弹簧连接体专题

1、2021/6/161 纵观历年高考试题,和弹簧有关的物理 试题占有相当的比重,高考命题者常以弹簧 为载体设计出各类试题,这类试题涉及到静 力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守 恒问题、振动问题、功能关系问题,几乎贯 穿于整个力学知识体系,为了帮助同学们掌 握这类试题的分析方法,同时也想借助于弹 簧问题,将整个力学知识有机地结合起来,让 同学们对整个力学知识体系有完整的认识, 特将有关弹簧问题分类研究如下. 有关弹簧问题的专题复习有关弹簧问题的专题复习 2021/6/162 对于弹簧，从受力的角度看，弹簧上的弹力是变对于弹簧，从受力的角度看，弹簧上的弹力是变 力；从能量的角度看，弹簧是个储能元

2、件；因此，力；从能量的角度看，弹簧是个储能元件；因此， 关于弹簧的问题，能很好的考察学生的分析综合关于弹簧的问题，能很好的考察学生的分析综合 能力，备受高考命题专家的青睐。如能力，备受高考命题专家的青睐。如97全国高考全国高考 的的25题、题、2000年全国高考的年全国高考的22题、题、2003年江苏年江苏 卷的卷的20题、题、2004年广东卷的年广东卷的17题、题、2005年全国年全国 卷卷I I的的2424题等。题等。 类型：类型： 1、静力学中的弹簧问题。、静力学中的弹簧问题。 2、动力学中的弹簧问题。、动力学中的弹簧问题。 3、与动量和能量有关的弹簧问题。、与动量和能量有关的弹簧问题。

3、 2021/6/163 1、静力学中的弹簧问题、静力学中的弹簧问题 （1）单体问题。在水平地面上放一个竖直）单体问题。在水平地面上放一个竖直 轻弹簧，弹簧上端与一个质量为轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0kg的木的木 板相连。若在木板上再作用一个竖直向下的板相连。若在木板上再作用一个竖直向下的 力力F使木板缓慢向下移动使木板缓慢向下移动0.1米，力米，力F作功作功 2.5J,此时木板再次处于平衡，力此时木板再次处于平衡，力F的大小为的大小为 50N，如图所示，则木板下移，如图所示，则木板下移0.1米的过程中，米的过程中， 弹性势能增加了多少？弹性势能增加了多少？ F 2021/6/164 解：

4、由于木板压缩弹簧，木板克服弹力做解：由于木板压缩弹簧，木板克服弹力做 了多少功，弹簧的弹性势能就增加了多少了多少功，弹簧的弹性势能就增加了多少 即：即： （木板克服弹力做功，（木板克服弹力做功， 就是弹力对木块做负功），就是弹力对木块做负功）， EW 弹弹 依据动能定理：依据动能定理：0 kF EmgxWW 弹 弹性势能增加弹性势能增加4.5焦耳焦耳 点评：点评：弹力是变力，缓慢下移，弹力是变力，缓慢下移，F也是变力，也是变力， 所以弹力功所以弹力功 50JWFx 弹 W弹mgx-WF=-4.5J 2021/6/165 （2）连接题问题）连接题问题 【例1】如图所示，在一粗糙水平上有两个质如图

5、所示，在一粗糙水平上有两个质 量分别为量分别为m1和和m2的木块的木块1和和2，中间用一原，中间用一原 长为长为 、劲度系数为、劲度系数为k的轻弹簧连结起来，木的轻弹簧连结起来，木 块与地面间的动摩擦因数为块与地面间的动摩擦因数为 ，现用一水平，现用一水平 力向右拉木块力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时，当两木块一起匀速运动时 两木块之间的距离是两木块之间的距离是 （2001年湖北省卷）年湖北省卷） l 图44 gm k l 1 gmm k l)( 21 gm k l 2 g mm mm k l)( 21 21 A B C D A 2021/6/166 【例【例2】（】（2002年广东省高

6、考题）如图所示年广东省高考题）如图所示,a、b、 c为三个物块为三个物块,M、N为两个轻质弹簧为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定为跨过光滑定 滑轮的轻绳滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态它们均处于平衡状态.则则:（ ） A.有可能有可能N处于拉伸状态而处于拉伸状态而M处于压缩状态处于压缩状态 B.有可能有可能N处于压缩状态而处于压缩状态而M处于拉伸状态处于拉伸状态 C.有可能有可能N处于不伸不缩状态而处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态处于拉伸状态 D.有可能有可能N处于拉伸状态而处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态处于不伸不缩状态 AD 2021/6/167 A. B. C. D. 【例【例3】（】（199

7、9年全国高考题）如图所示年全国高考题）如图所示,两木两木 块的质量分别为块的质量分别为m1和和m2,两轻质弹簧的劲度两轻质弹簧的劲度 系数分别为系数分别为k1和和k2,上面木块压在上面的弹簧上面木块压在上面的弹簧 上（但不拴接）上（但不拴接）,整个系统处于平衡状态整个系统处于平衡状态.现缓现缓 慢向上提上面的木块慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧直到它刚离开上面弹簧. 在这过程中下面木块移动的距离为（在这过程中下面木块移动的距离为（ ） 1 1 k gm 1 2 k gm 2 1 k gm 2 2 k gm 2021/6/168 2、动力学中的弹簧问题。、动力学中的弹簧问题。 (1)瞬时

8、加速度问题瞬时加速度问题 【例【例4】一个轻弹簧一端】一个轻弹簧一端B固定固定,另一端另一端C与细绳的一与细绳的一 端共同拉住一个质量为端共同拉住一个质量为m的小球的小球,绳的另一端绳的另一端A也固也固 定定,如图所示如图所示,且且AC、BC与竖直方向夹角分别为与竖直方向夹角分别为,则则 A.烧断细绳瞬间烧断细绳瞬间,小球的加速度小球的加速度 B.烧断细绳瞬间烧断细绳瞬间,小球的加速度小球的加速度 C.在处弹簧与小球脱开瞬间在处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度小球的加速度 D.在处弹簧与小球脱开瞬间在处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度小球的加速度 2021/6/169 练习：质量相同的小球练习

9、：质量相同的小球A和和B系在质量不计系在质量不计 的弹簧两端，用细线悬挂起来，如图，在剪的弹簧两端，用细线悬挂起来，如图，在剪 断绳子的瞬间，断绳子的瞬间，A球的加速度为球的加速度为 ， B球的加速度为球的加速度为 。如果剪断弹簧呢？。如果剪断弹簧呢？ A B A B 剪断的瞬间，若弹簧两剪断的瞬间，若弹簧两 端有物体，则弹簧上的端有物体，则弹簧上的 弹力不发生变化，若一弹力不发生变化，若一 端有物体，则弹簧上的端有物体，则弹簧上的 弹力瞬间消失。弹力瞬间消失。 总结：总结： 2021/6/1610 （2005年全国理综年全国理综III卷）如图所示，在倾角卷）如图所示，在倾角 为的光滑斜面上有

10、两个用轻质弹簧相连接为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接 的物块的物块A、B，它们的质量分别为，它们的质量分别为mA、mB， 弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统为一固定挡板。系统 处一静止状态，现开始用一恒力处一静止状态，现开始用一恒力F沿斜面方沿斜面方 向拉物块向拉物块A使之向上运动，求物块使之向上运动，求物块B刚要离刚要离 开开C时物块时物块A的加速度的加速度a和从开始到此时物和从开始到此时物 块块A的位移的位移d，重力加速度为，重力加速度为g。 2021/6/1611 解：令解：令x1表示未加表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和时弹簧的压缩量，由胡克定律和 牛顿定

11、律可知牛顿定律可知 令令x2表示表示B刚要离开刚要离开C时弹簧的伸长量，时弹簧的伸长量， a表示此时表示此时 A的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知： kx2=mBgsin FmAgsinkx2=mAa 由由式可得式可得: 由题意由题意 d=x1+x2 由由式可得式可得 kxgmAsin A BA m gmmF a sin)( k gmm d BA sin)( 2021/6/1612 例：一根劲度系数为例：一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，质量不计的轻弹簧， 上端固定上端固定,下端系一质量为下端系一质量为m的物体的物体,有一水有一水 平板将物体托住平板将物体

12、托住,并使弹簧处于自然长度。如并使弹簧处于自然长度。如 图图7所示。现让木板由静止开始以加速度所示。现让木板由静止开始以加速度a(a g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板匀加速向下移动。求经过多长时间木板 开始与物体分离。开始与物体分离。 图图7 （2）连接体问题。）连接体问题。 2021/6/1613 分析与解：设物体与平板一起向下运动的分析与解：设物体与平板一起向下运动的 距离为距离为x时，物体受重力时，物体受重力mg，弹簧的弹力，弹簧的弹力 F=kx和平板的支持力和平板的支持力N作用。据牛顿第二作用。据牛顿第二 定律有：定律有： mgkxN=ma 得得:N=mgkxma 当当N=0时，

13、物体与平板分离，时，物体与平板分离， 所以此时所以此时: k agm x )( 2 2 1 atx ka agm t )(2 因为因为 ，所以，所以 图图7 2021/6/1614 总结：总结：对于面接触的物体，对于面接触的物体，在接触面间弹力变在接触面间弹力变 为零时为零时，它们将要分离。抓住相互接触物体分，它们将要分离。抓住相互接触物体分 离的这一条件，就可顺利解答相关问题。离的这一条件，就可顺利解答相关问题。 练习练习1：一弹簧秤的秤盘质量：一弹簧秤的秤盘质量m1=15kg，盘内放一，盘内放一 质量为质量为m2=105kg的物体的物体P，弹簧质量不计，其劲，弹簧质量不计，其劲 度系数为度

14、系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图，系统处于静止状态，如图9所所 示。现给示。现给P施加一个竖直向上的力施加一个竖直向上的力F，使，使P从静止开始从静止开始 向上做匀加速直线运动，已知在最初向上做匀加速直线运动，已知在最初02s内内F是变是变 化的，在化的，在02s后是恒定的，求后是恒定的，求F的最大值和最小值的最大值和最小值 各是多少？（各是多少？（g=10m/s2）F 图图9 2021/6/1615 思考：思考： 1 何时分离时？何时分离时？ 2分离时物体是否处于平衡态。弹簧是否处于原长？分离时物体是否处于平衡态。弹簧是否处于原长？ 3.如何求从开始到分离的位移？如何求从开始到

15、分离的位移？ 4.盘对物体的支持力如何变化。盘对物体的支持力如何变化。 5、要求从开始到分离力、要求从开始到分离力F做的功，需要知道哪些条件？做的功，需要知道哪些条件？ F 图图9 2021/6/1616 如图如图9所示，一劲度系数为所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端的轻弹簧两端 各焊接着两个质量均为各焊接着两个质量均为m=12kg的物体的物体A、B。物体。物体A、 B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向 上的力上的力F在上面物体在上面物体A上，使物体上，使物体A开始向上做匀加速开始向上做匀加速 运动，经运动，经0.4s物体物体B

16、刚要离开地面，设整个过程中弹刚要离开地面，设整个过程中弹 簧都处于弹性限度内，簧都处于弹性限度内，g=10m/s2 ， 求：（求：（1）此过程中所加外力）此过程中所加外力F的最大值和最小值。的最大值和最小值。 （2）此过程中外力）此过程中外力F所做的功。所做的功。 A B F 图图 9 2021/6/1617 解：解：(1)A原来静止时：原来静止时：kx1=mg 当物体当物体A开始做匀加速运动时，拉力开始做匀加速运动时，拉力F最小，最小， 设为设为F1，对物体，对物体A有：有：F1kx1mg=ma 当物体当物体B刚要离开地面时，拉力刚要离开地面时，拉力F最大，最大， 设为设为F2，对物体，对物

17、体A有：有：F2kx2mg=ma 对物体对物体B有：有：kx2=mg 对物体对物体A有：有：x1x2 2 2 1 at 由由、两式解得两式解得 a=3.75m/s2 ， 分别由分别由、得得F145N，F2285N A B F 图图 9 2021/6/1618 (2)在力在力F作用的作用的0.4s内，初末状态的弹性势能内，初末状态的弹性势能 相等，由功能关系得：相等，由功能关系得： WF=mg(x1x2)+ 49.5J 2 )( 2 1 atm 思考：若思考：若A、B的质量不相等，的质量不相等， 求此过程中外力求此过程中外力F所做的功，所做的功， 还需要知道哪些条件？还需要知道哪些条件？ A B

18、 F 图图 9 2021/6/1619 练习练习2： A、B两木块叠放在竖直的轻弹簧上，两木块叠放在竖直的轻弹簧上， 如图如图3（a）所示。已知木块）所示。已知木块A、B的质量，轻弹的质量，轻弹 簧的劲度系数簧的劲度系数k=100N/m，若在木块，若在木块A上作用一上作用一 个竖直向上的力个竖直向上的力F，使，使A由静止开始以的加速度由静止开始以的加速度 竖直向上作匀加速运动（竖直向上作匀加速运动（g取取10m/s2） （1）使木块）使木块A竖直向上做匀加速运动的过程中，竖直向上做匀加速运动的过程中， 力力F的最小值和最大值各为多少？的最小值和最大值各为多少？ （2）若木块由静止开始做匀加速运

19、动）若木块由静止开始做匀加速运动 直到直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能分离的过程中，弹簧的弹性势能 减小减小0.248J，求力，求力F做的功。做的功。 F A B 2021/6/1620 例例1：如图：如图34，木块用轻弹簧连接，放在光，木块用轻弹簧连接，放在光 滑的水平面上，紧靠墙壁，在木块上施加向滑的水平面上，紧靠墙壁，在木块上施加向 左的水平力，使弹簧压缩，当撤去外力后；左的水平力，使弹簧压缩，当撤去外力后； .尚未离开墙壁前，弹簧和的机械能守恒；尚未离开墙壁前，弹簧和的机械能守恒； .尚未离开墙壁前，系统的动量守恒；尚未离开墙壁前，系统的动量守恒； .离开墙壁后，系统动量守恒；离

20、开墙壁后，系统动量守恒； .离开墙壁后，系统机械能守恒。离开墙壁后，系统机械能守恒。 图图34 思考：若力思考：若力F压缩弹簧做压缩弹簧做 的功为的功为E，mB=2mA 求弹簧最大的弹性势能？求弹簧最大的弹性势能？2 3 E 3：与动量能量相关的弹簧问题。：与动量能量相关的弹簧问题。 2021/6/1621 例例2：如图所示，小球从：如图所示，小球从a处由静止自由下落，处由静止自由下落， 到到b点时与弹簧接触，到点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最点时弹簧被压缩到最 短，若不计弹簧的质量和空气阻力，在小球由短，若不计弹簧的质量和空气阻力，在小球由 abc运动过程中运动过程中( ) A小球的机

21、械能守恒小球的机械能守恒 B.小球在小球在b点时的动能最大点时的动能最大 C到到C点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性 势能的增加量势能的增加量 D.小球在小球在C点的加速度最大，大小为点的加速度最大，大小为g E.从从a到到c的过程，重力冲量的大小等于的过程，重力冲量的大小等于 弹簧弹力冲量的大小。弹簧弹力冲量的大小。 C E 2021/6/1622 拓展：一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在拓展：一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在 某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩 擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低擦力

22、，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低 点的一段运动过程中点的一段运动过程中( ) （A）升降机的速度不断减小）升降机的速度不断减小 （B）升降机的加速度不断变大）升降机的加速度不断变大 （C）先是弹力做的负功小于重力做的正功，）先是弹力做的负功小于重力做的正功， 然后是弹力做的负功大于重力做的正功然后是弹力做的负功大于重力做的正功 （D）到最低点时，升降机加速度的值一定大）到最低点时，升降机加速度的值一定大 于重力加速度的值。于重力加速度的值。 CD 2021/6/1623 例例3：如图所示，物体：如图所示，物体B和物体和物体C用劲度系数用劲度系数 为为k的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上，

23、的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上， 此时弹簧的势能为此时弹簧的势能为E。这时一个物体。这时一个物体A从物体从物体 B的正上方由静止释放，下落后与物体的正上方由静止释放，下落后与物体B碰撞，碰撞， 碰撞后碰撞后A与与B立刻一起向下运动，但立刻一起向下运动，但A、B之间之间 并不粘连。已知物体并不粘连。已知物体A、B、C的质量均为的质量均为M， 重力加速度为重力加速度为g，忽略空气阻力。求当物体，忽略空气阻力。求当物体A 从距从距B多大的高度自由落下时，才能使物体多大的高度自由落下时，才能使物体C 恰好离开水平地面？恰好离开水平地面？ B C A 2021/6/1624 解：设物体解：设物体A

24、从距从距B的高度的高度H处自由落下，处自由落下，A与与B碰撞前碰撞前 的速度为的速度为v1，由机械能守恒定律得，由机械能守恒定律得 v1= gH2 设设A、B碰撞后共同速度为碰撞后共同速度为v2，则由动量守恒定律得：，则由动量守恒定律得： Mv12Mv2，解得，解得: v2 2 gH 当当C刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为 x=Mg/k，由于对称性，所以弹簧的弹性势能仍为，由于对称性，所以弹簧的弹性势能仍为E。 当弹簧恢复原长时当弹簧恢复原长时A、B分离，设此时分离，设此时A、B的速度为的速度为v3， 则对则对A、B一起运动的过程中一起运动的过程

25、中 2021/6/1625 由机械能守恒得：由机械能守恒得：EMvMgxMv 2 2 2 3 2 2 1 22 2 1 从从A、B分离后到物体分离后到物体C刚好离开地面的过程中，刚好离开地面的过程中， 物体物体B和弹簧组成的系统机械能守恒，和弹簧组成的系统机械能守恒， MgxEMv 2 3 2 1 联立以上方程解得：联立以上方程解得： Mg E k Mg H 28 点评点评（1）“刚好刚好”含义的理解。含义的理解。 （2）物理过程的分析。）物理过程的分析。 （3）状态的选取。）状态的选取。 即即: 2021/6/1626 （2005年全国理综年全国理综II卷）如图，质量为的物体卷）如图，质量为

26、的物体A经一经一 轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹相连，弹 簧的劲度系数为簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不都处于静止状态。一条不 可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端，另一端 连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上上 方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的 物体物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开离开 地面但不继续上升。若将地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物换成另一个质量为的物 体体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次 B刚离地时刚离地时D的速度的大小是多少？的速度的大小是多少？ 已知重力加速度为已知重力加速度为g。 2021/6/1627 解：开始时，解：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为静止，设弹簧压缩量为x1，有，有kx