万有引力与人造卫星(李素卫)

1、万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用高邑一中 李素卫内容内容要求要求说明说明1.运动的合成与分解运动的合成与分解I不要求会不要求会推导向心推导向心加速度的加速度的公式公式2.曲线运动中质点速度的方向沿轨迹曲线运动中质点速度的方向沿轨迹的切线方向，且必具有加速度的切线方向，且必具有加速度I3.平抛运动平抛运动II4.匀速圆周运动。线速度和角速度。匀速圆周运动。线速度和角速度。周期。圆周运动的向心加速度周期。圆周运动的向心加速度 。II5.万有引力定律万有引力定律II6.圆周运动中的向心力圆周运动中的向心力II7.万有引力定律的应用。人造地球卫万有引力定律的应用。人造地球卫星的运动（限于圆轨道

2、）星的运动（限于圆轨道）II8.宇宙速度宇宙速度I9.航天技术的发展和宇宙航行航天技术的发展和宇宙航行Iav2r=av2r=（一）、三个模型（一）、三个模型（1）绕自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的）绕自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为天体称为“自转自转”天体。天体。（2）绕中心天体做匀速圆周运动的天体称为公转天体）绕中心天体做匀速圆周运动的天体称为公转天体（3） “双星双星”是宇宙中两颗相隔一定距离，围绕其连是宇宙中两颗相隔一定距离，围绕其连线上某点做匀速圆周运动的天体。线上某点做匀速圆周运动的天体。（二）、两条思路（二）、两条思路（1）万有引力提供向心力）万有引力提供向

3、心力mvTrmmrrvmF22224（2）利用黄金代）利用黄金代换换mgRMmG22gRGM 即即一、开普勒行星运动规律一、开普勒行星运动规律定律定律内容内容图示图示开普开普勒第勒第一定一定律律所有的行星绕太阳运所有的行星绕太阳运动的轨道都是动的轨道都是 ，太阳处在椭圆的一个太阳处在椭圆的一个 上上 椭圆椭圆焦点焦点一、开普勒行星运动规律一、开普勒行星运动规律定律定律内容内容图示图示开普开普勒勒第第二定二定律律对任意一个行星而言，对任意一个行星而言，它与太阳的它与太阳的 在相等在相等的时间内扫过的时间内扫过 的面的面积积开普开普勒第勒第三定三定律律连线连线相等相等所有行星轨道半长所有行星轨道半

4、长轴的立方与其公转轴的立方与其公转周期的平方的比值周期的平方的比值为一个常数为一个常数、中心天体质量的计算中心天体质量的计算2224TmrrMmG2324GTrM（1）若已知卫星绕中心天体做圆周运动的周期）若已知卫星绕中心天体做圆周运动的周期T、半径、半径 r（2）若已知卫星绕中心天体做圆周运动的半径）若已知卫星绕中心天体做圆周运动的半径 r，卫星运，卫星运 行的线速度行的线速度rvmrMmG22GrvM2对于有卫星的中心天体，分两种情况对于有卫星的中心天体，分两种情况对无卫星的中心天体或虽有卫星但不知卫星运行的有关数据对无卫星的中心天体或虽有卫星但不知卫星运行的有关数据常常是忽略天体自传影响

5、，认为万有引力等于物体重力常常是忽略天体自传影响，认为万有引力等于物体重力mgRMmG2GgRM2、 中心天体密度的计算中心天体密度的计算2224TmrrMmG2324GTrM3233334RGTrRM式中式中r为卫星轨道半径，为卫星轨道半径，R为天体半径为天体半径若卫星绕天体表面飞行，式中若卫星绕天体表面飞行，式中r = R，天体密度为天体密度为23GT运动参运动参量量半径半径变化变化相关方程相关方程结论结论线速度线速度v增大增大半径越大，线速度越小，半径越大，线速度越小，动能越小，势能越大，机动能越小，势能越大，机械能越大械能越大角速度角速度增大增大半径越大，角速度越小半径越大，角速度越小

6、周期周期T增大增大半径越大，周期越大半径越大，周期越大近地卫星的最小周期近地卫星的最小周期85分分钟钟向心加向心加速度速度a增大增大半径越大，向心加速度越半径越大，向心加速度越小小rvmrMmG222224TmrrMmG22mrrMmG向marMmG2rGMv GMrT322rGMa向3rGM 天体运动模型（以人造地球卫星为例）天体运动模型（以人造地球卫星为例） 微型专题二：卫星变轨微型专题二：卫星变轨 卫星从低轨道向高轨道运行前需要先加速，万有引力小于卫星从低轨道向高轨道运行前需要先加速，万有引力小于所需的向心力，提供的向心力不足，卫星做所需的向心力，提供的向心力不足，卫星做“离心离心”运动

7、。此运动。此后万有引力做负功，到高轨道后圆周运动的运行速度变小。后万有引力做负功，到高轨道后圆周运动的运行速度变小。 卫星从高轨道向低轨道运行前需要先减速，万有引力大于卫星从高轨道向低轨道运行前需要先减速，万有引力大于所需的向心力，提供的向心力过剩，卫星做所需的向心力，提供的向心力过剩，卫星做“近心近心”运动，此运动，此后万有引力做正功，到达低轨道后圆周运动的运行速度变大。后万有引力做正功，到达低轨道后圆周运动的运行速度变大。 实际的卫星发射并不是一次送入最终轨道，主要掌握先圆实际的卫星发射并不是一次送入最终轨道，主要掌握先圆周轨道，再椭圆轨道，最后进入圆轨道的变轨规律和特点。明周轨道，再椭圆

8、轨道，最后进入圆轨道的变轨规律和特点。明确在圆轨道和椭圆轨道交点位置，万有引力和加速度相同，变确在圆轨道和椭圆轨道交点位置，万有引力和加速度相同，变轨时线速度不同。在椭圆轨道上运行时，近地点线速度大，远轨时线速度不同。在椭圆轨道上运行时，近地点线速度大，远地点线速度小。地点线速度小。卫星绕天体运行时，提供的向心力与所需要的向卫星绕天体运行时，提供的向心力与所需要的向心力关系决定着卫星变轨问题心力关系决定着卫星变轨问题卫星做圆周运动卫星做圆周运动提供的向心力提供的向心力需要的向心力需要的向心力rv 2mGMmr 2=卫星做近心运动卫星做近心运动提供的向心力提供的向心力需要的向心力需要的向心力rv

9、 2mGMmr 2卫星做离心运动卫星做离心运动提供的向心力提供的向心力需要的向心力需要的向心力rv 2mGMmr 2例例2、如图所示，、如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是：颗人造卫星，下列说法正确的是：A. b、c的线速度大小相等，且大于的线速度大小相等，且大于a的线速度的线速度B. b、c的向心加速度大小相等，且大于的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度的向心加速度C. c加速可追上同一轨道上的加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的减速可等到同一轨道上的cD. a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小

10、，其线速度将变大卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大abc据环绕速度公式，据环绕速度公式， rv A错错 ；D正确正确rGMv 2rGMa向据向心加速度公式，据向心加速度公式， ra B 错错c 加速向高空变轨，加速向高空变轨，b 减速向低空变轨，减速向低空变轨，C错错 微型专题三：双星问题微型专题三：双星问题（2）特点特点 .两星球间的万有引力充当向心力两星球间的万有引力充当向心力 .周期相等，角速度相同周期相等，角速度相同 .双星间的距离不变双星间的距离不变 .万有引力公式中距离（两星球间距）万有引力公式中距离（两星球间距） 与星球做圆周运动的轨道半径的不同与星球做圆周运动的

11、轨道半径的不同 双星是宇宙中两颗相隔一定距离，围双星是宇宙中两颗相隔一定距离，围绕其连线上某点做匀速圆周运动的天体绕其连线上某点做匀速圆周运动的天体。（1）向心力的来源。向心力的来源。 构成双星的两天体间的万有引力构成双星的两天体间的万有引力（3）双）双 星星 规规 律律Lrr212112212TrMLMMG2222212TrMLMMG-2211rMrM-LMMMr2121-LMMMr2112-例例1：在天体运动中，将两个彼此距离较近的行星称为双星，由在天体运动中，将两个彼此距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力而使它们在运动中的距离保持不变，已知两个于两星间的引力而使它们在运动中的距离保持

12、不变，已知两个行星的质量分别为行星的质量分别为M1和和M2，相距为，相距为L，求它们的角速度。，求它们的角速度。错解错解：万有引力提供向心力，设两行星的角速度分别为万有引力提供向心力，设两行星的角速度分别为1、2211221LMLMMGLGML211222221LMLMMGLGML121设设M1的轨道半径为的轨道半径为r1, M2的轨道半径为的轨道半径为r2。两行星的角速度为两行星的角速度为211221rMLMMG222221rMLMMGLrr21LMMGL)(121正解：正解：注意：间距注意：间距L与轨道与轨道半径半径r 的区别，不同的区别，不同于公转模型。于公转模型。例例2：两个星球组成双

13、星，它们在相互之间的万有引力作用下，两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星球中绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星球中心的距离为心的距离为R，其运动周期为，其运动周期为T，求两星球的总质量。，求两星球的总质量。解：设两星球的质量分别为解：设两星球的质量分别为M1和和M2，都绕连线上某点，都绕连线上某点O做周期为做周期为T的圆周运动，星球的圆周运动，星球1和星球和星球2到到O点距离分别点距离分别为为l1、l2，由万有引力定律，由万有引力定律对星球对星球1：1212212lTMRMMG212224GTlRM对星球对星球2：22

14、22212lTMRMMG222214GTlRM所以所以)(42122221llGTRMM2324GTR 双星题目演变双星题目演变_三星三星 第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得：第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 22222(2 )mmvGGmRRR54GmvR245RRTRvGm22222cos30 =()2cos30mlGmTl325Rl 解得解得MMMRRMMMllOr三星暴露出的问题三星暴露出的问题：（：（1）丟力）丟力 （2）间距错误（）间距错误（3）审题）审题不清，误将第二种形式半径也看成不清，误将第二种形式半径也看成R （4）计算错）计算错 第二种形式下，由万

15、有引力定律和牛顿第二定律得：第二种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 2010年全国年全国I卷卷 25（18分）分） 如右图，质量分别为如右图，质量分别为m和和M的两个星球的两个星球A和和B在引力作用在引力作用下都绕下都绕O点做匀速周运动，星球点做匀速周运动，星球A和和B两者中心之间距离为两者中心之间距离为L。已知已知A、B的中心和的中心和O三点始终共线，三点始终共线，A和和B分别在分别在O的两侧。的两侧。引力常数为引力常数为G。 (1).求两星球做圆周运动的周期。求两星球做圆周运动的周期。 (2).在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以

16、将月球和地球看成上述星球地球看成上述星球A和和B，月球绕其轨道中心运行为的周期，月球绕其轨道中心运行为的周期记为记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的。已知地球和月球的质量分别为质量分别为5.981024kg 和和 7.35 1022kg 。求。求T2与与T1两者平两者平方之比。（结果保留方之比。（结果保留3位小数）位小数）OBA 微型专题四：微型专题四：同步卫星同步卫星地球同步卫星就是与地球同步运转，相对地球静止的卫星。地球同步卫星就是与地球同步运转，相

17、对地球静止的卫星。同步卫星的特点：同步卫星的特点：同步卫星的相关训练同步卫星的相关训练1. 定周期：地球自转周期定周期：地球自转周期24h2. 定轨道平面：运行平面在赤道平面内定轨道平面：运行平面在赤道平面内3. 定高度：离地面的高度定高度：离地面的高度h=3.6104km4. 定速率：运行速率定速率：运行速率v3.1km/s5. 定点：在赤道上方某点静止定点：在赤道上方某点静止课堂练习推导高度课堂练习推导高度h求运行速率求运行速率v讲解同步卫星的一般发射步骤。目的使学生对发射过程讲解同步卫星的一般发射步骤。目的使学生对发射过程有一有一大致的了解大致的了解，有一个，有一个心理准备心理准备，再碰

18、到此类问题时，再碰到此类问题时能够更从容一点。能够更从容一点。我国发射同步卫星一般是这样的：我国发射同步卫星一般是这样的：用火箭把卫星送入约近地点用火箭把卫星送入约近地点200km、远地点、远地点36000km、倾角、倾角28.5的椭的椭圆形轨道。圆形轨道。卫星在运行到远地点附近时，几次用卫星上远地点发动机变轨，不断卫星在运行到远地点附近时，几次用卫星上远地点发动机变轨，不断提高近地点高度，使椭圆形轨道逐渐拉高为距地面高提高近地点高度，使椭圆形轨道逐渐拉高为距地面高36000km的圆轨道。的圆轨道。卫星进入准同步轨道后，靠卫星上小推力器向定点位置飘移，并调整卫星进入准同步轨道后，靠卫星上小推力

19、器向定点位置飘移，并调整轨道的各个参数，使卫星的轨道倾角接近零，轨道周期接近于地球自转轨道的各个参数，使卫星的轨道倾角接近零，轨道周期接近于地球自转周期。周期。卫星定点后还要进行定点保持，由于地球扁率和太阳光压会引起卫星卫星定点后还要进行定点保持，由于地球扁率和太阳光压会引起卫星在定点位置的东西方向上飘移，需克服这种飘移，使卫星保持在定点位在定点位置的东西方向上飘移，需克服这种飘移，使卫星保持在定点位置的置的0.1范围，另外日月引力会引起倾角变化，使卫星在南北方向上范围，另外日月引力会引起倾角变化，使卫星在南北方向上产生飘移，需用卫星上推力器不断进行轨道修正。产生飘移，需用卫星上推力器不断进行

20、轨道修正。 为什么同步卫星要经为什么同步卫星要经3次变轨及位置捕获才能定点工作呢？这是由于次变轨及位置捕获才能定点工作呢？这是由于地球静止轨道高度约地球静止轨道高度约35860km，而轨道倾角为，而轨道倾角为0（在该轨道运行的卫星，（在该轨道运行的卫星，从地球上看好像是不动的，卫星运行周期与地球自转周期相等）。要把从地球上看好像是不动的，卫星运行周期与地球自转周期相等）。要把卫星送到这个高度，并使卫星以卫星送到这个高度，并使卫星以3.07kms的速度运行，这就要求火箭能的速度运行，这就要求火箭能够达到够达到10.4 kms的速度，它已接近第二宇宙速度的速度，它已接近第二宇宙速度11.2kms，

21、一般火箭，一般火箭很难很难“一步到位一步到位”，再因发射场不在赤道上，所以通常需进行多次变轨，再因发射场不在赤道上，所以通常需进行多次变轨才能进入预定的地球静止轨道。才能进入预定的地球静止轨道。例：已知地球同步卫星离地心的距离为例：已知地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为，运行速度为v1，加速度为加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为度为a2，第一宇宙速度为，第一宇宙速度为v2，地球的半径为，地球的半径为R，则下列比，则下列比值正确的是：值正确的是：A B C DRraa21221rRaaRrvv21rRvv21 例例 题题 选选 讲讲

22、a1同步卫星同步卫星v1r物体物体a2近地卫星近地卫星v2F万万F 万万FNF 万万一是分清各一是分清各物体的位置物体的位置二是正确二是正确运用公式运用公式错解分析错解分析1错解分析错解分析2设同步卫星质量为设同步卫星质量为m1，地球质量为地球质量为M，地球赤道上的物体质量为地球赤道上的物体质量为m2据万有引力定律据万有引力定律1121amrMmG2222amRMmG221rRaa选选 B设赤道上的物体重力加速度设赤道上的物体重力加速度为为g，高空中同步卫星所在处，高空中同步卫星所在处的重力加速度为的重力加速度为g , ,则则 mg =据黄金代换，据黄金代换，加速度为加速度为g = =gR2r

23、222221rRgrgRggaa选选 BGMmr2 错因：错因：赤道上物体受力分析错赤道上物体受力分析错 错因：概念混淆。赤道上物体错因：概念混淆。赤道上物体的向心加速度的向心加速度 与重力加速度与重力加速度 是两个不同的物理量是两个不同的物理量ga2据线速度和角速度的关系据线速度和角速度的关系错解分析错解分析3v1= 1 rv2= 2 R1= 2错解分析错解分析4据牛顿第二定律有据牛顿第二定律有m1a1= m1 12 rm2a2= m2 22 R1= 2a1= =v12ra2= =v22Rv12= a1rv22= a2R选选 C错因：情景混淆。第一错因：情景混淆。第一宇宙速度宇宙速度v2是在

24、地面附是在地面附近绕地球的环绕速度，近绕地球的环绕速度，不是随地球自转的线速不是随地球自转的线速度，式中度，式中 1 2所以所以 选选 Cv2rRv1=错因：张冠李戴。公式错因：张冠李戴。公式正确，但公式正确，但公式 中中v2 不应不应是第一宇宙速度而应是自转的线速度是第一宇宙速度而应是自转的线速度a2= =v22Ra2rRa1=a2rRa1=v2rRv1= 微型专题五：宇宙速度微型专题五：宇宙速度一、运行速度和发射速度的区别一、运行速度和发射速度的区别运行速度运行速度是指人造地球卫星在轨道上运动的速度。是指人造地球卫星在轨道上运动的速度。发射速度发射速度指指将卫星送到离地球较远的轨道上，在地

25、面发射卫星时需要一次将卫星送到离地球较远的轨道上，在地面发射卫星时需要一次性所达到的速度，发射速度是以地心为参考系，在地球的赤道性所达到的速度，发射速度是以地心为参考系，在地球的赤道上，沿地球自转的方向发射卫星最节能。由于卫星发射后，克上，沿地球自转的方向发射卫星最节能。由于卫星发射后，克服地球引力做功，速度不断减小，到预定轨道上时，其运行速服地球引力做功，速度不断减小，到预定轨道上时，其运行速度必然小于发射速度。度必然小于发射速度。二、人造卫星的能量为运行的动能和引力势能之和二、人造卫星的能量为运行的动能和引力势能之和rMmGpE pErGMmrGMmmvkE212221221rMmGEEE

26、pk2可见，卫星运行半径越大，运行速度越小，动能越小；引力势能越大，总可见，卫星运行半径越大，运行速度越小，动能越小；引力势能越大，总能量越大，故发射起来越难，发射速度要求越大。能量越大，故发射起来越难，发射速度要求越大。1、第一宇宙速度第一宇宙速度（环绕速度）（环绕速度）物理模型：近地卫星物理模型：近地卫星物理意义：第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度（以地心物理意义：第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度（以地心为参考系），也是人造卫星最大环绕速度。第一宇宙速度由中为参考系），也是人造卫星最大环绕速度。第一宇宙速度由中心天体本身的性质（质量和半径）决定。心天体本身的性质（质量和半径）决定。求

27、解方法求解方法1：据万有引力提供向心力的基本方程：据万有引力提供向心力的基本方程求解方法求解方法2：据：据“黄金代换黄金代换”涉涉及及到到地地球球质质量量时，时，通通常常用用方方法法1求求第第一一宇宇宙宙速速度度.注注 * * 任任何何一一个个星星球球都都有有自自己己的的第第一一宇宇宙宙速速度度RvmRMmG22RGMv 联立联立解出解出mgRMmG2km/s9 . 7 gRv如果涉及到星如果涉及到星球表面的重力球表面的重力加速度，通常加速度，通常用方法用方法2求第一求第一宇宙速度，而宇宙速度，而重力加速度有重力加速度有时需要根据物时需要根据物体在星球表面体在星球表面重力场中的运重力场中的运动

28、来求解动来求解 三种宇宙速度三种宇宙速度若取地球的第一宇宙速度为若取地球的第一宇宙速度为8km/s，某，某行星的质量是地球的行星的质量是地球的6倍，半径是地球倍，半径是地球的的1.5倍，这行星的第一宇宙速度约为倍，这行星的第一宇宙速度约为多少？多少？答案答案 16 km/s 09年北京理综第一个计算题年北京理综第一个计算题 22.(16分）已分）已知地球半径为知地球半径为R，地球表面重力加速度，地球表面重力加速度为为g，不考虑地球自转的影响。，不考虑地球自转的影响。(1)推导第一宇宙速度推导第一宇宙速度v1的表达式；的表达式；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行

29、轨道距离地面高度为行轨道距离地面高度为h，求卫星的运，求卫星的运行周期行周期T。 课堂练习课堂练习紫金山天文台将紫金山天文台将1965年年9月月20日发现的日发现的第第2752号小行星命名为吴健雄星，其直号小行星命名为吴健雄星，其直径为径为32 km，如该小行星的密度和地球，如该小行星的密度和地球相同，求该小行星的第一宇宙速度相同，求该小行星的第一宇宙速度(已知地球半径已知地球半径R06400 km，地球的第，地球的第一宇宙速度一宇宙速度v08 km/s)【答案】【答案】20 m/s2、第二宇宙速度（第二宇宙速度（脱离速度）脱离速度） 挣脱地球引力束缚的最小发射速度挣脱地球引力束缚的最小发射速

30、度2102Mmmv( G)R km/s2 .112IIIvv3、第三宇宙速度（第三宇宙速度（逃逸速度）逃逸速度） 挣脱太阳引力束缚的最小发射速度挣脱太阳引力束缚的最小发射速度vIII = 16.7 m/s 微型专题六：遮挡问题微型专题六：遮挡问题例例1.（04广东广东16题。题。16分）分）某颗地球同步卫星正下方的地某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径小时内有