高等代数课件：5-3 唯一性

1、1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关线性替换有关.如：二次型如：二次型123122312(,)262f xxxx xx xx x作非退化线性替换作非退化线性替换1121331 131110 01xyxyxy得标准形得标准形222123123(,)226f xxxyyy得标准形得标准形22212312312(,)223f xxxzzz1121331 1 211 1 21 3001 3xzxzxz 2 2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所系数不为零的

2、平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关作的非退化线性替换无关. .()()()秩秩秩秩秩秩DC ACA 而秩而秩(D) 等于等于D 的主对角线上不为零的元素的个数的主对角线上不为零的元素的个数.若若作非退化线性替换作非退化线性替换1(,)nf xxX AX ,DC AC 化为标准形化为标准形 ，则有，则有XCY Y DY3. 问题：问题：如何在一般数域如何在一般数域P上，进一步上，进一步“规范规范” ” 平方项非零平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）系数的形式？（这样产生了唯一性的问题） 定义定义二次型二次型 的的秩秩等于矩阵等于矩阵A的秩，的秩，即秩即秩 f 秩秩（

3、A）.12(,)nf xxxX AX 标准形标准形再作非退化线性替换再作非退化线性替换2211()()rrf XYC AC Yd yd y设复二次型设复二次型 (),Cn nf XX AX AA 经过经过非退化线性替换非退化线性替换可逆可逆, 得得,Cn nXCYC 这里这里0,1, 2,idirrfA秩秩秩秩（ ）. . 则则 称之为复二次型称之为复二次型 ()f X的的规范形规范形. 111(,1,1)rDdiagdd 1111111rrrrrnnyzdyzdyzyz ,或,或 Y =D Z,Y =D Z,22212()()rf XZD C ACD Zzzz 复二次型的规范形中平方项的系数

4、只有复二次型的规范形中平方项的系数只有1和和0两种两种. 复二次型的规范形是唯一的，由秩复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定确定.任一复对称矩阵任一复对称矩阵A合同于对角矩阵合同于对角矩阵0,00rE( ).rA 其其中中秩秩.两个复对称矩阵两个复对称矩阵A、B合同合同( )( ).AB秩秩秩秩再作非退化线性替换再作非退化线性替换()()f XYC AC Y 22221111,pppprrd yd ydyd y设实二次型设实二次型经过经过(),Rn nf XX AXAA 可逆，得标准形可逆，得标准形 非退化线性替换非退化线性替换,Rn nXCYC 其中，其中，r = 秩秩 f ( ).A

5、秩0,1, 2,idir 则则()()f XZD C ACD Z 222211pprzzzz 1111111()rrrrrnnyzdyzdyzyz ,或,或 Y =D Z,同Y =D Z,同前前111(, 1 ,1)rDdiagdd 称之为实二次型称之为实二次型 的的规范形规范形.()f X 实二次型的规范形中平方项的系数只有实二次型的规范形中平方项的系数只有1，1，0. 实二次型的规范形中平方项的系数中实二次型的规范形中平方项的系数中 1 的个数与的个数与1的个数之和的个数之和 = 秩秩= 秩秩(A)是唯一确定的是唯一确定的. f 规范形是唯一的规范形是唯一的. 任一实二次型可经过适当的非退

6、化任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一线性替换化成规范形，且规范形是唯一.证明：证明：只证唯一性只证唯一性.设实二次型设实二次型 AXXXf)(经过非退化线性替换经过非退化线性替换 化成规范形化成规范形 BYX （1） 222211()pprf Xyyyy 只需证只需证.pg （2）用反证法，设用反证法，设,pg 由由(1)、(2)，有，有222211()qqrf Xzzzz 经过非退化线性替换经过非退化线性替换化成规范形化成规范形XCZ （3）222211ppryyyy 222211qqrzzzz 111()()ZCXCBYCB Y且且（4）11111221121

7、nnnnnnnnnnzg ygyzg ygyZGYzgygy 即即则则G可逆，且有可逆，且有1()R,n nijCBGg令令考虑齐次线性方程组考虑齐次线性方程组（5）11111110000nnqqnnpng ygyg ygyyy 方程组（方程组（5）中未知量的个数为）中未知量的个数为n，方程的个数为，方程的个数为所以（所以（5）有非零解）有非零解.()(),qnpnpqn令令为（为（5）的非零解）的非零解， 011(,)ppnYkkkk 则有则有而而不全为不全为0. 10,pnkk 12,pkkk将将0Y代入（代入（3）的左端，）的左端，222211222211pprqqryyyyzzzz 2

8、210,pkk得其值为得其值为同理可证同理可证qp ，故，故pq . 矛盾矛盾. 所以，所以，.pq 得得001(0 ,0 ,)qnZGYzz 将其代入（将其代入（3）的右端，得其值为）的右端，得其值为2210grzz 由由11111221121(4)nnnnnnnnnnzg ygyzg ygyzgygy 111111100(5)00nnqqnnpng ygyg ygyyy 及及222211ppryyyy 定义定义实二次型实二次型 的规范形的规范形1()nf xx中正平方项的个数中正平方项的个数 p 称为称为 的的正惯性指数正惯性指数；f称为称为的的负惯性指数负惯性指数；负平方项的个数负平方项

9、的个数frp 称为称为的的符号差符号差.它们的差它们的差f()2prppr、任一实对称矩阵、任一实对称矩阵A合同于一个形式为合同于一个形式为其中其中的个数的个数，+1的个数的个数1()rA 秩秩 pX AX等等于于的正惯性指数；的正惯性指数；1的个数的个数rpX AX 等等于于的负惯性的负惯性指数指数.的对角矩阵的对角矩阵 .1111000prpEE 、实二次型、实二次型,f g具有相同的规范形具有相同的规范形fg 秩秩秩秩，且的正惯性指数的正惯性指数=g的正惯性指数的正惯性指数.f、实对称矩阵、实对称矩阵A、B合同合同 ()()AB 秩秩秩秩X AXX BX与与的正惯性的正惯性且二次型且二次

10、型指数相等指数相等. 、设设，证明：存在，证明：存在C,n nAAA Cn nB 使使.AB B 又又 D =D, 且且2000000000rrrEEEDD使使 0,00rEC ACD即即11()ACDC 1211111()()()()ACD CCD DCDCDC则则令令.AB B 1,BDC 证：证：设设则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵( ),R Ar C,n nC 例例2、如果两实如果两实n元二次型的矩阵是合同的，则认为元二次型的矩阵是合同的，则认为R上的一切上的一切n元二次元二次1(1)(2)2nn 类类.它们是属于同一类的，那么实数域它们是属于同一类的，那么实数域型可分为型可分为则则 r

11、的可能取值是的可能取值是0，1，2，n，1r 指数指数 p 的可能取值是的可能取值是0，1，r，共，共种种.f的正惯性的正惯性即有即有证：证：任取实任取实n元二次型元二次型(),R,n nf XX AX AA 设设( ),fAr秩秩秩秩而对任意给定的而对任意给定的(0),rrn0 ,01,0 ,1,0 ,1,2 ,rprprnpn 1种种2种种n1种种故共有故共有类类.112(1)(1)(2)2nnn基本概念基本概念这里，这里，r 秩秩( f ).2、 n元实二次型元实二次型 的规范形的规范形12( ,)nf x xx这里，这里， 秩秩( f )，p 称为称为 f 的正惯性指数；的正惯性指数；

12、rrp称为称为 f 的负惯性指数；称为的负惯性指数；称为 符号差符号差.2pr22212rzzz222211ppryyyy 1、n元复二次型的规范形元复二次型的规范形12(,)nf xxx基本结论基本结论定理定理3 任意一个复系数二次型，经过一适当的任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一复对称矩阵即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵合同于一个对角矩阵0,( ).00rErA 其其中中秩秩推论推论 两个复对称矩阵两个复对称矩阵A、B合同合同( )( ).秩秩秩秩AB定理定理4 任意一个实二次型，经过一适当的非退化任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯