考研数学二分类模拟191

考研数学二分类模拟191一、选择题1.

设则______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]将题设条件f(x)中的所有自变量x都用(-x)替换，得

即

故选D。

2.

设则f{f[f(x)]}=______

A．0

B．1

C．

D．正确答案：B[解析]因为|f(x)|≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，从而f{f[f(x)]}=f(1)=1。故选B。

3.

设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是______A.若u1＞u2，则{un}必收敛B.若u1＞u2，则{un}必发散C.若u1＜u2，则{un}必收敛D.若u1＜u2，则{un}必发散正确答案：D[解析]选项A：设f(x)=-lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}={-lnn}发散，排除A；

选项B：设，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}=收敛，排除B；

选项C：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；

选项D：由拉格朗日中值定理，有

un+1-un=f(n+1)-f(n)=f'(ξn)(n+1-n)=f'(ξn)，

其中ξn∈(n，n+1)(n=1，2，…)。由f"(x)＞0知，f'(x)单调增加，故

f'(ξ1)＜f'(ξ2)＜…＜f'(ξn)＜…，

所以

于是当u2-u1＞0时，推得故选D。

4.

下列各式中正确的是______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由重要极限可排除B、D两项。

对于A、C选项，只要验算其中之一即可。

对于C选项，因可知C选项不正确。故选A。

5.

若则______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]由重要极限可得，再将ex按泰勒公式展开，可得

从而有

可知，b=-1，故选B。

6.

函数f(x)=xsinx______A.当x→∞时为无穷大B.在(-∞，+∞)内有界C.在(-∞，+∞)内无界D.当x→∞时有有限极限正确答案：C[解析]令，yn=2nπ+π，则f(yn)=0。因为所以f(x)在(-∞，+∞)内无界，且当x→∞时不一定为无穷大。故选C。

7.

设数列{xn}与{yn}满足，则下列结论正确的是______

A．若{xn}发散，则{yn}必发散

B．若{xn}无界，则{yn}必无界

C．若{xn}有界，则{yn}必为无穷小

D．若为无穷小，则{yn}必为无穷小。正确答案：D[解析]取xn=n，yn=0，显然满足题设条件，由此可排除选项A、B。取xn=0，yn=n，也满足=0，排除选项C。故选D。

8.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且，则必有______

A．an＜bn对任意n成立

B．bn＜cn对任意n成立

C．极限不存在

D．极限不存在正确答案：D[解析]方法一：选项A与B显然是错误的。由题设存在并记为A，则这与矛盾，故假设不成立，即不存在。故选D。

方法二：排除法。

取满足而a1=1，b1=0，a1＞b1，A项不正确；

取cn=n-2，满足而b1=0＞-1=c1，B项不正确；

取cn=n-2，满足，C项不正确。

故选D。

(1)选项A，B容易和极限的保号性混淆，根据保号性：，所以存在N＞0，当n＞N时，有an＜bn。但要注意的是，这里an＜bn只有对足够大的n(n＞N)才成立，无法保证对每一项都成立。

(2)结合本题的推理过程和极限的四则运算法则，可以总结出如下结论：两个收敛的数列相乘一定是收敛的；收敛的数列和发散的数列相乘之后是否收敛取决于收敛的数列的极限值，如果该极限值不为零，则一定发散，如果该极限值为零，则有可能收敛也有可能发散。同样的结论对函数极限也是成立的。

二、填空题1.

当x→0时，α(x)=kx2与是等价无穷小，则k=______。正确答案：[解析]由题设可知

所以

2.

正确答案：[解析]

3.

正确答案：sin1-cos1[解析]由定积分的定义

一般求无穷项和的极限采用定积分分段、求和、取极限的定义比较简单，利用定积分求极限的一般公式为

4.

正确答案：[解析]方法一：将分子化简后用等价无穷小替换。易知，则

方法二：应用(1+u)λ的麦克劳林展开式

当x→0时，有

因此

5.

正确答案：[解析]

6.

正确答案：[解析]

三、解答题1.

试确定常数A，B，C的值，使得

ex(1+Bx+Cx2)-1+Ax+o(x3)，

其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小。正确答案：解：将麦克劳林展开式代入已知等式得

整理得

比较系数可得

解这个方程组可得

2.

正确答案：解：方法一：原式

方法二：可借助麦克劳林展开式进行计算，即

3.

正确答案：解：由麦克劳林展开式因此

4.

正确答案：解：因为ln(cosx)=ln(1+cosx-1)，所以x→0，ln(cosx)～cosx-1～。又由麦克劳林展开式，因此

5.

正确答案：解：由麦克劳林展开式

因此

6.

正确答案：解：由麦克劳林展开式及常见的等价无穷小替换，可得

7.

正确答案：解：方法一：

方法二：因

则[解析]从上述解题过程可以看出，对型的未定式，四则运算法则和等价无穷小替换是基本的化简和变形的方法，也是在求极限的过程中首先需要考虑的；对于复杂一点的极限式，在充分使用上述两个方法的基础上，往往还需要用到洛必达法则以及泰勒公式，相比之下，对一般的初等函数