概率方法在积分中的应用

1、概率方法在积分中的应用概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科，它既有着自己独特的概念和方法，内容丰富，又与其他科学分支有着紧密的联系，具有广泛的应用性。在概率论中,连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系, 这使得用概率论的思想方法求解证明某些复杂的、无法用常规数学分析方法解决的定积分、由定积分推广而来的广义积分、积分不等式成为可能。下面，本文将结合实例，对上述问题做一定浅显分析：1、 定积分的近似求解在实际当中，经常会碰到复杂函数的定积分，虽然积分存在，但是积不出来，这时我们不得不考虑其数值计算。下面给出的方法是一种行之有效的数值计算法。例1 设01，求f(x)在区间0,1

2、上的积分值：j=。解：设（，）服从正方形上的均匀分布，则可知服从0,1上的均匀分布，也服从0,1上的均匀分布，且与独立。又记事件=,则的概率为=j即定积分的值j就是事件a的概率。由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中a出现的频率作为的估计值。这种求定积分的方法也成为随机投点法，即将（，）看成是向正方形内的随机投点，用随机点落在区域中的频率作为定积分的近似值。下面用蒙特卡洛的方法，来得到a出现的频率：（1） 先用计算机产生（0，1）上均匀分布的个随机数：，=1,2，,这里的可以很大，（2） 对对数据（，），=1,2，,记录满足如下不等式的次数，这就是事件a发生的频数，由此可得事件a发生的频率，则

3、j注:对于一般的区间上的定积分w=,作线性变换=，即可化成0,1区间上的积分。进一步若，可令 =，则01 此时有w=+，其中=。这说明以上方法带有普遍性。2、 广义积分计算广义积分是高等数学中较难的概念之一，需要我们掌握其定义和相关性质。在进行广义积分计算时，我们应选取简便且有效的方法。对于广义积分，现有如下定义：设函数在有定义，并且对任意的在区间上可积，当极限存在时，称这极限值为在区间上的广义积分。记作，这时也称积分是收敛的，并且用记号表示它的值。如果上述的极限不存在，称积分是发散的，这时虽用同样的记号，但已经不表示数值了。而含参变量的广义积分，就是形如的积分，称为含参量的广义积分。在数理方

4、程和概率论中经常出现这种形式的积分。对于广义积分的计算，我们有很多方法，比如说换元法，拉普拉斯变换，fourier积分变换或函数的性质等很多方法，而对于一些特殊类型的广义积分的计算，我们还可以用概率论的有关知识。在概率论中，有一些重要的分布，比如说正态分布，指数分布，分布等等，而关于这些分布的数字特征均是关于概率密度函数的广义积分，例如，概率积分是标准正态概率密度函数的广义积分，是很重要的积分之一，在概念论方面经常遇到，且有广泛应用。下面通过一些实例，对概率论在特殊类型广义积分计算中的应用进行探索，并期望在这一探索中，领会出一些令人耳目一新的方法。1. 用概率论中的指数分布计算广义积分定义1

5、：密度函数为,分布函数为，这里，是常数，这个分布称为指数分布。例2 计算这个例题可以用广义积分的分部积分法直接求解，但要用到两次分部积分法，并要求极限。这里注意到被积函数中含有因式，刚好是参数为的指数分布概率密度函数的一部分，故有，这里是服从参数为的指数分布的随机变量。由概率论知识可知，故 2. 利用概率论中的正态分布计算广义积分1) 利用正态分布的概率密度性质计算广义积分定义2 ： 设为连续型随机变量，若的概率密度函数为，其中，为已知参数，则称服从正态分布，记作概率密度具有规范性，即 利用此式可以简单计算类型广义积（其中为常数，）。例3 计算广义积分 ； 解：令则 此例中，看作随机变量；看作

6、随机变量。通常微积分方法求解本例题比较困难，把被积函数看作或变换成某个正态分布的概率密度，再利用式计算积分，则较为简单。2) 利用正态分布的期望定义计算广义积分定义3 ：设连续型随机变量的概率密度为，若绝对收敛，则称此积分为的期望，记作。对于正态分布可以证明，即有： 利用式可以较为方便地计算型广义积分例4 计算广义积分解：原式 本例中可看作随机变量，这类广义积分一般用换元法比较麻烦，而把被积函数看作或变换成某随机变量正态分布的期望表达式，则很容易求解。3) 利用正态分布的方差定义计算广义积分 定义4 设连续型随机变量的期望为，概率密度函数为，若存在，则称 为的方差，记作。若，则可证明，即有：

7、由方差的定义可以推算出其计算公式，即有 ，于是对于正态分布有： 利用, ，式可以比较方便地计算型广义积分。例5 计算广义积分 解：原式 由式知， 原式 这类广义积分的计算一般需要换元法和分部法，是比较繁杂的，这里把所求积分变换成某随机变量正态分布的方差表达式，简化了积分计算。3. 利用分布求被积函数中含有三角函数的广义积分对于被积函数含有三角函数形式的广义积分，可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性，并进行求值。定理 ：设为服从概率密度为的随机变量，其特征函数为， 为常数，则有广义积分：证明：由欧拉公式可知， ，故有 又由特征函数的定义，得，即证。例6 计算广义积分 解：因被积函数含

8、有分布密度函数的一部分，故 其中为服从参数的分布的随机变量，其密度函数为 特征函数为更进一步，如果遇到被积函数中为含有三角函数稍复杂的形势，可以考虑用三角函数的积化和差等公式先降价处理，在进行计算，也可以简化计算。3、 引进随机变量证明积分不等式例7 求证，当f(x)为a,b上的连续的下凸函数时，。当f(x)为a,b 上的连续的上凸函数时，。证明：设连续型随机变量的密度函数为：则而。由引理1可知，当f(x)为a,b上的连续的下凸函数时，即。当f(x)为a,b 上的连续的上凸函数时，即。这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式。例8 求证，对于可积函数f(x),(f(x)0),。证明：令为严

9、格整函数，则为正随机变量，考察上的连续下凸函数，对该函数运用引理1，得：，从而，而，所以，即。例9 若与与上连续，则证明：设随机变量的概率分布及其概率密度函数分别为：则：由引理2知把以上各式代入，即成立。4、 结束语本文将概率的基本思想应用于证明和计算积分，通过以上的一些例子，使我们看到，概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用，在其他的数学分支中也有其重要的应用。运用概率的思想方法解决问题，其思想方法独特、简捷，这不但有利于揭示不同数学分支之间的内在联系，而且可以加强逆向思维能力的训练，从而有利于对知识的理解和掌握，为我们在今后的解题过程中提供了一种新的思虑，新的方法，有利于我们开阔视野，丰富想象，培养创新精神。参考文献：1同济大学应用数学系.高等数学（第五版） m，北京：高等教育出版社，2002年7月2蔡兴光，李德宜.微积分m, 科学出版社，2004年8月3梁之舜等.概率论与数理统计（第五版） m，高等教育出版社，2002年7月4何平凡，用概率论方法证明数学分析中的一些不等式j.实践与探索5原全，董魏莉.某几类积分的概率技巧解法j.高校讲坛,2008.第32期6