利用导数求参数的取值范围

1、利用导数求参数的取值范围课型：专题复习课复习重点：利用导数的有关知识，求参数的取值范围基础知识：导数的几何意义、函数的极值和最值的求法、函数单调性的充要条件的应用.复习难点：解题方法灵活变通.一. 已知函数单调性，求参数的取值范围类型1参数放在函数表达式上例 1.设函数 f(x) 2x33(a1)x2 6ax 8其中 a R .(1) 若f(x)在x 3处得极值,求常数a的值.(2) 若f (x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围略解：(1)由f(3) 0解得a 3经检验知a 3时,x 3为f(x)的极值点(2)方法1 : f (x) 6x26(a1)x 6a 6(x a)(x 1)当a 1

2、时,f(x)在(,1),(a,)上递增,符合条件.当a 1时,f(x) 6(x 1)2 0恒成立,f (x)在(,)上递增.当a 1时,f(x)在(，a),(1,)上递增,要保证f(x)在(，0)上递增，则0 a 1 综上所述.a 0时,f (x)在(,0)上递增.方法2：因为f (x)在(，0)上递增所以f(x) 0在x (,0)上恒成立即x(x 1) a(x 1)在x (,0)上恒成立x 0, x 10x a从而a 0方法3.保证f (x) 6x2 6(a 1)x 6a在 (,0上最小值大于或等于零a 1a 1 一故有2或200f(0)0可解得a 0解题方法总结：求f(x)后，若能因式分解

3、则先因式分解，讨论f(x)=O两根的大小判断函数f(x)的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成 立问题.基础训练：1设函数 f(x) 2x33(a1)x21,其中 a 1(1) .求f (x)的单调区间;(2) .讨论f(x)的极值.类型2.参数放在区间边界上例2 已知函数f (x) ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值，曲线y f (x)过原点和点 p (-1,2),若曲线y f(x)在点P处的切线与直线y 2x的夹角为45且切线的倾斜角 为钝角.(1)求f (x)的表达式 若f(x)在区间2m-1,m+1上递增，求m的取值范围.略解(1) f (x) x3 3x

4、2(2) f(x) 3x2 6x 3x(x 2)可知 f (x)在(，2),(0,)上递增，在(2,0)上递减从而只要保证2m 1,m 1是(，2)或(0,)的一个子区间m 12 亠 2m 10所以或m 1 2m 1 m 1 2m 11 解得 m (, 3 ,22总结：先判断函数的单调性，再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.基础训练：2已知函数f (x) x3 3x 27,若f (x)在a,a 1上单调递增，求a的取值范围.二. 已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型1 .参数放在不等式上2例3.已知f (x) x3 ax2 bx c在x-与x 1时都取得

5、极值3(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间.若对x 1,2,不等式f(x) c2恒成立，求c的取值范围.1略解：a-,b222 2223(2).f(x) 3x 当 x (,3)时 f(x) 0, f(x)单调递减，所以 f (x) f (3) 0x 2,由 3x2 x 2 0得 x或 x 1 且 f()c, f (1)c3 32721 f( 1) c, f (2)2 c,所以 f(x)在1,2上的最大值为 f(2)2 c从而c22 c,解得c1或c 2总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值.基础训练：23已知函数f(x)x 2x 5,若对任意x 1,2都有f(x) m则实数

6、m的取值范围是2类型2.参数放在区间上例4 已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f (x)在x=3处有极值.(1)求f (x)的解析式.(2)当x(0,m)时,f (x) 0恒成立，求实数m的取值范围.分析:(1)f(x)3 x5x2 3x9.f(x)3x210x3(3x1)(x 3)由 f(X)0得x11 ,x23当 x3(0,1)时 f(x)0, f (x)单调递增,所以 f(x) f (0)93设切点为M(x,x3 3xo),因为f(x) 3x2 3所以切线方程为 y m (3x02 3)(x 1), 又切线过点 M所以 x03

7、3x0 m (3x02 3)(x0 1)即2x3 3x2 m 3 0因为过点A可作曲线的三条切线，所以关于x0的方程有三个不同的实数根设 g(x) 2X3 3x； m 3 则 g(x) 6x： 6x由 g(x0) o 得 x0 o或 x01所以g(x0)在(，0),(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减，故函数g(x0)的极值点为x0 0, x0 1 所以关于xo的方程有三个不同实根的充要条件是g(0)解得3 m 20g(1)0所求的实数m的取值范围是(3, 2)总结：从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与X轴交点个数.基础训练：5设a为实数，函数f (x) x3 x2 x a(1) 求

8、f (x)的极值(2) 当a在什么范围内取值时，曲线yf( x)与x轴仅有一个交点四. 开放型的问题，求参数的取值范围。例 6 .已知 f(x) x c,且 f f (x) f (x 1) o(1) 设 g(x) f f (x)，求 g(x)的解析式。(2) 设(x) g(x) f (x)，试问：是否存在 R，使(x)在(，1)上是单调递减函数，且在( 1,0)上是单调递增函数；若存在，求出 的值；若不存在，说 明理由。分析：(1)易求 c=1, g(x) x4 2x2 2(2)(x) g(x) f(x)二 x4 (2)x2 (2) , (x) 2x2x2 (2)由题意 (x) 在( , 1)

9、上是单调递减函数，且在( 1,0)上是单调递增函数知，(1)0是极小值，.由 (1)得 4当 4, X ( 1,0)时，(x)0, (x)是单调递增函数；X (, 1)时，(x) 0, (x)是单调递减函数。所以存在4，使原命题成立。在文科数学中 ,涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决 , 只要把导数的几何意义 用导数求函数的极值及最值 ,用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂 , 那么, 利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解 .欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求所以当m 3时f (x) 0在(0,m)内不恒成立，当且仅当m (0,3时f (x) 0在(0, m)内恒成立 所以m的取值范围为(0,3基础训练：4.若不等式x4 4x3 2 a对任意实数x都成立