高等数学1-第一章第二节《数列的极限》课件

1、 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限数列的极限数学语言描述:r一一 、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例. 设有半径为 r 的圆 ,nA逼近圆面积 S .n如图所示 , 可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n当 n 无限增大时, nA无限逼近 S, ,0,N正整数当 n N 时,SAn用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项) .若数列nx及常数 a 有下列关系

2、 :,0,N正数当 n N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 补充定义补充定义:nx不以常数 a为极限0000|, 00axNnnNn但总有尽管使得对为极限不以发散axRaxnn ,0000|, 0,0axNnnNRan但总有尽管使得对例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1

3、,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111

4、nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N机动 目录 上页 下页 返回 结束 (p23)例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0 . 1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 (重要数列，须记住！）即可。再取的范围：解出再由不等式放大，先将)(),()(,)(fNfnnngngaxaxnn用定义证明数列收敛的一般方

5、法： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 越大越好。即）（且形式的范围必须是其次，所解不一定相同；从而所得放大方法不唯一；说明：在放大过程中，NffnnN,0)(,)(23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx

6、矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 此处 取值方法是否唯一？例例4. 证明数列),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法.假设数列nx收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设,limaxnn取,1,N则当

7、Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时, 有0nx, )0(. )0(证证: 对 a 0 , 取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)(r. )(r(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 收敛数列的任一

8、子数列收敛于同一极限（收敛数列的任一子数列收敛于同一极限（p25) .*,axkn4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有knN从而有由此证明 .limaxknk*NNx机动 目录 上页 下页 返回 结束 KnKnKnx由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结

9、束 说明说明: 但另一方面，若数列的奇子列和偶子列有相同的极限，则该数列必然收敛(p27#8)。机动 目录 上页 下页 返回 结束 （p27#8) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （p27#8) 思考思考 内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时, 下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 如何判断一个数列的极限存在?方法1. 用定义;方法2. 找奇子列和偶子列的极限，如果相同则收敛。方法3. ？详见教材第一章第六节p45-p52作业作业P26 #1, 3,5第三节 目录 上页 下页 返回 结束 习题处理习题处理(p27#6)机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题处理习题处理(p27#6)机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题处理习题处