时间序列a第一章绪论

1、1应用时间序列分析应用时间序列分析第一章第一章 绪绪 论论 2 时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻划某一现象与其他现象之间的内在数量关及其变化规律性，达到认识客观世界之目的。而且运用时序模型还可以预测和控制现象的未来行为，修正或重新设计系统以达到利用和改造客观之目的。 3第一节第一节 时间序列分析的一般问题时间序列分析的一般问题 一、时间序列的含义一、时间序列的含义 从数学意义上讲，如果对某一过程中的某一个或一组变量X(t)进行观察，在一系列时刻 ttttN(,21为自变量，且 12)Nttt得到的离散有序数集合 12,.,tttitNXXXX称为离散数字时

2、间序列， 即随机过程的一次样本实现。 设 X(t:tT ) 是一个随机过程， (1,2,)itXi i)(tX(1,2,)itXi 是在时刻对过程的观察值，则称为一次样本实现，也就是一个时间序列。 4 时间序列具有如下特点： (1):序列中的数据或数据点的位置依赖于时间，即数据的取值依赖于时间的变化，但不一定是时间t的严格函数。 (2):每一时刻上的取值或数据点的位置具有一定的随机性，不可能完全准确地用历史值预测。 (3):前后时刻(不一定是相邻时刻)的数值或数据点的位置有一定的相关性，这种相关性就是系统的动态规律性。 (4):从整体上看，时间序列往往呈现某种趋势性或出现周期性变化的现象。 5

3、二、时间序列的主要分类二、时间序列的主要分类1、按所研究的对象的多少分为 ：一元时间序列和多元时间序列。 多元时间序列不仅描述了各个变量的变化规律，而且还揭示了各变量间相互依存关系的动态规律性。 2、按时间的连续性可将时间序列分为：离散时间序列和连续时间序列两种。我们主要研究离散时间序列，并用 表示，对于连续时间序列，可通过等间隔采样使之转化为离散时间序列后加以研究。 tX64、按序列的分布规律来分，有高斯型(Gaussian)时间序列和非高斯型(non-Gaussian)时间序列。服从高斯分布(正态分布)的时间序列叫做高斯型时间序列，否则叫做非高斯型时间序列。本书所介绍的模型多数是假设服从高

4、斯分布的高斯型时序模型。对于一些非高斯序列，往往通过适当变换，则可近似地看成是高斯型时间序列。 3、按序列的统计特性分为：平稳时间序列和非平稳时间序列。 如果一个时间序列的概率分布与时间t无关，则称该序列为严格的(狭义的)平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足：(1)均值为常数;(2)协方差为时间间隔 的函数则称该序列为宽平稳时间序列或广义平稳时间序列。7三、时间序列分析三、时间序列分析 1. 根据时间序列数据，较精确地找出相应系统的内在统计特性和发展规律性，尽可能多地从中提取出我们所需要的准确信息,用来实现这一目的的整个方法称为时间序列分析。 时序分析的作用主要有以下几

5、个方面： (1)、对理论性模式与数据进行适度检验，以讨论模式是否 能正确地表示所观测的现象。 (2)、刻划系统所处的状态及其结构性。 (3)、描述系统的运行规律性，认识和掌握运行规律性 (4)、预测系统的未来行为，以达到利用规律之目的。 (5)、控制系统的未来行为，以达到利用和支配系统之目的。 8 第二节第二节 时间序列的建立时间序列的建立一、时间序列数据的采集 时间序列数据的采集往往是按照一定的时间间隔 来采样的，对于连续时间序列也采用这种方法进行离散化处理。采样过程中的时间间隔 的大小要根据具体问题的特征和经验来确定， 过大就有信息的损失， 过小会造成数据量增大，处理的时间会变长。9二、离

6、群点的检验与处理1. 1. 定义定义1.3 1.3 在一个时间序列中远离序列一般水平的极端大值 和极端小值称为离群点离群点（Outlier），也称着奇异值奇异值。 一般地，离群点在进行时间序列分析时会直接影响模型的拟合精度，甚至得到一些虚假的信息。但从另一个角度看，离群点也提供了很重要的信息，如系统的稳定性、灵敏性等信息，同时会提醒我们认真检查数据的准确性。（P10例）102. 离群点的分类：（1）加性离群点：造成这种离群点的干扰只影响干扰发生的时刻序列值，不影响该时刻以后的序列值。（2）更新离群点：造成这种离群点的干扰不仅影响干扰发生的时刻序列值，而且影响该时刻以后的序列值。（3）水平移位离

7、群点：造成这种离群点的干扰从时刻起，系统的结构发生变化，序列的平均值在该时刻以后发生水平移位。（4）暂时变更离群点：造成这种离群点的干扰从干扰发生的时刻开始对以后的序列值产生的影响逐渐衰减。 113. 离群点的检验和处理：（1）根据数据取值进行检验，如果在某一时刻数值超出了一定的范围，则认为该点是一个离群点。 具体讲，一种是将序列值与平滑值进行比较，检验其是否显著的大或者小。另一种方法是检验序列值与其相应的曲线平滑估计值的绝对离差是否大于预先设定的值。 （2）对数据进行模型分析，然后根据拟合模型后的剩余序列，计算特定的统计量，测出显著的离群点，并加以修正。12三、缺省值的处理 缺省值的存在破坏

8、了系统运行的连续性和规律性，但是在实际工作中由于仪器故障、操作失误等等原因，时间序列中常会出现缺省值。通常对缺省值的补足可以用以下的方法：增长量推算法、发展速度推算法、比例推算法、平滑法、插值估算法等。 13 第三节第三节 确定性时序分析方法概述确定性时序分析方法概述 一、时间序列的分解：(1)趋势变动。是指时间序列朝着一定的方向持续上升、下降或停留在某一水平上的倾向，是事物的主要变化趋势。(2)季节变动。是指一年或更短的时间之内，由于受某种固定周期性因素的影响而呈现出有规律的周期性波动。(3)循环变动。通常是指周期为一年以上的有规律的波动。(4)不规则变动。可分为突然变动和随机变动。突然变动

9、是指战争、自然灾害或是其它社会因素等意外事件引起的变动。随机变动是指由于大量的随机因素产生的宏观影响。 14 通常用 Tt表示长期趋势项，St表示季节变动趋势项，Ct表示循环变动趋势项，Rt表示随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种类型： (i)加法模型: tttttRCSTy(ii)乘法模型: tttttRCSTy(iii)混合模式: ttttRSTytttttRCTSy其中 ty是观测目标的观测记录： 22()0,()ttE RE R15二二、确定性时间序列的预测方法 1、移动平均法: 设观测序列为 1,Tyy正整数NT。一次移动平均值计算公式为：(1)111()tttt NMyy

10、yN)(1)1(1NtttyyNM二次移动平均值计算公式为： )(1)1 (1)1 ()2(NtttMMMM)(1)1 ()1 ()2(1NtttMMNM121()()ttt Ntt NyyyyyN16 当预测目标的基本趋势是在某一水平上上下波动时，可用一次移动平均方法建立预测模型： (1)11(),1,2,tT mtt NyMyymN当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常用二次移动平均法，但序列同时存在线性趋势与周期波动时，可用趋势移动平均法建立预测模型： , 2 , 1,mmbayTTmT其中： )2()1(2TTTMMa)(12)2()1(TtTMMNb172、指数平滑法 1,T

11、yy设观测序列 a为加权系数，0a1，一次指数平滑公式为：(1)(1)(1)(1)111(1)()ttttttSaya SSa yS类似地，二次指数平滑公式为： )2(1)1()2()1 (tttSaaSs一般P次指数平滑公式为： )(1)1()()1 (ptptPtSaaSs(1)(1)12(1)(1)ttttSaya aya S0(1)jtjjaay0(1)11 (1)jjaaaa18用的较多的是几个低阶指数平滑预测模型用的较多的是几个低阶指数平滑预测模型: (1)水平趋势预测模型： , 2 , 1,)1 (mSyTmT(2)线性趋势预测模型-Brown（布朗）单系数线性平滑预测： 12(

12、1)(2),1,2,2,().1TTT mTTTTTTyab M maSSbSS其中：19其中： 2(1)(2)(3)1,1,2,233T mTTTTTTTyab mc m maSSS(1)(2)(3)2(65 )2(54 )(43 )2(1)TTTTbSSS2(1)(2)(3)22(1)TTTTCSSS（3）二次曲线趋势预测模型Brown单系数二次平滑预测20a的取值范围一般是0.10.3, 选择a值的一些基本准则为： (1)如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则a值应取小一些，以减少修正幅度，使预测模型能包含更多历史数据的信息。 (2)如果预测目标的基本趋势已发生系统地变化，

13、则a值应取得 大一些。这样，可以偏重新数据的信息对原模型进行大幅度修 正，以使预测模型适应预测目标的新变化。 上述原则可结合模型对比方法来进行。 213时间回归法 :常用的趋势变动的拟合模型有以下几种(1)线性方程： btay2(2)二次曲线： 2ctbtayt(3)指数曲线： btatey(4)修正指数曲线： ttabky(5)Gompertz(龚帕兹)曲线： ttabkyln（0b1） (6)Logistic(逻辑斯谛)曲线： ttabky1(7) 振动曲线： ( )cos(),( ( )tyf tAtf t为多项式）224.季节周期预测法季节周期预测法:(i) 乘法型季节模型 jtFtf

14、y)(其中 )(tf是序列长期变动趋势项， jF是季节指数，它表示季节性变动幅度的大小，;, 1kj如月度为周期k12；季度为周期k4。(ii) 加法型季节模型 tbtbtAytcossin)(sin21或tbtbtfytcossin)(21从总体上来说，确定性时序分析方法刻画了序列的主要趋势，且直观、简单，易于计算，便运用。但是，其假定比较严格，现实问题很难完全满足。 23三、随机时序分析的预备知识 1、随机过程(Stochastic Process) 定义1：(从时间变化角度来考察) 若对于每一个特定的tT(T是一个无穷集合，称为参数集)，X(t)是一个随机变量，则称这一族无穷多个随机变量

15、X(t) ,t0是一个随机过程。可见，随机过程X(t)是依赖于时间t的一族随机变量. 定义2：(从试验结果来看)若对事物变化的全过程进行一次观测，得到的结果是一个时间t的函数，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观测，所得的结果是不相同的，则称这种变化过程为随机过程。 24 定义3：设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对于每一个eS，我们总可以依某种规则确定一时间t的函数 TtteX),(与之对应(T是时间t的变化范围)，于是，对于所有的eS来说，就得到一族时间t的函数，我们称这族时间t的函数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过程的样本函数(或一次实现、现实)。 2、平稳随机过程（1

16、）纯随机过程白噪声：随机过程 如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，即对于所有st，随机变量 协方差均为零，则称其为纯随机过程。对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差均为常数，则称之为白噪声过程,其的样本实现称为白噪声序列，简称白噪声(White noise)。)2 , 1)(ttXtX和 sX25 图1.7是一个具有零均值，单位方差阵正态白噪声序列(100个数据)的示意图。 26(2)独立增量(可加) 过程：对于任意给定的正整数n,任意给定 ), 2 , 1(21nitttniTt,随机变量序列 )()(,),()(),()(12312nntXtXtXtXtXtX相互独立。 则称随机过程

17、TttX),(TttX),(为独立增量过程.(3)二阶矩过程：若随机过程 TttX),(对每个 )(,tXTt 的均值和方 差存在，则称之为二阶矩过程。 (4)正态过程：若 的有限维分布都是正态分布，即若 )(tX的n维概率密度为 12312(, , , )nnnfx xxx t tt则称为正态随机过程。 11()()21221(2 )xcxnec27（5）平稳过程：简单地讲，就是统计特性不随时间的平移而变化的过程。用数学语言来描述，就是：如果对于时间t的任意n个值 nttt,21和任意实数，随机过程 )(tX的n维分布函数满足关系式：),;,(2121nnntttxxxF),;,(121nn

18、nttxxxF则称X(t)为平稳过程。 若随机过程 TttX),(的均值和协方差存在，且满足： ( ),E X tatT ( ),ttE xaXaRt tT(i) (ii) 则称之为宽平稳随机过程 .283、非平稳随机过程：不具有平稳性的过程就是非平稳过程。一般来说，当环境及主要条件随时间变化时，就可以认为是非平稳的。如工艺革新、原材料质量提高(或下降)、设备更新等发生时，产品某一质量指标X(t)就是一个非平稳过程。 294、自相关： 就是指时间序列观察资料相互之间的依存关系。这种依存关系既可以用相关函数来表示，称为自相关函数；也可以用一个回归模型来表示。这个回归模型把现在的观测值表示为独立的两部分：一部分依赖于以前(过去)的观测值，一部分是独立的序列。 它描述的一种动态相关性。 如：设 tX只与其前一期有关(比如一个患者服药)，则有 1ttXXa305、动态性(即记忆性) 所谓动态性，从统计观点来看是指系统现在的行为与其历史行为的相关性。体现在时序中，就是观测值之中蕴含着的相关关系，因此，可用相关函数来刻划系统(时序)的动态性。 从系统的观点来看，是指系统的记忆性。就是在某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响。如果该输入只影响系统