清华大学微积分精品课件1

1、2021/3/111 欢迎你！欢迎你！ 清华园的清华园的 新主人新主人 2021/3/112 2021/3/113 微积分微积分 E-mail: 讲课教师陆小援 Tel: 62782327 2021/3/114 参考书目：参考书目： 1. 微积分教程微积分教程 韩云瑞等韩云瑞等 清华大学出版社清华大学出版社 3. 微积分学习指导微积分学习指导韩云瑞等韩云瑞等 4. 大学数学大学数学概念、方法与技巧概念、方法与技巧 微积分部分微积分部分 刘坤林等刘坤林等 2. 一元微积分一元微积分 萧树铁萧树铁 主编主编 高教出版社高教出版社 清华大学出版社清华大学出版社 清华大学出版社清华大学出版社 2021

2、/3/115 作作 业业 P3 P3 习题习题1.1 1.1 4(2)(4)(6). 7. 4(2)(4)(6). 7. P7 P7 习题习题1.2 2. 5. 1.2 2. 5. P12 P12 习题习题1.3 7. 9. 预习：P2739 2021/3/116 答疑时间答疑时间地点地点： 理科楼理科楼 数学系数学系 1111 交作业时间：交作业时间： 星期一星期一 星期五星期五 课后课后 2021/3/117 引言引言 （一）上大学学什麽？（一）上大学学什麽？ 珍惜时光珍惜时光 三个方面三个方面 学会自学学会自学 尝试研究性的学习方法：尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题提

3、出问题、研究问题、解决问题 注重持续性学习：注重持续性学习： 有计划地安排学习有计划地安排学习 做人之道做人之道, 治学之方治学之方, 健身之术健身之术 学会向书本、老师、周围学学会向书本、老师、周围学 2021/3/118 （二）学数学学什麽？（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征数学的基本特征 抽象性抽象性 演绎性演绎性 广泛性广泛性 （研究对象）（研究对象） （论证方法）（论证方法） （应用）（应用） 假设假设 结论结论 logic 理性理性 思维思维 2021/3/119 关关于于学学习习数数学学的的要要求求 1 1) )搞搞清清概概念念，侧侧重重思思路路。 2 2) )适适当当做做题题

4、，掌掌握握基基本本。 3 3) )广广泛泛联联想想，多多方方应应用用。 2021/3/1110 （三）这个学期学什麽？（三）这个学期学什麽？ 一元函数微分一元函数微分 利用极限研究函数的种种表达及其诸多利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质性质 极限的直观定义与计算极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算导数与微分的概念与计算 微分学应用微分学应用 一元函数积分一元函数积分 不定积分不定积分 定积分概念与计算定积分概念与计算 积分学应用积分学应用 简单微分方程简单微分方程 2021/3/1111 第一讲第一讲 函数函数 一、予备知识一、予备知识 二、函数概念二、函数概念 三、函数的初等性

5、质三、函数的初等性质 四、复合函数与反函数四、复合函数与反函数 五、初等函数五、初等函数 2021/3/1112 一、予备知识一、予备知识 1. 常用的数的集合常用的数的集合 自然数集自然数集 有理数集有理数集 整数集整数集 实数集实数集 ,210nN， ,210nZ ， ,Q为为互互质质的的整整数数qp q p R是是实实数数xx ,CRyxiyx 复复数数集集 2021/3/1113 2. 邻域邻域 0, 0 Rx设设 0 x 0 x 0 x O x ),(),( 0000 xxxxxxN 000 xxxxx ).,( 0 00 xN xxxx 记记作作 邻邻域域的的称称为为点点数数集集

6、邻邻域域的的空空心心点点 称称为为数数集集 0 0 * 0 ),(0 x xNxxx ),( 000 xxx 2021/3/1114 逻逻辑辑符符号号. 3 ”）全全称称量量词词“（ 1 ”表示“任意的”。”表示“任意的”。“ 例如：例如：”“Rx ”。”。表示“对于任意的实数表示“对于任意的实数 x ”）存存在在量量词词“（ 2 ”表示“存在”。”表示“存在”。“ 例如：例如：）”（且且“b,acQc,ba,Qb,a .c b,a 有理数有理数 之间，存在之间，存在表示“任意两个有理数表示“任意两个有理数 2021/3/1115 二、函数概念二、函数概念 定义：定义： .RD为为非非空空数数

7、集集设设 . ).(, !, 上上的的一一个个函函数数在在 为为定定义义则则称称记记作作与与之之对对应应 实实数数按按确确定定的的规规则则如如果果 D fxfyy fDx RDf:或或记记 .,定定义义域域因因变变量量自自变变量量Dyx 存在存在 唯一唯一 值值域域),(,DxxfyRyy )(Df )( fR或或 2021/3/1116 函数的两个要素：函数的两个要素： 2.定义域定义域 D 1.对应规则对应规则 f x x yxy 2 : 与与例例 12)( 2 xxf例例： 表表示示对对应应规规则则 f 12)( 2 f 112)1( 2 f 1)12(2)12( 2 ttf 1) 1

8、(2) 1 ( 2 xx f 表表示示的的是是不不同同的的函函数数 定定义义域域不不同同， 2021/3/1117 三、函数的初等性质三、函数的初等性质 1. 函数的奇偶性函数的奇偶性 称称为为奇奇函函数数)(),()(,xfxfxfDx 称为偶函数称为偶函数)(),()(,xfxfxfDx 2. 函数的增减性函数的增减性 ) f,)x(f)xf )x(f)x(fxx,Ix,x （严严格格单单调调增增函函数数 为为单单调调增增函函数数称称）（ 21 212121 ( ) f),)x(f)x(f( )x(f)x(fxx,Ix,x 严严格格单单调调减减函函数数（ 为为单单调调减减函函数数称称 21

9、 212121 2021/3/1118 3. 函数的周期性函数的周期性 为为周周期期函函数数称称 f )x(f)Tx(fx,T R0 的的周周期期是是则则称称有有最最小小周周期期若若fTTf, 注意注意 并不是所有的函数都有最小周期并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数例如：考察狄里克雷函数 为无理数为无理数当当 为有理数为有理数当当 x x x , 0 , 1 )( 2021/3/1119 4. 函数的有界性函数的有界性 定义：定义： 使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)1(M ,M)x(f,Dx 都有都有每一个每一个 .上上是是有有上上界界的的在在则则称称函函数数

10、Df 使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)2(N N)x(f,Dx 都都有有每每一一个个 .上上是是有有下下界界的的在在则则称称函函数数Df 2021/3/1120 . ,)3( 数数有有界界函函 称称为为数数既既有有上上界界又又有有下下界界的的函函 使得对于使得对于即存在一个正数即存在一个正数, 0 M .)(,MxfDx 成成立立每每一一个个 例例),( xeyey xx 和和 00),( xx eex和和有有因因为为 ., ,),(, 无上界无上界有下界有下界 上上在在和和所以所以 xx eyey 2021/3/1121 问题问题 如何定义无界函数？如何定义无界函数？ .,)

11、( , 0 * * 上无界上无界在在则称函数则称函数使得使得 总存在总存在如果对任意的正数如果对任意的正数 DfMxf DxM 例例.), 0()0,( 1 上上是是无无界界的的在在 x y . ),(, 0 有界的有界的 上是上是在在对任意的对任意的 则则有有取取对对任任意意的的, 2 1 , 0 * M xM MM x xx 2 1 * 11 x 2021/3/1122 1 x 2 xxx )(xfy y o A B 凸凸的的（下下凸凸） 5.函数的凸性函数的凸性 2021/3/1123 y xo 1 x 2 xx 凹凹的的（上上凸凸） )(xfy A B 2021/3/1124 可表示为

12、如下形式：可表示为如下形式：xxxx, ),( 21 , 11 1 21 x k k x k x 可解出可解出 1,1,0 2121 且且其其中中 221121 ,),(xxxxxx 有有则则 )0(, 2 1 kk xx xx 记记 , 1 , 1 1 21 k k k 令令 2021/3/1125 弦线弦线AB的方程为的方程为 )( )()( )()( 1 12 12 1 xx xx xfxf xfxY )()( , ),( 2211 21 xxYxY xxx 有有 1 21 )()()( 2211 xfxfxY )( )()( )( 12211 12 12 1 xxx xx xfxf x

13、f 2021/3/1126 ., )()()( ., 1 )()()( , , .,:)( 22112211 2121 22112211 21 函函数数上上为为凹凹在在则则称称 如如果果 函函数数凸凸上上为为在在则则称称都都成成立立 和和的的任任意意非非负负实实数数对对于于满满足足 不不等等式式如如果果 设设函函数数 baf xfxfxxf baf xfxfxxf baxx Rbaxf （一）（一） 凸性定义：凸性定义： 2021/3/1127 四、四、 复合函数与反函数复合函数与反函数 定义：定义： 这这时时在在集集合合的的交交集集非非空空定定义义域域 的的与与的的值值域域并并且且 和和假假

14、定定给给了了两两个个函函数数 ,)( )(),( )( fD fgRgxgu ufy ,)()(),(上上且且fDxggDxxD . ),( 构构成成的的复复合合函函数数与与这这个个函函数数为为由由 则则称称可可以以确确定定一一个个函函数数 gf xgfy 1. 复合函数复合函数 2021/3/1128 例例,sin)(,)()1(xxgueufy u 则有则有 x exgf sin )( ),( x ,)(,)()2( 2 xxguuufy 则有则有 xxxgf 2 )(),( x gf 记记作作 )(:)(xgfxgf 即即 2021/3/1129 , 1)(,ln)()4( 2 xxgu

15、uufy 则有则有 ),1ln()( 2 xxgf )., 1()1,( x . 1)(,arcsin)()3( x exguuf 所以所以, 不能构成复合函数不能构成复合函数 ).(xgf ,1, 1)( fD), 1()( gR .)()( gRfD 因为因为 2021/3/1130 2. 反函数反函数 在函数定义中，要求函数是单值的，即在函数定义中，要求函数是单值的，即 )()( 2121 xfxfxx )()(, 2121 xfxfxx 不一定有不一定有但是但是 )()( 2121 xfxfxx 如如果果 之之间间就就有有如如下下关关系系与与值值域域则则在在定定义义域域)(DfD )(

16、,!),(xfyDxDfy 使使得得 .)( ,)( 的的反反函函数数 称称为为函函数数新新的的对对应应关关系系到到个个由由这这是是一一 xfy DDf )()( 1 Dfyyfx 记记作作 2021/3/1131 . )( 1 1 Dff Dff f 的的定定义义域域的的值值域域是是 ；的的值值域域 的的定定义义域域是是函函数数反反函函数数 由由定定义义可可以以知知道道： 2021/3/1132 例例2 xxfysin)( 设设 严严格格单单调调则则1, 1 2 , 2 : f 1, 1arcsin)( 1 yyyfx 有有反反函函数数 例例3), 0(),( x ey 是是严严格格单单调调

17、函函数数 习惯上习惯上, 记记), 0(ln xxy ), 0(ln)( 1 yyyfx 有有反反函函数数 2021/3/1133 五、五、 初等函数初等函数 基本初等函数基本初等函数 （2）幂函数）幂函数 （5）三角函数）三角函数 （3）指数函数）指数函数 （6）反三角函数）反三角函数 （4）对数函数）对数函数 （1）常量函数）常量函数 xy )0( aay x x ey )(常数常数cy xy a log xxy e log:ln e是无理数是无理数 xxxxcot,tan,cos,sin xarcxxxcot,arctan,arccos,arcsin 都是周期函数都是周期函数 2021/

18、3/1134 初等函数初等函数 基本初等函数经过基本初等函数经过有限次有限次的四则运算的四则运算 及复合运算所得到的函数及复合运算所得到的函数, 称为初等函数称为初等函数. 双曲函数双曲函数 双曲正弦双曲正弦)( 2 1 sinh xx eex 双曲余弦双曲余弦)( 2 1 cosh xx eex 双曲正切双曲正切 xx xx ee ee x x x cosh sinh tanh ),( x 2021/3/1135 反双曲正弦反双曲正弦)1ln(harcsin 2 xxx 反双曲余弦反双曲余弦)1ln(harccos 2 xxx 反双曲正切反双曲正切 x x x 1 1 ln 2 1 harctan ),( x ), 1 x )1, 1( x 2021/3/1136 非初等函数的例子非初等函数的例子 （1）符号函数）符号函数 . 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 sgn x x x xy O y x 1 1 xxxsgn 注意注意 2021/3/1137 （2）取整函数）取整函数 ), 1(:Zkkxkkxy 25 . 2 例如例如 35 . 2 O y x 1 1 234 2 3 1 2 3 1 2 3 注意注意 )(1Rxxxx 2021/3/1138 函数表示的其他分类：函数表示的其他分类： （1）显函数）显函数 （2）隐函数）隐函数 （3）参数式函数）参数式函