高等数学1-第一章第一节《映射与函数》课件

1、高等数学1*AdvancedMathematics1*&教材教材(TextBook)同济大学数学系同济大学数学系 高等数学（第七版）高等数学（第七版） 高等教育出版社高等教育出版社 2014 & 参考书目参考书目(Reference)1 1 华东师范大学数学系编华东师范大学数学系编数学分析数学分析（上、下册）第四（上、下册）第四 版高等教育出版社，版高等教育出版社，2010 2010 2 2 吕林根吕林根解析几何解析几何第五版高等教育出版社，第五版高等教育出版社，201920193 3 王高雄王高雄常微分方程常微分方程第三版，高等教育出版社，第三版，高等教育出版社，200620

2、064 4 同济大学数学系同济大学数学系高等数学习题全解指南高等数学习题全解指南（同济七版），（同济七版）， 高等教育出版社，高等教育出版社，2 142 14 & 参考书目参考书目(Reference)华东师范大学数学系编华东师范大学数学系编数学分析（上）第四版数学分析（上）第四版高等教育出版社，高等教育出版社，2 0 1 0 2 0 1 0 & 参考书目参考书目(Reference)华东师范大学数学系编华东师范大学数学系编数学分析（下册）第四版数学分析（下册）第四版高等教育出版社，高等教育出版社，2 0 1 0 2 0 1 0 & 参考书目参考书目(Reference

3、)吕林根，解析几何第五版吕林根，解析几何第五版高等教育出版社，高等教育出版社，2 0 1 92 0 1 9& 参考书目参考书目(Reference)王高雄，常微分方程第三版，王高雄，常微分方程第三版，高等教育出版社，高等教育出版社，2 0 0 62 0 0 6& 参考书目参考书目(Reference)同济大学数学系，高等数学习题同济大学数学系，高等数学习题全解指南（同济七版），全解指南（同济七版），高等教育出版社，高等教育出版社，2 0 1 42 0 1 4考研真题下载网址：http:/ 1 微积分（上册第1-6章）（含极限理论、微分学理论、积分学理论） 2 常微分方程（上册第

4、7章） 3 级数论（下册第12章）具体由以下五部分组成： 数列和函数的极限； 一元函数微分学（含导数与微分、微分学中值定理、微分学基本定理）； 一元函数积分学（含不定积分、定积分、反常积分）； 常微分方程（含一阶、二阶常系数线性微分方程和可降阶的高阶微分方程）； 数项级数、幂级数和傅里叶级数（下册内容第12章）。教学安排本学期计划行课16周，共96学时，教学内容为教材上册第1-7章、下册第12章 课程考核课程成绩由平时成绩、半期成绩、期末成绩组成：平时成绩占20%，由平时作业和出勤情况组成；半期成绩占20%，采取闭卷考试、开卷考试、课程论文等形式进行；期末成绩占60%，采取闭卷形式进行，在学期

5、末集中考试。 引引言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学?初等数学 研究对象为常量常量, 以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量, 运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数 , 运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯恩格斯二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由

6、薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .华罗庚华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿笛卡儿(15961650)法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发表的几何学论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题 ,作图法,华罗庚华罗庚(19101985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解

7、析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学, 典型群,他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽宽,专专,漫漫”, 即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词: “ 学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创 ”.第一章分析基础分析基础函数函数极限极限连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 二、映射二、映射三、函数三、函数一、集合一、集合第一节映射与函数元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合

8、 M , 记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集, 记作 . Ma( 或Ma) .Ma注注: M 为数集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合naaaA,21自然数集,2,1,0Nn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整数集合 Zx或有理数集qpQ p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数开区间 )

9、,(xba闭区间 ,xba机动 目录 上页 下页 返回 结束 NxNx,N,qZpbxabxa)(aa ),(Uxa ),xba ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(x点的 邻域邻域a ),(xa x其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间Rx去心 邻域邻域左左 邻域邻域:, ),(aa右右 邻域邻域:. ),(aa机动 目录 上页 下页 返回 结束 axaaxbxaax0是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如 ,ZNQ

10、ZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 AcABB定义定义3. 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 Bx或A机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、映射映射1.映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的

11、集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1.引例引例2.xxysinRxRy引例引例3.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy oxy1x2xxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的

12、 原像原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的 值域值域 .注意注意:1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射YXf:若YXf)(, 则称 f 为满射满射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. XY)(Xff引例引例2,3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2引例引例2例例1.三角形)(

13、三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例例2.如图所示,Sxyoxey x),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3.如图所示,xyo),(yxrcosrx sinry 2R),(yxf)2,0),0),(r:f则有(满射满射)(满射满射)机动 目录 上页 下页 返回 结束 X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 2.逆映射与复

14、合映射逆映射与复合映射(1) 逆映射的定义 定义定义: 若映射)(:DfDf为单射, 则存在一新映射,)(:1DDff使习惯上 ,Dxxfy, )(的逆映射记成)(,)(1Dfxxfy例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射为,xy),0 x)(DfDf1f,)(, )(1xyfDfy其中,)(yxf称此映射1f为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 1Dfg手电筒DD2D2D引例. 复合映射 定义. Dxg)()(Dgxgu1Duf)(ufy 则当1)(DDg由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复, )(xgfy .),(D

15、xxgf设有映射链记作)(1DfY 合映射 ,时,或)(1DfY )(ufy )(xgf1DDx)(xgu gfgf )(Dg机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1)(DDg不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念定义定义4. 设数集,RD则称映射R:Df为定义在D 上的函数 , 记为Dxxfy, )( f ( D ) 称为值域 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baD abxy)(DfD机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量DxfDxxfyyDfy),()(对应规则)(值域)

16、(定义域)机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例：p16#2DxfDxxfyyDfy),()(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df定义域定义域对应规律对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域xyoxy xxf)(又如, 绝对值函数0,xx0,xx定义域RD值 域),0)(Df机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知函数 1,110,2)(xxxxxfy求 )(21f及, )(1tf解解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2

17、t时0t函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 ),0D值 域 ),0)(Df机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1)有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf称 )(xf,Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. ,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称 f ( x ) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 当,21Ixx21xx 时, )()(21xfxf若称 )(x

18、f为 I 上的, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的（严格）单调增函数 ;（严格）单调减函数 .xy1x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoxx(3)奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明说明:若)(xf在 x = 0 有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函数xyoxexexych双曲余弦（p13) 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 , )()(xfxfxyo又如,2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦(上册p13图1

19、-15) 记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切(上册p13图1-16) 记xyth机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4)周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,to)(tf22xo2y2若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为2注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(狄里克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 (上册p9例10）机动 目录 上页 下页 返回 结束 (p16#6)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.反函数与复合函数

20、反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: (上册p10第6-8段) .2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQxyo机动 目录 上页

21、下页 返回 结束 指数函数),(baP(2) 复合函数 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函数链 :,arcsinuy ,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数 .可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkx

22、Zn02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv4.初等函数初等函数(1) 基本初等函数(上册p12)幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学, P12 P15 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数（p5例7）xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo11取整函