平面向量专题复习知识梳理

1、高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、 向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）基线、单位向量、基向量、基底、正交基底：自由向量、有向线段、位置向量、零、数乘向量；向量a在轴l上的正射影、向量a在轴l方向上的数量: 向量的模（或向量的长度）：（二）向量的基本运算：1.向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：（1）（2）（3）（4）结论1向量求和的三角形法则： ;向量求和的平行四边形法则： ;向量求和的多边形法则： ;向量减法法则：;在虫ABC中AB + BC = AC （加）或 AC AB = BC （减）称AABC为向量三角形；推广可有

2、 a瓦+ ax卡+AK =0，称A1A2 AnA1为封闭折线.（5）数乘向量的定义：实数 A和向量a的乘积是一个向量，记作 ；其长为 _；其方向为：;（2）加法结合律： （ 3） _f 1 一如：在平行四边形 ABCD中，已知AB=a,AD=b,DM =DO,ON = OC,试33（1）加法交换律：_（1） （2）数乘向量的几何意义是：向量加法满足下列运算律：数乘向量满足下列运算律：用a,b表示mN =如图，在 ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交+H T T直线AB , AC于不同的两点 M , N，若AB = mAM , AC = nAN , 则m + n的值为2. 向量共线的条

3、件:结论2 （平行向量基本定理）向量 a与b（HO）平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数A使a =沛.特别地，三点 A、B、C共线台 AB = aAC .3. 轴上向量的坐标及其运算：已知轴丨，取单位向量e,对于轴丨上任意向量a总是存在唯一实数x使得a =xe，我们称X为向量a在轴I上的坐标（或数量）。设e是轴I的一个基向量，向量 AB的坐标为AB，则AB = e ；若轴I为X轴，可设点a、B的坐标分别为x1, X2,则向量 AB的坐标AB= X2-X1。4. 向量的分解：设a,b是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量 C,存在唯一实数 入尸使C = Aa + Pb .结

4、论3 （平面向量基本定理）这里称为向量c关于基底的分解式。特别地若入+卩=1，则有OC也称为直线AB的向量参数方程式； OC =1 . t / AC、=OA+OB|t=K !称为定比分点向量式，1 +t1 +t I CB 丿丄(OA+OB称为中点向量式(C为AB中点).2上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成2 ： 1的两条线段。求证MBC三条高AD、BE、CF相交于一点.5. 平面向量的坐标运算：对于纟结论3,若a,b是一组单位正交基底，则称 标，记作c=(k,巴。(在平面直角坐标系下)用坐标表示下列结论：设犖护一一；a-b 二a

5、Lb(HO) 导 b = Aa 二 ；6. 向量的数量积：(D是向量C在基底1,6下的坐44a =(3,*)山=(4)，则有:； ka=;结论4 两个向量的数量积为 a b =a b cosQ，其中0 = (a,b)为两个向量的夹角,其范围为aea cos。.数量积有如下性质:；是点到直线(甚至到平7面)距离公式推导的根据；I夹角公式COS日 =a=;(坐标形式)-2 - _a =a aaba b a|b|.(某些不等式放缩证明的根据)(用于求模)；;(坐标形式)数量积的运算律：(1)交换律： ； (2)数乘律： ；(3)分配律：斗片寸j 。(请给出证明)注意：不满足消去律：ac = b*c推

6、不出结论 a=b，举例： 4 3如：已知平面上直线I的方向向量e =(- 5,5)，点0(0,0)和点A(1, - 2)在I上的射影分别为O和A,且OA=入e，其中入=()A. 151B - -SC.2D . -2模公式-+2a=a 2 = a的应用举例:2(1)ffp fTpf 2-*2求证:|a +b| +|ab|=2(|a| +|b|)，其几何意义是若 | a |=|b | =| a b |= 3,则 a ”b =已知ra |= 2,|b |=3,|a - b |= j7,则a与b的夹角为（4）已知a,b,c中每两个向量夹角都为 120且|a|=4,|b|=6,|c|=2,求|a + b

7、 + c|值.47.直线l: Ax +By+ C =0的方向向量v =,法向量再已知定点P（x0,y0），而且点M（x,y）G , n。是单位法向量，则点 为：。（向量形式）p到直线i的距离公式8.结论5:a b a b a + b，称为向量三角形不等式.（三）三角形的“四心”与向量1.关于重心G,有重心公式:OGgOA +OB+OC)坐标 G(Xa+Xb+xc yA2.关于垂心+ Vb + Vc*- f一)，并有性质 GA + GB + GC = 0; 3有性质 HA HB = HB HC = HC ”HA ；3.关于外心有性质 |OA|=|OB|=|OC| ；结论：0、4.关于内心I,经常

8、涉及内角平分线的研究，如打=以丝+总）。|AB| |AC|如：已知O, N ,卩在MBC所在平面内,OB = OC , NA + NB+ NC = 0,且 PA*PB =PB PC =PC BA,则点 O,P依次是心ABC的(A)重心外心垂心(C)外心重心垂心在四边形ABCD中,ABCD的面积是(B)重心外心(D)外心重心T TAB = DC = (1,1),内心内心，则四边形BD设斜 ABC的外接圆圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,OH =m(OA+OB + OC),则实数m=。O是平面上一定点,C是平面上不共线的三个点，动点P满足H、G三点共线且OH =3OG ;此线称为欧拉（Eule

9、r）线。（如何证明？）O?=OA+几I ABABT、尙丿，几丘0,母卜贝y P的轨迹一定通过 MBC的()D、垂心A、外心B、内心(四)向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：(1) A、B、C三点共线等价于存在实数 a P ,使得OC =a OA + pOB (a + P =1 )；C、重心(2) 从BC的重心G的坐标公式为OGyOA+OB+OC ).(3 )直线的方向向量是什么？ 给定两点：(x1, y1 ),P(x2,y2 ),那么P F2 =( X2- X y2- y1这也就是方向向量，横坐标单位化，得:(1,tano )，也就是说:直线Ax + By+ C

10、 =0的方向向量是(B,A )，直线的法向量是(A,B ).例如：已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为(1,0)和(1,0),点A、P、Q运动时，满足 AE =2EF , AQ =QF ,PQ ”AF =0, AP/EP，(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)设 M、N是轨迹C上的两点，若 OM+2ON = 3Oe，求直线MN的方程体验练习题一:、选择题21.已知平面向量a= (x,1) , b=( X, X ),则向量 a+b()A平行于X轴B .平行于第一、三象限的角平分线C 平行于y轴D .平行于第二、四象限的角平分线已知F1 ,2.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3 (单位：牛顿

11、)的作用而处于平衡状态.F2成60角，且F1 , F2的大小分别为2和4,贝y F3的大小为(C.275D. 273.设卩是 ABC所在平面内的一点，BC+BA = 2BP，则(TT 屮TTTTTTA. PA + P B=0B. PC+P A=0C. PB + P C=0b , a-b的模为边长构成4 .设向量 a , b 满足：I a 1 = 3 , | b|=4 , a 0 .以 a ,三角形，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为()“5.已知a=(3,2 )b=(1,0 )，向量ka+b与a-2b垂直，则实数 a的值为(A)6.178在平行四边形线与CD交于点(B) 1(C)1(D

12、) 1766ABCD中，AC与BD交于点O, E是线段OD的中点,F .若 TC = a , BD = b，贝 yAE的延长7.9.=a,3.已知平面向量A、(5,10)5.已知平面向量A.-14.若向量2111B . a +-bC. a + b332444 4=(1,2) - b = (2, m)，且 a/b -1 2D . -a+-b332a +3b =()B、(4,8)C、(3,6)D、(2,44呻T Tb = (4,2), Aa + b 与 a 垂直，则 a 是(C .-24 a=(1,-3),B .1* ia,b满足|aHb|=1, a与b的夹角为D.260。，则 tM (10.已知

13、平面向量C . 1+迟21a = (1,1), b= (1,-1)，则向量一a2B. (2,1)C. (-1,0)Ib=()D. (1,2)11.在直角 MBC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不 成立的是(A) AC =AC AB(B)r2 TBC = BA ”BC(C)=AC CD(D)CD2 (AC AB)x(BA”BC)=AB212.已知向量a= (1, n), b= (1, n)，若 2a-b 与 b 垂直，则 a=(C. 2D. 4二、填空题1.若平面向量+ b平行于x轴,b = (2-1)，则2.已知向量a和向量b的夹角为30。-|aF2,bF血，则向量a和向量片4 4b的数量

14、积ai=_3.已知向量4.已知向量a 和 b 的夹角为 1200, |aF1,|bF3，则 |5a-bF a=(0,-1,1), b =(4,1,0) , Ma* + b| = J59且扎0，则入=45.设 O、A B、C 为平面上四个点，OA = a, OB = b , OC = c,且 a + b + c = 0,aLb=b_C=c_a = -1，贝U a +6.在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于点O,CD 交于点 F .若 AC= a ,b，则 aF =44E是线段OD的中点，AE的延长线与.（用a,b表示）I片4-1447.设向量 a =(4cosa,sin a),b =(sin

15、P,4cosP), c =(cos P,-4sinP)(1 )若 a与 b-2c垂直，求 tan(a + P)值；(2)求 | b+2| 的最大值；(3 )若 tan ata n P =16，求证：a / b.& 已知向量 m =(cos8,sin8)和 n =(J2sin,cos8 )趺(.2兀)，且 m + n应,求5cos但+兰1的值.12 8丿体验练习题二:、选择题:1.若向量a = （1, 2）, b = （1, -3）,贝y向量a与b的夹角等于（）A 45B 60C 120D 13 52在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC ,已知 PA =4,|AB| =3,则ACOB的值为（）

16、D7C 253.向量a , b的夹角为120，=|a I =2,则 a (）等于（A 4 +2丁34.已知向量a丰e, |e|= 1,对任意实数A. a 丄 eB. a 丄（a e）t，恒有 | a t e I 纠 a C. e丄(a e)e |,则(D. (a + e)丄(a e)5.已知a =（-3,2 ）,b =（-1,0 ），向量入a+b与a-2b垂直，则实数 入的值为（）1(C) 一16.已知向量a =(1,0), b =(0,1), C = ka +b(k 亡 R), d = a - b，如果 c/ d，那么(A.C.k =1且c与d同向 k = T且c与d同向B . k = 1且

17、c与d反向D. k = 一1且c与d反向C 4-23B . k= 1且c与d反向D. k = T且c与d反向7.已知向量a、b不共线，c = ka+b（k亡R）, d=a b,如果c/ d,那么（）A. k =1且c与d同向C. k = T且c与d同向二.填空题：&已知向量a=(2,4, b=(1,1).若向量b丄仏a+b)，则实数a的值是9设0为坐标原点，向量 OA=(1,2)将OA绕着点 0按逆时针方向旋转向量0B,贝y 2OA+OB的坐标为90得到10.设集合D =平面向量，定义在D上的映射f，满足对任意 X D，均有f (X) = A X(A 壬 R 且几 h0) 若 I a I =

18、I b I 且 a、b 不共线，则f ( a) - f (b)(a+b)= 若 A(1,2), B(3,6),C(4,8)，且 f(BC)=AB，则 a11 若把函数y =log2(x-2)+3的图象按向量a平移，得到函数y = Iog2(x+1)-1的图 象，则向量a的坐标为 12设向量a =(1,0),b =(sin0,cos日),0 9 兀，则a + b的最大值为13.已知向量 a =(1,0), b =(0,1),c = ka+b(k亡 R),d =a b ,如果 c/d ,那么(A k =1且c与d同向C. k = 1且c与d同向B k =1且c与d反向D k =1且c与d反向14.

19、已知向量a、b不共线，C =k a+b(k忘R), d =a b,如果c/ d，那么()A C.三、解答题:k=1且c与d同向 k=-1且c与d同向B k =1且c与d反向D k = 1且c与d反向15.四边形ABCD 中，AB =(6,1),BC =(x,y),CD =(2,3)(1)若BC / DA，试求X与y满足的关系式;(2)满足(1)的同时又有 AC丄BD，求x,y的值及四边形 ABCD的面积。16在直角坐标平面中，已知点R(1,2)P2(2,22 )P3(3,23广，Pn(n,2n )，其中n是正整数, 对平面上任一点 A0，记A为A关于点R的对称点， A为A关于点F2的对称点，代

20、为人4关于点Pn的对称点-(1)求向量A0A2的坐标；(2)当点A在曲线C上移动时，点 A的轨迹是函数y = f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当(0,3 时， f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4 上的解析式；(3)对任意偶数n,用n表示向量A0An的坐标.解析：因为 AB=DC =(1 , 1),所以四边形ABCD为平行四边形，所以BAA BA估此苗BD 歯BA ZBC)二 BD =BA 尹Bc卩|T|b 门 B 旷2十 BD 6则四边形ABCD的面积为$=2冷朋彳2-# 解法一：m + n =(COS0Sin 日 +J2,cose +sin0 )m + n| = J(cos8 -sin9 十血)+(cos9 +sinQ)? = & + 2V2(cos日-sin日)=4 + 4cos 0 +1 中 cos git 82由已知m + n =,得 cosL0 +=5V 4丿725又 cos +-】 = 2cos2(E +-)1cos2(2+l)2 816=，二齐 5,2兀),25JI9兀+ - 8 8cosJI6 cosl +l2 8丿JIH2T 2 叫 耐寸呻21