向量在几何中的应用

1、唐山师范学院本科毕业论文题 目 向量在解析几何中的应用学 生 张红阳 指导教师 孟令江 副教授年 级 10数本2班专 业 数学与应用数学系 别 数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳 2014 年 4 月 31 日目 录标题1中文摘要11引言12 预备知识12.1 向量的概念12.2 向量的运算12.2.1向量的加法12

2、.2.2向量的减法12.2.3数量乘向量12.2.4两向量的数量积12.2.5两向量的向量积22.2.6三向量的混合积22.2.7法向量的有关概念22.2.8线性相关定义23 向量在立体几何中的应用23.1向量在立体几何中的证明2 3.1.1向量在立体几何中的简单证明2 3.1.2证明两直线平行3 3.1.3证明线面平行4 3.1.4证明面面平行6 3.1.5证明两直线垂直7 3.1.6证明线面垂直8 3.1.7证明面面垂直93.2向量在几何中的计算10 3.2.1距离10 3.2.1.1两点间的距离10 3.2.1.2点到直线的距离11 3.2.1.3点面距离11 3.2.1.4异面直线的距

3、离12 3.2.2夹角12 3.2.2.1两异面直线的夹角12 3.2.2.2线面角13 3.2.2.3二面角14 3.2.3求面积16 3.2.4求体积17参考文献：18致 谢19外文页20 向量在解析几何中的应用张红阳 摘 要 本文研究向量在解析几何中的应用，其中有证明和计算。通过用空间向量解决立体几何中的这些问题，揭示了向量在向量在解析几何中的重要作用，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，使解题变得简单化、程序化。 关键字 向量 立体几何 平行 垂直 1引言向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。它具有丰富的实际背景和广泛的应用。特别对于它解决几何的

4、有关问题时更能体现数学的简易美。向量的引入给数学的解题注入了新的活力，尤其是空间向量的引入对立体几何的解题可谓是革命性的。在空间直角坐标系中，立体几何里的线面平行、垂直论证、角度、距离的计算等问题的解决，都与向量有着密切的关系。 2 预备知识2.1 向量的概念定义1: 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢。 定义2: 空间或平面的有向线段叫做矢量或向量。 2.2 向量的运算2.2.1向量的加法设已知向量,空间任意一点为十点接连作向量=,=,得一折线的端点，到另一端点的向量=,叫做两向量与的和，记作=+。2.2.2向量的减法当向量与向量的和等于向量,即=-,由两向量与求它们的差-的运算

5、叫做向量减法。2.2.3数量乘向量实数与向量的乘积是一个向量，记作，它的模是；的方向，当时与的方向相同,当时与的方向相反。我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。2.2.4两向量的数量积两向量和的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量向量的数量积（也称内积），叫做或，即 2.2.5两向量的向量积 与的向量积（也称外积）是一个向量，记作或者，它的模是 , 它的方向与和都垂直。2.2.6三向量的混合积给定空间的三个向量，如果先作前两个向量与的向量积，再作所得的向量与第三个向量的数量积，最后得到的这个数叫做三向量，的混合积，记作或或。2.2.7法向量的有关概念如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向

6、量是平面的一个法向量。2.2.8线性相关定义对于n（n1）个向量，,如果存在不全为0的n个数，使得+=，那么n个向量，,叫做线性相关。 3 向量在立体几何中的应用 3.1向量在立体几何中的证明 3.1.1向量在立体几何中的简单证明例1 设互不共线的三向量,与,试证明顺次将它们的始点与终点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量。证明：必要性 设三个向量,可以构成三角形ABC，即有=，=,=,(下图)， 那么+=，即+=。BAC 充分性 设+=，作=，=，那么=+,所以+=，从而是 的反向量，因此=，所以，可构成一个三角形。例2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明：设四

7、边形的对角线,交于点且互相平分（下图），从图可以看出： , 因此，/且|=|，即四边形ABCD为平行四边形。BCAOD 3.1.2证明两直线平行两直线平行即两直线共线。两向量共线的充要条件是它们线性相关。例3 设，试证三点共线的充要条件是存在不全为零的实数 使O证明：如上图， 设三点共线，即共线，所以存在不全为零的数使 ,即。由此得 因为不全为零，所以不全为零，且 令，且。 反过来，设有不全为零的数，使 则 因为， 即 整理得 即 因为不全为零，所以必不全为零。 所以三点共线。例4 已知直线平面，直线平面，为垂足，求证：.OBDA方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向

8、量平行.证明：如上图，以点O为原点，以射线OA为z轴，建立空间直角坐标系，为沿 x 轴，y轴，z轴的坐标向量，且设， ， ， ， ，又，且为两个不同的点， .3.1.3证明线面平行1、 已知面外的直线的方向向量为，是平面的一组基底（不共线的向量），若。2、 已知面外的直线的方向向量为，平面的法向量是，则若。例5 如下图,正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直,分别是对角线上的一点,且,求证.zyxPEBCQFDA思路：把,作为平面的一组基底，将用,线性表示。证明：设， ， ， 法一： 法二：以为原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系，设正方 形的边长为1,则， 即3.1.4证明面面平行 （1）利

9、用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得； （2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.例6 在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面中,是的中点，且面，为的中点，求证：面面证明：以B点为原点，如图建立坐标系，设，则 yxDBCAz 法一： 法二： 设面的法向量， ，即，解得，令，则 设面的法向量， ，即，解得，令，则 ， 面面 3.1.5证明两直线垂直 不重合的直线和直线的方向向量分别为和，则有ADHEPCBzyx例7 如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,，垂足为，是四棱锥的高 ，为中点.证明：证明：以为原点， 分别为轴， 线段的长为单位长，

10、 建立空间直角坐标系如图， 则，, 设, 则. 可得， ， . 3.1.6证明线面垂直方法一：直线的方向向量为，平面的法向量为，则有.方法二：直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”即可。例8 如图，正方体中，是中点，是底面中心，zyxCEODBA求证：.证明：以为原点，以所在直线为轴，设正方体的棱长为2，则 ,所以 设平面的法向量为，则 ，即，解得。 令（为任意常数），所以 即 也就证明了例9 长方体中，分别是棱上的点，,zyxFEDCBA.证明. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐

11、标原点，设,依题意得 已知 于是 因此 所以 3.1.7证明面面垂直1、不重合的平面与的法向量分别为，则有.2、面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例10 在正方体中，分别是，的中点，yxzFEDCBA（1）求证：；(2)证明平面平面分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，（1）中“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题.（2）中，找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.证明：建立空间直角坐标系如图，并设，

12、则,. (1), , (2) ,， 由（1）知， 又， ， 3.2向量在几何中的计算 3.2.1距离 3.2.1.1两点间的距离 两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点，则两点间的距离例1 在三棱锥中，面面，yxzSCBA,，求的长.解：如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，则 ,， 所以 3.2.1.2点到直线的距离 如图,求得向量在向量的射影长为,则点到直线的距离等于.BAP例2 设为矩形所在平面外的一点， 求点到直线的距离.解：以为原点，所在直线为轴，则 ,则 则在上的射影长,又. PDCAB 所以点到直线的

13、距离 。 3.2.1.3点面距离任取一点得,是平面的法向量，则有：点P到平面的距离（向量在法向量的射影的长度）。例3 求点到平面的距离。解：取平面上一点，则， 平面的法向量， 则点到平面的距离 。 3.2.1.4异面直线的距离 知，是两异面直线，的方向向量为,的方向向量为，则两异面直线的距离。例4 正方体,棱长为1，求异面直线的距离。zyxDCBA解：以为原点，为轴，则 ,所以, 设上有一点，则，显然即，令， 则,同理，求得上一点，则 异面直线的距离 3.2.2夹角 3.2.2.1两异面直线的夹角 ，是两异面直线，所成的角为，则有.例5 已知正四棱锥的侧棱与底面边长都相等,是的中点，则所成角的

14、余弦值是多少？zyxDCBAS解：连接，以为原点，所在直线为轴，以方向为轴，设正四棱 锥的棱长都是2，则 ,则 则 . 3.2.2.2线面角 设平面的斜线与面所成的角为，若是面的法向量，则有.例6 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，,侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心.求与平面所成角的大小（结果用余弦值表示）；解：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设，则 ，, ， ，GDDA1C1B1CBKxyzAE ， 为平面的法向量，且. 与平面所成角的余弦值是. 3.2.2.3求二面角方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向)，则若二面角是“锐角型”，那么其大小等于两法

15、向量的夹角，即.若二面角是“钝角型”，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即.方法二：如下图，在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量，则二面角的大小等于向量的夹角，即 .例7 在长方体中，,点是的中点，求此时二面角的大小。O（A）BA1C1B1D1DCQzyx解：如图所示，建立空间直角坐标系， 依题意： ， 面的法向量， 设面的法向量， 则 ， 令，则， ， 二面角的平面角为锐角， 二面角的大小为。 法二：过作的垂线，交于，过作的垂线，交于, ，则 同理，求得 , 二面角的大小为。 3.2.3求面积 由于平行四边形面积，所以三角形的面积是平行四边形的面积的一半。.特别地当三点

16、均在面上，且坐标为，时（=1或-1，保证面积取正值）。例8 已知空间三点, (1）试求.(2）求三角形的AB边上的高.DBAC解:(1) ， . (2)设边上的高为， ， , 又 , . 3.2.4求体积 三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，。四面体的体积等于以为棱的平行六面体体积的六分之一，即。例9 已知空间四点的坐标求四面体的体积及到平面的距离。解 ， 由初等几何知识，四面体的体积等于以为棱的平行六面体的体积的 ,则 . 设点到平面的距离为，那么四面体的体积 则.且 参考文献： 1 赵建文. 向量在立体几何中的应用J.2010 2 刘八芝 .向量在中学数学教学中的应

17、用J.2002.12.05 3 溧阳市埭头中学.法向量在立体几何中的应用J. 4 宋世雄.向量几何证明中的运用技巧J.2009.6 5 胡清林主编.解析几何学M.电子科技大学出版社，2002.8 6 朱鼎勋，陈绍菱著.空间解析几何学M.北京师范大学出版社，1984.4 7 杨村斌，孙久茀编著.解析几何M.北京师范大学出版社，1987.11 8 吕林根，许子道编著.解析几何M.高等教育出版社，2006.5 致 谢本论文的研究工作是在孟令江老师的精心指导和帮助下完成的.无论是论文题目的选择还是论文的结构框架与文字推敲,孟老师始终都给予细心的指导,提出了宝贵的意见.这些都使得本人深受启发、受益匪浅.

18、在这个过程中孟老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度,踏踏实实的精神对我影响深远.使我学到了扎实、宽广的专业知识,树立了远大的学术目标,掌握了基本的研究方法.在此我要向孟老师致以衷心的感谢和深深的谢意.本论文的顺利完成,离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在此,向所有关心和帮助过我的老师、同学和朋友表示由衷的谢意.最后,衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、老师. Application of Vector in GeometryZhang Hongyang Directed by Meng LingjiangAbstract Analytic geometry method is

19、 used to study geometric algebraicmethod，In order to make the algebra and arithmetic to geometry, the fundamentalapproach is to try to put the algebraic geometry of space systems,quantitative.The introduction of vector and its computation, and coordinate system is established by vector, which is the foundation of analytic geometry.By using t