圆周运动的多解问题与竖直面的圆周运动

1、圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动一解答题（共 6 小题）1 （ 2015 ?宿迁模拟）如图所示，绳长为 I 的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时 轻绳拉直， 0A 在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面做圆周运动求 （1 ）小球运动到最低点 B 时的速度大小；（ 2 ）小球运动到最低点 B 时，绳子对小球的拉力大小；（3 ）假设在 O 点正下方 C 处有一铁钉，小球运动到最低点 B 时，绳子被铁钉挡住，欲使 小球绕铁钉 C 能在竖直面做完整的圆周运动，求 0C 距离的最小值2（ 2015 ?眉山模拟）根据公式 F 向 =m 和 F 向=mr 2，某同学设计了一个实验来感受向

2、心 力如图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体 40cm 处 标为点 A，80cm 处标为点 B 将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使 小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时操作一：手握 A 点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1操作二：手握 B 点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2操作三：手握 B 点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3（1 ）小物体做匀速圆周运动的向心力由提供；（2 ）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的相同；（3 ）如果在上

3、述操作中突然松手，小物体将做运动3（2015 ?一模）如图所示， 用一根长为 l=1m 的细线， 一端系一质量为 m=1kg 的小球（可 视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角=37 ，当小球在水平2 面绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的力为 T（g取 10m/s 2，结果可用 根式表示）求：（1 ）若要小球离开锥面，则小球的角速度0 至少为多大？（2 ）若细线与竖直方向的夹角为 60 ，则小球的角速度 为多大？4（2015 春 ?校级月考）如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体 A放在转盘上， A 到竖直筒中心的距离为 r ，物体 A 通过

4、轻绳、无摩擦的滑轮与物体 B 相连， B与 A质量相同，物体 A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的 倍，则转盘转动的角速度 在什么围，物体 A 才能随盘转动5（2014 ?模拟）如图所示，质量分别为M 和 m 的两个小球 A 、B 套在光滑水平直杆 P上，整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为K ，自然长度为 L的轻质弹簧连接在一起，左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L ，现欲使横杆 P 随竖直转轴一起在水平面匀速转动，其角速度为 ，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉 力和弹簧的总长度各为多少？6（ 2014 ?象山县校级模拟）如图所示，把一个质量m=1.0kg 的物体

5、通过两根等长的细绳与竖直杆上的 A 、B 两个固定点相连接绳 a、b 长都是 1.0m ，AB 长 1.6m 求： （1 ）直杆和球旋转的角速度等于多少时， b 绳上才有作用力？（2 ）当转速等于最低转速的 2 倍时，a、b 绳上的力各是多少？圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动参考答案与试题解析一解答题（共 6 小题）1 （ 2015 ?宿迁模拟）如图所示，绳长为 I 的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时 轻绳拉直， 0A 在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面做圆周运动求 （1 ）小球运动到最低点 B 时的速度大小；（ 2 ）小球运动到最低点 B 时，绳子对小球的拉力大小；

6、（3 ）假设在 O 点正下方 C 处有一铁钉，小球运动到最低点 B 时，绳子被铁钉挡住，欲使 小球绕铁钉 C 能在竖直面做完整的圆周运动，求 0C 距离的最小值考点 ：向 心力专题 ：匀速圆周运动专题分析：（ 1 ）根据动能定理或机械能守恒求小球运动到最低点时的速度大小；（ 2 ）小球在最低点时所受重力和绳的拉力合力提供向心力，由牛顿第二定律求解绳 子对小球的拉力大小；（ 3 ）根据小球运动到最高点的临界条件由机械能守恒或动能定理求得小球圆周运动 的半径大小，再根据半径大小确定 OC 距离的大小解答：解 ：（1）小球从 A 到 B 的过程中，只有重力对小球做功，根据动能定理有：可得小球到达 B

7、 点时的速度大小（ 2 ）小球在最低点时，绳的拉力和重力的合力提供圆周运动的向心力有：可得（ 3）令小球碰到钉子后做圆周运动的半径为R，则小球能通过最高点时重力恰好提供圆周运动向心力有：mg=可得 v小球从 A 开始到圆周运动最高点时只有重力对小球做功，根据动能定理有：mg （L2R ）= 代入可解得 R= 所以 OC 间的最小距离为 x=L R= 答：（ 1）小球运动到最低点 B 时的速度大小为；（ 2 ）小球运动到最低点 B 时，绳子对小球的拉力大小为 3mg ；（ 3 ）假设在 O 点正下方 C 处有一铁钉，小球运动到最低点 B 时，绳子被铁钉挡住， 欲使小球绕铁钉 C 能在竖直面做完整

8、的圆周运动， 0C 距离的最小值为点评：小 球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律 即可正确解题；解题时要注意，小球恰好到达最高点时，重力提供向心力2（ 2015 ?眉山模拟）根据公式 F 向 =m 和 F 向=mr 2，某同学设计了一个实验来感受向心 力如图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体 40cm 处 标为点 A，80cm 处标为点 B 将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使 小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时操作一：手握 A 点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1操作

9、二：手握 B 点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2操作三：手握 B 点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3（1 ）小物体做匀速圆周运动的向心力由绳子拉力 提供；（2 ）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期（或角速度、转速） 相同；（3 ）如果在上述操作中突然松手，小物体将做匀速直线 运动考点 ：向 心力专题 ：匀速圆周运动专题分析：（ 1 ）匀速圆周运动的向心力是合外力提供向心力，通过分析受力即知（ 2 ）根据向心力公式 F=m 2r，采用控制变量法，结合牛顿第二定律进行求解（ 3 ）突然松手，小物体将做离心运动，结合物体

10、的受力情况，分析其运动情况 解答：解 ：（1 ）小物体做匀速圆周运动时，竖直方向受到重力与支持力，二力平衡，向心力 由绳子拉力提供（ 2 ）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期（或角速度、转速）相同（ 3 ）在上述操作中突然松手，绳子的拉力突然消失，小物体将做匀速直线运动 故答案为： （ 1 ）绳子拉力 （ 2 ）周期（或角速度、转速） （ 3）匀速直线 点评：本题关键选择向心力公式的恰当形式结合题意讨论，并掌握牛顿第二定律的应用，及 控制变量法的思想3（2015 ?一模）如图所示， 用一根长为 l=1m 的细线， 一端系一质量为 m=1kg 的小球（可 视为质点），另一端固定在一光

11、滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角=37 ，当小球在水平面绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的力为 T（g取 10m/s 2，结果可用 根式表示）求：（1 ）若要小球离开锥面，则小球的角速度0 至少为多大？（2 ）若细线与竖直方向的夹角为 60 ，则小球的角速度 为多大？考点 ：向 心力 专题 ：匀速圆周运动专题分析：（ 1 ）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度 0 （ 2 ）若细线与竖直方向的夹角为 60 时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力 提供向心力，运用牛顿第二定律求解解答：解：（ 1 ）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力

12、如图所示小球做匀速 圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平 在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan =m lsin 解得： =，即 0= rad/s （ 2 ）同理，当细线与竖直方向成 60 角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：mgtan =m 2lsin 解得： 2= ，即 =2 rad/s 答：（ 1 ）小球的角速度 0 至少为 rad/s （ 2）小球的角速度 为 =2 rad/s 点评：本 题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解4（2015 春 ?校级月考）如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体 A放在转盘上， A 到竖直

13、筒中心的距离为 r ，物体 A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体 B 相连， B 与 A 质量相同，物体 A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的倍，则转盘转动的角速度在什么围，物体 A 才能随盘转动考点 ：向心力；牛顿第二定律专题 ：牛顿第二定律在圆周运动中的应用分析：取 物体 A 为研究对象，物体 A 随转盘转动的向心力应由绳的拉力和摩擦力提供，摩 擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，绳的拉力 F 总等于 B 物体的重力 mg 根据牛顿第二定律即可解题解答：解：由于 A 在圆盘上随盘做匀速圆周运动， 所以它受的合外力必然指向圆心， 而其中 重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以 A 所受的

14、摩擦力的方向一定沿着半径，或指向圆心，或背离圆心当 A 将要沿盘向外滑时， A 所受的最大静摩擦力指向圆心， A 受力分析如图（甲）所 示，A 的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即：2F+F m=m 1 r 由于 B 静止，故： F=mg ； 由于最大静摩擦力是压力的 倍，即：Fm=FN=mg 由 、 、 解得： 1=当 A 将要沿盘向圆心滑时， A 所受的最大静摩擦力沿半径向外， A 受力分析如图 （乙） 所示，这时向心力为：FFm =m 2 r由 解得 2=则转盘转动的角速度的围是 答：转盘转动的角速度 ，物体 A 才能随盘转动点评：该题要注意摩擦力摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可

15、能背离圆心，再根据牛顿第 二定律解题5（2014 ?模拟）如图所示，质量分别为 M 和 m 的两个小球 A 、B 套在光滑水平直杆 P 上，整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为K ，自然长度为 L的轻质弹簧连接在一起，左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L ，现欲使横杆 P 随竖直转轴一起在水平面匀速转动，其角速度为 ，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉 力和弹簧的总长度各为多少？考点 ：向心力；胡克定律 专题 ：匀速圆周运动专题分析：横杆 P随竖直转轴在水平面匀速转动， B 球靠弹簧的弹力提供向心力， A 靠拉力和弹 簧的弹力的合力提供向心力， 结合牛顿第二定律和胡

16、克定律求出细绳的拉力大小和弹 簧的总长度解答：解 ：设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为 x ，2对 A 球有： FTF=M 2L2对 B 球有： F=m 2 （2L+x ）F=Kx解以上方程组可得：则弹簧的总长为： 答：当弹簧长度稳定后，细绳的拉力为，弹簧的总长度为 点评：解 决本题的关键搞清向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解6（ 2014 ?象山县校级模拟）如图所示，把一个质量m=1.0kg 的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上的 A 、B 两个固定点相连接绳 a、b 长都是 1.0m ，AB 长 1.6m 求： （1 ）直杆和球旋转的角速度等于多少时，b 绳上才有作用力？（2 ）当转速等于最

17、低转速的 2 倍时，a、b 绳上的力各是多少？考点 ：向 心力专题 ：匀速圆周运动专题分析：（ 1 ）当 b 绳刚好伸直还无力时的角速度为球旋转的最小角速度此时小球靠重力和 a 绳的拉力的合力提供向心力， 结合牛顿第二定律和几何关系求出最小的角速度大小 （ 2 ）对小球分析，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力求出 两根绳子的拉力大小解答：解：抓住临界条件，当 b 绳刚好伸直还无力时的角速度为球旋转的最小角速度 已知 a 、b 绳长均为 1m ，如图所示， 即 AC=BC=1m ， AO=0.8m ， 在 AOC 中， cos=0.8 得 sin =0.6 ，=37 小球做圆周运动的轨道半径 r=OC=AC ?sin =1 0.6m=0.6mb 绳被拉直但无力时，小