二面

18、角二面角B- D'A C的平面角为9,则【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用 平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题.6 .在三棱柱ABC- A1B1C1中，CA=CB侧面ABBiAi是边长为2的正方形，点E, F 分别在线段 AAA1B1 上，且 AE= , A1F= , CE! EF.24(I)证明：平面ABBA1丄平面ABC;(U)若CAICB求直线AG与平面CEF所成角的正弦值.【分析】（I）取AB的中点D,连结CD, DF, DE计算DE, EF, DF,利用勾股 定理的逆定理得出 DE丄EF,由三线合一得 CD丄AB,

19、故而CD丄平面ABBAi，从 而平面ABBAi丄平面ABC;（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AG与平面CEF所成角的正弦值等于|cosv 一 .,/>| .【解答】证明：（I）取AB的中点D,连结CD, DF, DE. AC=BC D 是 AB的中点，二 CD丄AB.侧面ABBAi是边长为2的正方形，AE= , AiF=：. E+DEDh,： DE丄 EF,又 CEL EF, CEA DE=E CE?平面 CDE, DE?平面 CDE EFL平面CDE又CD?平面CDE CD丄 EF,又CD丄AB, AB?平面ABBAi , EF?平面ABBAi ,

20、 AB , EF为相交直线, CD丄平面 ABBAi ,又 CD? ABC平面ABBA丄平面ABC(II)v平面 ABBAi丄平面ABC三棱柱ABC- AiBiCi是直三棱柱，二CCL平面ABCv CAI CB, AB=2,二 AC=BC=.以C为原点,以CA CB, CG为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则 A", 0, US 0, 0,0)'G(0,0,刀行"，。，*“(普，普,2）.岛=（F, 0, 2）,尿迈0,尹帀=（罟，普，2）.怎云二0一 -F，n-CF=0V2+y：=10，|、i| =6 二，丨丄=；沁.fc-_,n-AC：> =z=0，令

21、 z=4,得-i= (':,- 9 :, 4).2z=0si nv=T"In|AC1|直线AG与平面CEF所成角的正弦值为 .18设平面CEF的法向量为1 = （x，y，z）,贝施2/二【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中 档题.7.如图，在四棱锥中 P- ABCDPA丄平面 ABCDAD/ BC,AD丄CD,且 AD=CD=2 .:, BC=4 匚,PA=2(1) 求证：AB丄PC;(2) 在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M - AC- D的大小为45°如 果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

22、【分析】(1)利用直角梯形的性质求出 AB, AC的长，根据勾股定理的逆定理得出AB丄AC,由PA!平面 ABCD得出AB丄PA 故AB丄平面PAC 于是AB丄PC;(2)假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出 M到平面ABCD 的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出 B到平面MAC的距离h，根据 勾股定理计算BM，则亠即为所求角的正弦值.【解答】解：(1)证明：四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2匚，BC=4 匚， AC=4, AB= |；|0心*=4, ABC是等腰直角三角形，即 AB丄AC, PAL平面 ABCD AB?平面 ABCD PAL AB, AB丄平面PAC

23、 又PC?平面PAC AB 丄 PC.(2)假设存在符合条件的点 M ,过点M作MN丄AD于N ,则MN / PA, MN 丄平面 ABCD, MN 丄 AC.过点M作MG丄AC于G,连接NG,贝U AC丄平面MNG, AC丄NG,即/ MGN是二面角M - AC- D的平面角.若/ MGN=45，贝U NG=MN,又 AN=二NG= =MN, MN=1,即卩M是线段PD的中点.存在点M使得二面角M - AC- D的大小为45°在三棱锥 M - ABC中，Vm -abc= SabC?MN=.=,3323设点B到平面MAC的距离是h，则Vb-mac=.3 MG= MN= :,- SxM

24、AC= " 一= . =2 .：,.-=：，解得 h=2 匚.在厶 ABN 中，AB=4, AN=匚，/ BAN=135, BN= W , BM=I【产3 :， BM与平面MAC所成角的正弦值为：-=空上BH 9【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质， 空间角与空间距离的计算，属于中 档题.8 .如图，在各棱长均为 2的三棱柱ABC- A1B1C1中，侧面AiACC丄底面ABC, / AiAC=60.(1) 求侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值的大小；(2) 已知点D满足 I心+,在直线AA1上是否存在点P,使DP/平面ABiC?若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.【

25、分析】（1）推导出AiO丄平面ABC BO丄AC,以O为坐标原点，建立如图所 示的空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出侧棱 AAi与平面ABiC所成角的 正弦值.（2）假设存在点 P符合题意，则点 P的坐标可设为 P （ 0, y, z），则 '.r.-:：； -，匚.利用向量法能求出存在点P,使DP/平面ABiC,其坐标为（0, 0,血），即恰好为Ai点.【解答】解：（1）v侧面AiACG丄底面ABC,作AiO丄AC于点O, AiO丄平面 ABC.又/ ABCN AiAC=60,且各棱长都相等， AO=i, OA=OB二二,BOX AC.（2 分）故以O为坐标原点，建立如图所示

26、的空间直角坐标系O- xyz,则 A （0, - i , 0）, B （ - , 0 , 0）, Ai （0 , 0,匚），C（ 0 , i , 0）, 巫=（0 , i ,旋）,AB=（屆 4 -V3）, AC= （0 , 2 , 0）. （ 4 分）设平面ABC的法向量为门-,n AB * =V3x+ 2y-V3 z=0 则1L np AC=2 尸 0取 x=i，得(i, 0 , i).设侧棱AAi与平面ABiC所成角的为9 ,则 sin 9=osv 讪,'> I =1I 一翻抑I AA I * In |2V24侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值为=.（6分）(2)： 1

27、 =儿 1 i:'.-,而卜;】，.,ii： ,:-., H：, - 1=(- 2 乙 0 , 0),又t B (叮二 I |；|), 点 D (-二,0 , 0).假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P( 0, y, z), 眉二碍 y幻.DP/平面ABiC,= (- 1, 0, 1)为平面ABC的法向量,得二入1V3=V3二 y=0.(10 分)又DP?平面ABC,故存在点P,使DP/平面ABC,其坐标为(0, 0,),即恰好为Ai点.(12 分)【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与 求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.9

28、.在三棱柱 ABC- A1B1C1中，侧面ABBA1为矩形，AB=2, AA=2匚,D是AA 的中点，BD与AB1交于点O,且CO丄平面ABB1A1.(I)证明：平面 AB1C丄平面BCD(U)若OC=OA AB1C的重心为G,求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.【分析】(I)通过证明AB丄BD, AB1丄CO,推出AB丄平面BCD然后证明平面ABiC丄平面BCD.（U）以O为坐标原点，分别以OD, OB, OC所在直线为x, y, z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系 0- xyz.求出平面ABC的法向量，设直线 GD与平面 ABC所成角a,利用空间向量的数量积求解直线 GD与平面ABC所

29、成角的正弦值 即可.【解答】（本小题满分12分）解：（I）： ABBiAi 为矩形，AB=2, ，:-, D 是 AAi 的中点，二/ BAD=90 ,匸I 川"，二；二;，'一厂.从而-.1 ' |i=''二，j I：.-亠 一山 -，ABD=/ ABiB,（2 分） rfn .叶 士 厂工，二甘一，从而ABi丄BD（4分）TCO丄平面 ABBiAi, ABi?平面 ABBiAi ,二 ABi 丄 CO,： BDA CO=Q 二 ABi 丄平 面 BCD,平面ABi C,平面ABiC丄平面BCD（6 分）（U）如图，以O为坐标原点，分别以OD, OB

30、i, OC所在直线为x, y, z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 O- xyz.在矩形ABBiAi中，由于AD/ BB,所以 AOD和厶BiOB相似， 从而"二OA OD AD 乙3A（0, 弓二 0）F 肌二, 0、0） :GABC 的重心，二-<（ 8 分）又工-，二 J|i； | 汕 .-2 ， I 丄，I： 43， -. - ir:,:". 1 . ., 设 平 面 ABC 的 法 向 量 为：厂；、n-AC=O竽_屮 誓 沪°ly+尸0t n - AC =0y+z=O令 y=1,则 z=- 1,、二，所以门：】（ 10 分）设直线 GD 与平面

31、 ABC 所成角 a , 则W65所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为-（ 12分）川D 4【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用， 直线与平面所成角的求法， 考查空间想象能力以及计算能力.10在矩形ABCD中，AB=4 ： , AD=2 ：，将 ABD沿BD折起，使得点A折起 至A',设二面角A- BD-C的大小为9.（1）当9 =9（时，求A 的长；（2）当cos 9=时，求BC与平面A B所成角的正弦值.【分析】（1）过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE利用勾股定理 及余弦定理计算AE, CE,由A JECE得出A ；（2）利用余弦定理可得 A 極，从而得

32、出A J平面ABCD以F为原点建立 坐标系，求出I和平面A BD勺法向量，则BC与平面A B所成角的正弦值为I COSV., ： > I T AB=4 ", AD=2 -，- BD= . J _ 十 |=10.【解答】解：（1）在图1中，过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE tan/FDE='''在 BCE 中，由余弦定理得 CE=|.|.=2.;. 9 =90；二 A JL平面 ABCD,二 A ECE1A C=y疋+c严厶可.(2) de=T=2.n DB=0Ln-DA7 =0当仝- 1 即 cos/A EF=时，J ）. |J -. A

33、 2EA'2+E芦，/ A'FE=90°又 BD丄 AE, BD丄 EF,a BD丄平面 A'EF,： BD丄 A'F A'F丄平面 ABCD以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA'为z轴建立空 间直角坐标系如图所示： A （0, 0,阿），D （诉，0, 0）, B （3 晶,2 晶,0）, C （3、屈,0, 0）.価=（0, 2后,0）, DB= （4的,2诉,0）,瓦厂=（诉,0,阿）.设平面A Bl的法向量为n= （x, y, z）,贝则得 i=(:, 2 1). cos BC与平面A'BD所成角

34、的正弦值为二.即可证明AC丄DG.A- xyz,°), S 価，0), B (0, 0, 1),【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题.11. 如图，由直三棱柱 ABC- A1B1C1和四棱锥D- BBCiC构成的几何体中，/BAC=90, AB=1, BC=BB=2, GD=CD，平面 CCD丄平面 ACCA1.(I)求证：AC丄DG；(U)若M为DG的中点，求证：AM /平面DBB;(川)在线段BC上是否存在点P,使直线DP与平面BBiD所成的角为=?若存(U)易得/ BAC=90,建立空间直角坐标系 依据已知条件可得A (0, 0, 0), c&#

35、169; V5-利用向量求得AM与平面DBB所成角为0,即AM /平面DBB .B1 (2, 0, 1),：',（川）利用向量求解【解答】解：（I）证明：在直三棱柱 ABC- A1B1G中，CC丄平面ABC,故AC 丄CC,由平面CGD丄平面ACCAi，且平面CGDG平面ACCAi=CG , 所以AC丄平面CCD, 又GD?平面CGD，所以AC丄DG.（U）证明：在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AAi丄平面ABC,所以AAi丄AB, AAi丄AC,又/ BAC=90,所以，如图建立空间直角坐标系 A- xyz,依据已知条件可得A （0,0,0）, .1 ，打 , B （0, 0,

36、 1）,Bi （2, 0, 1）, D（1,近，2）,所以:I-'：/. 'I. II，石J 门设平面DBB的法向量为,fn-BBi=0 f2x=0由即 厂亠-令y=1，则:汙曲,x=0,于是 i 厂】 因为M为DG中点，所以“._ 1.,所以门-；辽-J由- ",- ' '|,可得小',所以AM与平面DBB所成角为0,即AM /平面DBB .（川）解：由（U）可知平面 BBiD的法向量为:.-.设玉J丈圧0, 1,则- ' - ' - -: jif- -：- .：一-若直线 DP 与平面 DBB 成角为芈，则丽I 吃施AJ V

37、3 I DP |2/4 X 2-4 X+52I n |DP解得-'T '. 1 .,故不存在这样的点.【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角属于中 档题12. 如图，在多面体 ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面 AED丄平面ABCD,AB=EA二ED, EF/ BD(I) 证明：AE± CD(II) 在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为 手？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.3【分析】(I)利用面面垂直的性质得出 CD丄平面AED故而A且CD;(II)取AD的中点0,连接E0,以0为原点建立坐标

38、系，设叩，求出平面EDBDEF勺法向量、令|cosv|二一，根据方程的解得出结论.【解答】(I)证明：四边形ABCD是正方形，二CD丄AD，又平面AED丄平面ABCD 平面AEDA平面 ABCD=AD CD?平面ABCD CD丄平面 AED,v AE?平面 AED, AE 丄 CD.(II)解：取AD的中点O,过O作ON/ AB交BC于N,连接EO, EA=ED 二 OE± AD,又平面 AED丄平面 ABCD 平面 AEDA 平面 ABCD=AD OE?平面AED, OE!平面 ABCD以O为原点建立空间直角坐标系 O-xyz,如图所示：设正方形ACD的边长为2 ,ED则 A (1

39、 , 0 , 0) , B (1 , 2 , 0), D (- 1 , 0 , 0), E (0 , 0 , 1), M (-人 0 , 1-为邛=(-X- 1 , 0 , 1-R， 二(1 , 0 , 1), 1= (2 , 2 , 0),设平面BDEF的法向量为 i=(x , y , z),n*DB=0则卍兰a ,即*LnpDE=02x+2y=0Lx+z=0令 x=1 得=(1, - 1, - 1), cosv.-2I AK | | n | V3 72 k 2 +2 令|=匸,解得X =0当M与点E重合时,直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为.【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与

40、线面角的计算，属于中档题.13. 如图,在四棱锥 P-ABCD中 , / ABC=/ ACD=90 ° / BACK CAD=60 , PA!平面 ABCD, PA=2 AB=1.(1) 设点E为PD的中点，求证：CE/平面PAB(2) 线段PD上是否存在一点N,使得直线CN与平面PAC所成的角B的正弦值为？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由.2 ' 2设平面PAC的法向量为= (x.-3, 0）,【分析】(1)取AD中点M，利用三角形的中位线证明 EM/平面PAB禾I用同 位角相等证明 MC/ AB,得到平面EMC/平面PAB证得EC/平面PAB(2)建立坐标系

41、，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角9 的正弦值为-，可得结论.5【解答】(1)证明：取AD中点M，连EM，CM,贝U EM/ PA EM?平面 PAB PA?平面 PAB EM/平面 PAB.在 RtAACD中，/ CAD=60，AC=AM=2, /-Z ACM=6° .而/ BAC=60,/ MC/ AB. MC?平面 PAB AB?平面 PAB / MC / 平面 PAB EMG MC=M，/平面 EMC/平面 PAB EC?平面 EMC,/ EC/平面 PAB(2)解：过A作AF丄AD,交BC于F,建立如图所示的坐标系，则A (0, 0,0),B (迤，

42、0), C (近，1, 0), D (0, 4, 0), P (0, 0, 2),设 PN=入PD （0 W 冶 1）,贝U PN= （0, 4 入，-2 入），CN=（-入-1, 2 - 2 R , lcos-二丙7-112 入 I一压和 1-1 cos< I,>,;.=，.,V3+（4-l）2+C2-2 ）2*V1252 N为PD的中点，使得直线CN与平面PAC所成的角B的正弦值为丄.5【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学 生分析解决问题的能力，属于中档题.14. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面 PABL平面ABCD，PB=PC / ABC=45,点E是线段PA上靠近点A的三等分点.(I)求证：AB丄PC;(n)若厶PAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦 值.【分析】(I)作P0丄AB