数列知识点及常用结论

1、精心整理学习必备数列知识点及常用结论、等差数列（1）等差数列的基本公式通项公式：an = +（n-1）d（从第1项a,开始为等差）an=am +(n m)d（从第m项am开始为等差）anp-am = nd =am +(n m)d = ld =I n man am前n项和公式:Sn(aanLnan(1)d2 2（2）证明等差数列的法方定义法：对任意的n，都有an十-an=d （d为常数）=an为等差数列等差中项法：2anHi = an+an七（n亡N）u an为等差数列通项公式法：an = pn+q （p , q为常数且pM 0） = an为等差数列即：通项公式位n的一次函数，公差 d = P，

2、首项a, = p + q前n项和公式法：Sn =pn2+qn （p，q为常数）=an为等差数列即：关于n的不含常数项的二次函数（3）常用结论若数列an，bn为等差数列，则数列an+k，kson，务0，ka+b（k， b为非零常数）均为等差数列.若 m+n=p+q (m，n，p， q忘 N )，则 aam=ap +% .特别的，当n+m=2k时，得K + am = 2ak在等差数列an中，每隔k（k迂N ）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为（k+i）d（例如：q , a4, a7, a10仍为公差为3d的等差数若数列an为等差数列，则记Sk =4 +a2七+4 , S

3、2k -Sk =ak半中編平七+ a2k,2瓦-瓦=a2H+a2k卡+ak，则Sk，瓦-q，Sk-Sk仍成等差数列，且公差为k d_Sn若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列. nan = 13，( n = 0此性质对任何一种数列都适用Sn - Sn 二,(n 3 2)求Sn最值的方法:fak 0I：若a1 0，公差d0，则当(时，则Sn有最大值，且Sk最大;a,0若a10,则当 fk - 0时，则Sn有最小值，且Sk最小;(Ahi 0II :求前n项和Sn = pn2 +qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k，当n=k时，Sk为最值，是最大或最小，通过 Sn的开口来判断。二

4、、等比数列(1) 等比数列的基本公式通项公式：an =aiqn4(从第1项ai开始为等比)n -man =amq(从第m项Om开始为等差)1q前 n项和公式：sn /d),(q Hi), Sn=na1,(1)(2) 证明等比数列的法方On定乂法：对任意的n，都有an4t = qan(an H 0) U =q(qH0)u an为等比数列等比中项法：an2=an+an斗(an十anH。)U an为等比数列通项公式法：On =aq2(a,q是不为0的常数)an为等比数列（3）常用结论若数列an，bn为等比数列，则数列中，8，看，3，50 診（k为非零常数）均为等比数列.若 m+n=p+q (m， n

5、， p， qc N），则 an m=ap 卑q.特别的，当n+m=2k时，得an_ 2 m =ak在等比数列an中，每隔k（k亡N ）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等k _13比数列，且公比为 q侧如：ai，4，a7，氐仍为公比q的等比数列） 若数列an为等差数列，则记S =a十七”汁耳，S2k 5 =編十+ak七+尬，Sk Sk =a2k+a2k七+则Sk，S2k -q，S3S2k仍成等比数列，且公差为qk三、求任意数列通项公式 an的方法(1)累加法：若an满足an+i=an+f(n)利用累加法求：anaa,+(a2-ai)+(a?-&2)+(&4-&3)+(an-a)例题：

6、若 ai=1，且 anHi=an+2n，求：a.练习题：若数列an满足an+-an-2n*=0，且a, =0(2 )累乘法：若an满足an卡=f( n) n利用累乘法求：anan =ai $並）$）$）aia2a3anan/例题：在数列an中,1n +1+ai =2，a卄 n an 求：a练习题：在数列an 中,6=1 且 an = na，求：an（提示：12咒3n = n!）n=1(3)递推公式中既有Sn，又有an，用逐差法aS特别注意：该公式对一切数列都成立。,Sn Si 丄 n 3 2(4)若an满足a = pan+q,(pq),则两边加：x=，在提公因式P,构P-1造出一个等比数列，再

7、出求：an例题：已知数列an，满足: an+=2an +1，且 a1 =1，求：a.习题1：已知数列aj满足:an出-3an =1 且 2=1，求:an习题2：已知数列(a?满足:ai =2，且 Sn + an = n，求:a.(5)若an满足an = pan + Pn*，则两边同时除以：Pn*，构造出一个等差数列,再求出：an例题：已知an满足：ai= 1an 十= 2an+2，求：an解：anL =2an+ 2n=.n 卡J2 2空+1，既有：爲-|n2 2 2所以:J I是首项为:a121，公差d = 的等差数列2ann _丄+(n- 1)x12n 2 2所以:an= -”2n= n.2

8、n2习题1:已知an十3an=3nF且a1，求:an习题2：已知an十=2an + 3 2且a1,求:an（六）待定系数法：若aj满足以下关系:an4 = kan + f（ n）都可用待定系数法转变成一个等比数列来:温馨提示：提k，对f （n）待定系数例题1：已知数列an满足an卡=2an +3c5n，a6，求数列（aj的通项公式.解：an屮+x5n=2(an+x 5n)=an屮=2an-3x6n，与原式对应得，x =1_ 5卄f ”2节P2所以：an-5n是首项ai -51 =1，公比q =2的等比数列既有：an-5n =2= an =5n+2n例题2：已知数列an满足an+=3an +5%

9、 2n +4, a, =1，求数列an的通项公式.解: anrx”2n+y =3(an+x”2n +y)= a = 3a x 22y，与原式对应得：x=5,y=2g严肝+2必严公+护；2：；2=3所以：an+5”2n+2是首项为：ai+5Q+2 = 13，公比q=3的等比数列既有：an +5 ”2n +2 =13 ”32= an =13 洛心5 ”2n -2（七）颠倒法：若an满足：an厂，用颠倒法;an +Can +所以:Can : an +CanH1an +Can + an=丄，所以:CC anan + CC anC an是以首项为:an例题1 :已知anH12 an，且 a, =2，求:

10、an +2例题2:已知1 1=+ Can1 1,公差d飞的等差数列aianan =3an 3an十，且印=1,求：a.（八）倒数换元法：A an若数列an满足：a卄 A 5 ，则颠倒变成B色+C1 B an +CC然后再用两边加:A an1 B一 + anAPi或者待定系数法既可求出 ，再颠倒就可得到：ananj例题：若数列aj满足:2a，且 .二1，求:an2an解：an 4-=an +3anH11 1 +，两边加:2an1 得:丄+an 2匚+1 =!(丄+1)=2 anan +an所以:1+1是首项为:la既有:1 C /3n 十：写=an若用待定系数法:2an法同上;=3一21一+1

11、=2，公比:a1anan +3an +习题：已知301十an2-2an +=3丄+3x=22 an丄+ananan+2 an- + |(- + x)2 a1+1 X与原式子对应得 X =1，然后的方2= 2an 十an 且 a1 =1,求:an四、求前n项和Sn的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前 n项和；或者是等差与等 比的商的前n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设an为等差数列，bn为等比数列，求：an bn或一的前n项和常用此方法（ 色 都转变为乘积bnbn例题1:形式）已知数列an =2n，数列bn的前n项和& = n2 +2n，求

12、数列an bn的前n项和Tn例题2：3n+1求数列an =亏一的an bn的前n项和Sn习题1:求：Sn=1x2 +4X22 +7X23 +(3n -2)炮习题2：设数列an=（2；1），求an的前n项和Sn3(2) 裂项相消求和适用于an =的形式，变形为：an =:=-一)n (n +k)n (n +k)k n n + k例题：求数列a习题1:求数列an(n +1)习题2:求数列的前n项和Snn(n +2)的前n项和Sn，厂 f，的前n项和.Vn + Vn +1(3) 、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减;例题：求an =3n +2n +1的前n和Sn ？习题1已知耳是一个递增的等差数列且 a245,a1=14， an前n项和为Sn数列bn =