《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计

1、向量的数乘运算及其几何意义 教学设计向量的数乘运算及几何意义教学设计温江二中 何汝兵一、教材分析：向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小， 又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是 起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷 本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意 义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运 算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内 在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又 有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，

2、进而引出共线 向量定理.这样平面内任意一条直线 I 就可以用点 A 和某个 向量 a 表示了 .共线向量定理是本章节的重要的内容，应用 相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行 等，且与后学的知识有着密切的联系.二、学情分析： 学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学 生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强， 勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理， 精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起 新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮

3、助学生上升 到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知 识，需加强学生的课堂练习。三、 教学目标：1、知识与技能通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握 实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握 实数与向量积的运算律。 2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用 两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直 线平行。3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题 的思想和方法；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问 题，体会数学在实际生活中的重要作用。四、 教学重难点教学重点：1.理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；

4、3 .掌2 .熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。五、教具选取三角板、投影仪、多媒体辅助教学。六、教学基本流程实例引入探究：观察、发现和类比口答题、练习题 向量数乘运算的定义及其几何意义向量数乘运算律及其几何意义例 1 及巩固练习 共线向量定理 练习 例 2 讲解 变式一、变式二讲解 归纳总结 例 3、 例 4讲解课堂作业课堂小结作业布置七、 教学过程教 学环节 复习回顾 引入新课+已知非零向量 a,作出 a+a+a 和想一想：它们的大小和方向有什么变化？学生作图，观察并思考 认识和理解向量数乘的几何意义必

5、须从几何直观 入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学 生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向 量的数乘的定义及其几何意义的理新课讲解实数与向量的积的定义：问题 1:请大家根据上述问题并作一下类比，看 看怎样定义实数与向量的积？小组合作交流，学生单独作答 性认识作好铺垫。通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法教学内容向量的加法、向量的减法 教师提问 学生回答 复习回顾，引发新知 教师 活动 学生活动 设计意图 一般地，实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a,它的长度与方向规定如下：|a|a|;当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a

6、 的方向与 a 的方向相反；0 当时，a0. 问题 2:你能说明它的几何 意义吗？ 小组合作交流，学生单独作答从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。通过师生互动，得到向量数乘的几 何意义是把向量a 沿 a 的方向或反方向伸长或缩短倍。说一说：a 与下列向量之间的关系：12a、12 抽学生回答，并指出 其几何意义 通过简单口答题来巩固学生对向量数 乘的理解及应用，同时渗透几何问题向量化的一种思考方 式。a、2a、2a 练一练：学生单从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固数学中引进一个新的量自然要看看它的运算及其运算律的问题。向量运算可以与学生熟悉的数 的运算进行类比，从中得到启发。而书的运算和运

7、算律是紧 密相连的，运算律可以有效的简化运算。类比数的乘法的运 算律引出数乘向量的运算律。教材 P90 练习独作答 2、3题 实数与向量的积的运算律：(a) a ;和运算律是紧密运算律可 aaa ;算。 类比数的乘法=ab.出数乘的运算律 吗？ 问题 5 :你能解释上述运算律的几何意义吗？提问、及时评价 小组交流探讨 独立完成，单独回答例 1 计算：(3)4a ;3(ab)2(ab)a;(2a3bc)(3a2bc).从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固，通过例 1 加深 学生对数乘向量运算律的理解。学生单及时练习，及时巩练一练 教材 P90 练习独作答 固，反馈学生的学习情况 5 题 本节

8、作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向 量线性运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量a,b，以及任意实数,1,2，恒有(1a2b)1a2b对于向量 a(aO)、b，如果有一个实数，使 ba，那么向量数乘的定义知a 与 b 共线，且向量 b 是向量 a(a0)模的问题 6:弓 I 入数乘向量后，你能发现数乘向量与原向量 的位置关系吗？ 1) a 为什么合作交流，独师生共同活动引 出向量共线的定理；引导学生立作答.理解向量共线只需看这两个向量 的方向相同或是相反，在向量 a(a0)的前提思考：要是非零向量 倍，而的正负向量 a(aO)、2) b 可以是 b 的 方向所决定.反过来，已知向量 a 与 b 共线，a0,且向量 b 的长度是向量 a 的长度的倍，即 ba,下，向量零向量吗 3)怎 样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？a(a0) 、b 共线，当且仅当有一个实数，使得ba;且实数的唯一性是向量a 和 b 的模那么当 a 与 b 同方向时，有 ba;当 a 与 b 反方向 时，有ba.和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、 解决问题的能力.从上述两方面可知 共线向量定理：向量 a