含参不等式的解法举例精编版

1、最新资料推荐含参不等式专题（淮阳中学）编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母， 则称这一不等式为含参数的不等式， 那么此 时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解， 首先是对不等式的类型 （即 是那一种不等式） 的影响， 其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。 我们必 须通过分类讨论才可解决上述两个问题， 同时还要注意是参数的选取确定了不等 式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。 解参数不等式一直是高考所考查 的重点内容， 也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。 下面举例 说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法， 在具体问题里面， 按分类的需要有讨论如下 四种情

2、况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（ 4）根的大小。一、含参数的一元二次不等式的解法： 1二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0 ）例 1、解关于 x的不等式 x2 （a 1）x a 0 。解： （x2 a）（x 1） 0令 （x a）（x 1） 0 x a,x 1 为方程的两个根（因为 a与 1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当 a 1时，不等式的解集为 x|x 1或x a（2）当 a 1时，不等式的解集为 x|x a或x 1（3）当 a 1时，不等式的解集为 x|x 1综上所述：（1）当 a 1时，不等式的解集为 x|x 1或x a（2）当 a 1

3、时，不等式的解集为 x|x a或x 1（3）当 a 1时，不等式的解集为 x|x 1变题 1、解不等式 x2 （a 1）x a 0 ；2、解不等式 x2 （a2 a）x a3 0 。最新资料推荐小结：讨论两个根的大小关系， 尤其是变题 2 中 2 个根都有参数的要加强讨例 2、解关于 x 的不等式 2x2 kx k 0分析 此不等式为含参数 k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别 式的值也不同，故应先从讨论判别式入手 .解 k 2 8k k(k 8)k k(k 8)4(1) 当 0,既k 8或k 0时,方程 2x2 kx k 0有两个不相等的实根。 所以不等式 2x2 kx k 0的

4、解集是 ：k k(k 8)4(2) 当 0即k 8或k 0时,方程 2x kx k 0 有两个相等的实根，所以不等式 2x2 kx k 0的解集是 k ，即 2，0 ；(3) 当 0,即 8 k 0时,方程 2x2 kx k 0无实根所以不等式 2x2 kx k 0的 解集为 。说明：一元二次方程、 一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要 注意数形结合研究问题。小结：讨论 ，即讨论方程根的情况。2二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0 )例 3、解关于 x 的不等式： ax2 (a 1)x 1 0.解：若 a 0 ，原不等式

5、x 1 0 x 1.11若a 0，原不等式 (x )(x 1) 0 x 或 x 1. aa1若 a 0 ，原不等式 (x )(x 1) 0. ( )a其解的情况应由 1 与 1 的大小关系决定，故a最新资料推荐(1)当a 1时，式( )的解集为 ；1(2)当a 1时，式( )1 x 1；a( 3)当 0 a 1 时，式 ( ) 1 x 1 .a1综上所述，当 a 0时，解集为 xx 1 或x 1 ； a当 a 0 时，解集为 xx 1 ；当 0 a 1时，解集为 x1x 1a ；a当a 1时，解集为 ；当 a 1时，解集为 x 1 x 1. a例 4、解关于 x 的不等式：ax2 ax 1 0

6、.解： ax2 ax 1 0.()1) a 0时， ( )10 x R.4a 0 a 0 或 a 4，此时两根为 x1aa24aaa24aaa4a ， x2a2aa4a2a当 a 0 时， 0， ( ) a a 4a x2aa a2 4a ；2a当 4 a 0时， 0， ( ) x R ；当 a 4时，10， ( ) x R且x12 ；当 a 4时，a a2 4a 2aa a a 0时，则a2 4a0， ( ) x a a 4a 或2a综上，可知当 a0 时，解集为 (a a2 4a a a2 4a )；2a2a当 4 a 0时，解集为 R；1当a 4时，解集为 (, 21) (12, );最

7、新资料推荐当 a 4 时，解集为 ( , a 2aa 4a ) (a a2 4a2a例 5、 解关于的 x 不等式 (m 1)x2 4x 1 0(m R)分析：当m+1=0时,它是一个关于 x的一元一次不等式； 当m+1 1时，还需 对 m+10 及 m+10 来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论： 当 m0，图象开口向下，与 x 轴有两个不同交点，不 等式的解集取两边。当 1m0, 图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当 m=3 时， =4（3m）=0，图 象开口向上，与 x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程 4x2 4x 1 0 的根。 当 m3

8、时， =4（3m）3 时 , 原不等式的解集为 。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解， 若不易分解， 也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向， 判别式 确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值（如取 0、取正值、取负值） 对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于 x 的不等式 ax2 2（a 1）x 4 0,（a 0） 思路点拨：先将左边分解因式， 找出两根， 然后就两根的大小关系写出解集 具体解答请同学们自己完成。最新资料推荐ax1 中的 a 进行当 a 21时,原不等式的解集为1x| 1 x或x 2 ；a、含参数的分式不等式的解法：例 1： 解关于 x 的

9、不等式 2ax 1 0x2 x 2分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对 分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于 (ax 1)(x 2)(x 1) 0当a=0 时，原不等式等价于 (x 2)(x 1) 0解得 1 x 2，此时原不等式得解集为 x| 1 x 2；1当a0 时, 原不等式等价于 (x 1)(x 2)(x 1) 0,a则：当a 1时,原不等式的解集为 x|x 1且x 2 ；2x|x 1 或 1 x 2 ； a当 0a 1时,原不等式的解集为21当a1最新资料推荐和 a1 分为两类，再在 a1 的情况下，又要按两根 a 解关于 x 的不等式： x2 (a 2)x a 0. 与 2 的大小关系分为a1a 0,a 0和0 a 1 三种情