考研数学二模拟409

考研数学二模拟409一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的______．A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小正确答案：B[解析]因为，所以正确答案为B．

2.

设f(x)满足：，xf"(x)-x2f'2(x)=1-e-2x且f(x)二阶连续可导，则______．A.x=0为f(x)的极小值点B.x=0为f(x)的极大值点C.x=0不是f(x)的极值点D.(0，f(0))是y=f(x)的拐点正确答案：A[解析]由得f(0)=0，f'(0)=0．

当x≠0时，由xf"(x)-x2f'2(x)=1-e-2x得，

再由f(x)二阶连续可导得

故x=0为f(x)的极小值点，选A.

3.

设，则f(x)有______．A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点D.一个可去间断点，一个无穷间断点正确答案：C[解析]显然x=0，x=1为f(x)的间断点．

由f(0+0)=f(0-0)=0，得x=0为f(x)的可去间断点；

由f(1-0)≠f(1+0)，得x=1为f(x)的跳跃间断点，选C．

4.

设则f(x，y)在(0，0)处______．A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微D.可微分正确答案：C[解析]当(x，y)≠(0，0)时，，

由迫敛定理得，从而f(x，y)在(0，0)处连续，A不对；

由得f'x(0，0)=0，

由得f'y(0，0)=0，B不对；

令

因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处不可微分，D不对，选C.

5.

考虑二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处的下面四条性质：

①连续

②可微

若用“”表示可由性质P推出性质Q，则有______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]若f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)在(x0，y0)处可微，若f(x，y)在(x0，y0)处可微，则f(x，y)在(x0，y0)处连续，选B.

6.

设y=y(x)是微分方程y"+(x-1)y'+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的解，则为______．A.0B.1C.2D.3正确答案：B[解析]因为y(0)=0，y'(0)=1，所以由y"+(x-1)y'+x2y=ex得y"(0)=2，

从而，选B．

7.

设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是______．A.若A2～B2，则A～BB.矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等C.若A，B的特征值相同，则A～BD.若A～B，且A可相似对角化，则B可相似对角化正确答案：D[解析]由A～B得A，B的特征值相同，设为λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩阵P1，使得；

因为A可相似对角化，所以存在可逆矩阵P2，使得

即于是有

取，即B可相似对角化．选D

8.

设A是n阶矩阵，下列结论正确的是______．A.设r(A)=r，则A有r个非零特征值，其余特征值皆为零B.设A为非零矩阵，则A一定有非零特征值C.设A为对称矩阵，A2=2A，r(A)=r，则A有r个特征值为2，其余全为零D.设A，B为对称矩阵，且A，B等价，则A，B特征值相同正确答案：C[解析]取，显然A的特征值为0，0，1，但r(A)=2，A不对；

设，显然A为非零矩阵，但A的特征值都是零，B不对；

两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，D不对；选C.

事实上，令AX=λX，由A2=2A得A的特征值为0或2，因为A是对称矩阵，所以A一定可对角化，由r(A)=r得A的特征值中有r个2，其余全部为零．

二、填空题1.

正确答案：[解析]方法一：

由

2.

设y=y(x)由确定，则正确答案：[解析]当t=0时，x=1．

exsint-x+1=0两边对t求导，得，于是；

两边对t求导，得，于是．

故

3.

曲线的斜渐近线为______．正确答案：y=2x-1[解析]

故曲线的斜渐近线为y=2x-1．

4.

正确答案：[解析]改变积分次序得

5.

y"-2y'-3y=e-x的通解为______．正确答案：[解析]特征方程λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3，则方程y"-2y'-3y=0的通解为y=C1e-x+C2e3x.

令原方程的特解为y0(x)=Axe-x，代入原方程得，于是原方程的通解为

6.

设A为三阶实对称矩阵，α1=(m，-m，1)T是方程组AX=0的解，α2=(m，1，1-m)T是方程组(A+E)X=0的解，则m=______．正确答案：1[解析]由AX=0有非零解得r(A)＜3，从而λ=0为A的特征值，α1=(m，-m，1)T为其对应的特征向量；

由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)＜3，|A+E|=0，λ=-1为A的另一个特征值，其对应的特征向量为α2=(m，1，1-m)T，因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有m=1．

三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

设f(x)可导，且，计算正确答案：[解]

由得，

于是

2.

设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g'(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使

正确答案：[解]令，显然函数φ(x)在区间[a，b]上连续，函数φ(x)在区间(a，b)内可导，且

另外又有φ(a)=φ(b)=0．

所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即

由于g(b)=0及g'(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有，

于是有

设3.

用变换x=t2将原方程化为y关于t的微分方程；正确答案：[解]

代入，得

整理，得

4.

求原方程的通解．正确答案：[解]特征方程为λ2-λ-6=0，特征值为λ1=-2，λ2=3，

方程的通解为y=C1e-2t+C2e3t．

令的特解为y0=Ate3t，代入得，故原方程的通解为

5.

设直线y=ax+b为曲线y=ln(x+2)的切线，且y=ax+b，x=0，x=4及曲线y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求a，b的值．正确答案：[解]设直线y=ax+b为曲线y=ln(x+2)在点(x0，ln(x0+2))处的切线，

切线为，解得

令得x0=2．

当x0∈(-2，2)时，S'(x0)＜0，当x0＞2时，S'(x0)＞0，则x0=2为S(x0)的最小点，从而当时，y=ax+b，x=0，x=4及曲线y=ln(x+2)围成的图形面积最小．

6.

求二重积分，其中D={(x，y)|0≤y≤1-x，0≤x≤1}．正确答案：[解]方法一：

在区域D内作圆x2+y2=x，将区域D分为D1，D2，则

第一卦限的角平分线将D1分为D11及D12，

而

方法二：

在区域D内作圆x2+y2=x，将区域D分为D1，D2，则

而

又

7.

设y=f(x，t)，而t是由方程G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，其中f(x，t)，G(x，y，t)为可微函数，求．正确答案：[解]由方程组确定两个一元函数，其中x为自变量，y，t为函数，对x求导得

8.

设f(x)在[1，+∞)上连续且可导，若曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为

且，求函数y=f(x)的表达式．正确答案：[解]由旋转体的体积公式得

由已知条件得

等式两边对t求导得

3f2(t)=2tf(t)+t2f'(t)，

于是有x2y'=3y2-2xy，变形得

令，则有，分离变量并两边积分得

即y-x=Cx3y，

由得C=-1，故

设A为m×n矩阵，且，其中．9.

证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解；正确答案：[解]令ξ1，ξ2，…，ξn-r，为AX=0的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r=ξn-r+η0为AX=b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即

k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0．

上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r线性无关．

若γ0，γ1，…，γn-r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1-γ0，…，ξn-r+1=γn-r+1-γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0，则

k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．

因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AK=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．

10.

若有三个线性无关解，求a，b的值及方程组的通解．正确答案：[解]令

则化为AX=β．

因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4-r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以

则a=-3，b=-1．