微分方程一（经典实用）

1、 xdxdyxdxdyx dx dy 222 112, 1 22 xyDyxCxy，满足 )( )( tkN dt tdN 例例3：自由落体问题自由落体问题 22 22 2 1112 12 2 () 1 () 2 0,0,00,0 1 2 d sd sds mmggdgdt dtdtdt ds gtCdsgtC dtsgtC tC dt ds tsCC dt sgt 0),( n yyyxF 000 0 yyyyxx xx 或时 1 0 1 00 00 , , yyyy yyyyxx xxxx 或 ),(yxF dx dy dxxf yg dy ygxf dx dy )( )( )()( dx

2、xf yg dy )( )( )1 ( 2 yx dx dy xdx y dy 2 1 解：分离变量得 Cxarctgy 2 2 1 ) 2 1 ( 2 Cxtgy 0 x dy y dx C xy 22 22 20 22 yx dMdM Mdt dtM tCCt eeeMCtM 11 _ln 1 t t eMM CMCeM 0 0 _初始 0 .0 2 0 .0 2 ln0 .0 2ln t d xxd t xtC xC e t ex 02. 0 10 （千克）679. 310 1 ex 二、一阶齐次方程二、一阶齐次方程 定义定义 如果一阶微分方程，可化为如果一阶微分方程，可化为 称这微分方

3、程为称这微分方程为齐次微分方程。齐次微分方程。 例：例： 考察方程考察方程 p119 ( ) y yf x ( ) ( ) dududx uxf u dxf uux 两边积分，用两边积分，用u=y/x代入。代入。 例：例：例例6-7、6-8、6-9 )()( xQyxPy 0)( yxPy )()( xQyxPy 1 ( )( ) 11 ( )ln( ) _ p x dxp x dx dy p x dxyp x dxC y yC eyCeCC dxxp Cey )( ( ) ( )_ ( ) ln( )( )( ) dyQ x p x dx yy Q x ydxp x dxu xp x dx

4、y 记作 两边积分 dxexQeCey dxxpdxxpdxxp )()()( )( ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) p x dxp x dx u xu x p x dx yeeyee yc x e 记作 设想方程的解有形式：设想方程的解有形式： () ( ) p x dx yc x e 2 22 x xexy dx dy 02xy dx dy xdx y dy 2 2 x Cey 代入方程有 22 2 )(2)( )( xx x exxCexC dx dy exCy CxxCxxC 2 )(_2)( 2 )( 2x eCxy 2 2)(_2)( x xexQxxP x exyy

5、sin cos cxyxdx y dy xy dx dy lnsinlncos0cos x Cey sin xxx exxCexCyexCy sinsinsin )(cos)()( CxxCeexC xx )()( sinsin xxx xeCeeCxy sinsinsin )( 2 1 xy x y Cxyy xdx dy 0 1 )()()( xCxxCyxxCy CxxCxxC 2 2 1 )()( xCxy) 2 1 ( 2 6 1 _2 1 4 x yxy dx dy x 3 2 xy xdx dy 22 0_ dydy ydx dxxyx 分离变量得 2 Cxy 2 )( xxCy

6、 C x xCxxC 6 )(_)( 6 5 2 4 6 1 x C xy 0 6 1 1 Cy x 4 6 1 xy 四、伯努利方程四、伯努利方程 定义定义 称伯努利称伯努利 （Bernoulli）方程。方程。 ( )( )(0,1) n dy P x yQ x yn dx 01nn或线性微分方程；线性微分方程； 0,1nn 非线性微分方程非线性微分方程 1 (1) ()() 1 (1)()(1)() nn n nn dzdy zyny dxdx ydz Px zyQxy n dx dz n Px zn Qx dx 令 例：例：p123 例例6-12 2 1 2 2 ( ln) 1 ln (

7、 ln) 2 ( ln)1 2 d yy axy d xx d z zyzax d xx a zx Cx a y x Cx 令令 通通 解解 ： 例例 ： 11 1 1 1ln1 ln1 1_ yC dydx xyxyu dxxydy dyduduu uuxC dxdxdxu yxyC xC eyCe 例例： 令令 例：例：求微分方程的通解求微分方程的通解 () cosyxCx 例：例： 通解为通解为 的微分方程为：的微分方程为： x yCex 11 1 x yCeyx yyx xytgxycos 例：例： 曲线曲线y=f(x)过点过点(0,-1/2)，其上任一点，其上任一点(x,y) 的切线

8、斜率为的切线斜率为xln(1+x2),求求f(x). 2 0 222 22 1 ln(1) _ 2 1 ln(1)(1)ln(1)1 2 0 1 ( )(1)ln(1)1 2 x dy xxy dx yxxdxxxC C fxxx 初初 解解 始始 ： 例：例：求微分方程的通解求微分方程的通解 3 ()20yx dxxdy 2 5 3 2 1 22 11 () 55 d yx y d xx yxxCxCx 解解 ： 例：例： 22 _ (1)1x yxyyy求求的的解解。 221 22 1 3 32 1111 11 112 () 21 yyyyyy xxxx zyzz xx x zxCy xy

9、x 解解 令令 ： ： 一、可降阶微分方程一、可降阶微分方程 )( xfy 211 )()(CxCdxxfyCdxxfy 2型),( yxfy 代换：设代换：设 )(p dx dp yxpy ),(),( 1 cxppxfp通解为 即即 ： 211 ),(),(cdxcxycx dx dy 例：例：p123 例例6-13 0)1 ( 2 xyyx dx x x p dp xp dx dp x 2 2 1 _0)1 ( 分离变量得 2 1 2 1 11x C dx dy x C p 21 arcsinCxCy ),( yyfy )( ypy )( yp dx dy 令 dy dp yp dx d

10、y dy dp dx dp y)( 方程变为：方程变为： ),(pyf dy dp p 通解：通解： ),(),(cy dx dy cyp 分离变量后再积分，分离变量后再积分，通解：通解： 2 ),( Cx cy dy 例：例：p124 例例6-14、6-15 六、二阶常系数线性微分方程六、二阶常系数线性微分方程 ( )( )( )yP x yQ x yf x ( )ypyqyf x )()( 21 xyxy和 ( )( )( )yP x yQ x yf x )()()( 2211 xyCxyCxy k xy xy )( )( 1 2 11212211 )(CyykCCyCyCy 21 1 2

11、 , )( )( CC xy xy 常数时， 2211 yCyCy 0)()( 2211 xykxyk .3 , 22 是线性相关与 是线性无关；与与 xx xxx ee eeex )(),( 21 xyxy )()( 2211 xyCxyCy 21,C C )(xy )()()( 2211 xyCxyCxY )()()( 2211 xyxyCxyCyYy 0 yy xyxycos,sin 21 xCxCycossin 21 xyy xCxCycossin 21 xy xxCxCyYycossin 21 rx e 2 0rprq 2 4 2 ppq r 2 ()0 rx erprq 2 40p

12、q r1 r2。则。则 常数 xrr xr xr e e e y y rr )( 2 1 21 12 1 2 通解为：通解为： xrxr eCeCy 21 21 2 40pq， 12 2 p rr ： xr ey 1 1 设设 2 1 ( ) y u x y 常数将将 12 )(yxuy xr xeyxxu 1 2 )( 通解为：通解为： xr exCCyCyCy 1 )( 212211 2 40pq ， ir 常数 xi e y y 2 1 2 x ixi eyey )( 2 )( 1 cossin ix exix )sin(cos )sin(cos 2 1 xixey xixey x x

13、xe i yy xxe yy xx sin 2 cos 2 2121 通解为通解为：)sincos( 212211 xCxCeyCyCy x (1) 写出特征方程写出特征方程 2 0rprq (2) 求出两个特征根求出两个特征根 (3) 根据特征根的情况，按表写出方程的通解根据特征根的情况，按表写出方程的通解 21 , rr 2 0rprq 的根 21 , rr相异实根 21 rr 重根 ir复根 0ypyq 的通解 xrxr eCeCy 21 21 xr exCCy 1 )( 21 )sincos( 21 xCxCey x 例：例：p128 例例6-17、6-18、6-19 054 yyy

14、xx eCeCy 5 21 2, 402 0 0 xx yyyyy x exCCy )( 21 x exy )2(2 054 yyy ir 2 2, 1 )sincos( 21 2 xCxCey x irr3_09 2 特征根 xCxCy3sin3cos 21 xCxy3sin3cos 2 xxy3sin 3 1 3cos 0 )( 2 qprr xfqypyy 特征方程： yYy 2 2xyyy xx eCeCxY 2 21 )( 则设左边含有是二次多项式因为,)( 2 yxxf 代入原方程 21 2 0 bxbxby 2 21010 2 0 )22()22(2xbbbxbbxb 4 3 2

15、 1 2 1 022 022 12 2 1 0 210 10 0 b b b bbb bb b 22 12 113 224 xx y Yy CeCexx 1. ( )( ) rx m f xe Px型型 1 011 ( ) mm mmm P xa xa xaxa 特解形式：特解形式： 代入方程代入方程 _ () rx yQx e 2 ( )(2)( )() ( )( ) m Q xrp Q xrprq Q xP x ypyqyf x ( ) 1、如果、如果r不是特征根不是特征根 2 0rprq 因为因为Pm(x)是是m,次多项式次多项式Q(x)必须是必须是m次多项式次多项式. 1 011 (

16、)_( ) rxmm mmmm yQx eQxb xb xbxb 2、如果、如果r是特征方程的单根是特征方程的单根 2 0,20rprqrp Q(x)必须是必须是m次多项式，即次多项式，即Q(x)必须是必须是m+1次次 多项式。多项式。 () r x m yx Qxe 2 0,20rprqrp Q(x)必须是必须是m次多项式，即次多项式，即Q(x)必须是必须是m+2次多项式。次多项式。 _ 2 ( ) rx m yx Qx e 特解形式：特解形式： _ () krx m yx Qx e r不是特征根不是特征根k0；单根单根k1；重根重根k2 例：例： p130 例例6-20、6-21、6-22

17、 例：例： 设二阶常系数微分方程设二阶常系数微分方程 的一个特解为的一个特解为 确定确定 。 x yyye 2 (1) xx yex e , 2 (42)(32)(1) 420 323,2,1 10 xxxx eexee 解解： 代代入入原原方方程程 例：例： 2 1yyx求求的的特特解解 解：解：这里这里r=0,m=2，r不是特征根不是特征根k=0，设设 _ 2 2012012 _ 2 ( )1,0,1 1 yQ xb xb xbbbb yx 代入方程，代入方程， 例：例： 2 2 x yyye 2 32 x yyyxe dt dx dt dC dt tdC dt tCCd dt dx)()

18、( 0 零级反应：零级反应：化学反应速度与反应物浓度无关。化学反应速度与反应物浓度无关。 零级零级 一定剂量的药物（丹参、青霉素注射液）一定剂量的药物（丹参、青霉素注射液） 做恒速静脉滴注的过程是零级速率过程。做恒速静脉滴注的过程是零级速率过程。 设时刻设时刻t，瓶内药量为，瓶内药量为x，滴注速率为，滴注速率为k。则。则 cktxk dt dx （零级速率常数） 初始：初始：t=0,x=x0c=x0有有 0 xktx 药量与时间呈线性关系。药量与时间呈线性关系。 例题例题：镭的初始量镭的初始量x0，求残存量，求残存量x与时间的关系。与时间的关系。 据题意据题意：）为一级速率常数，（0kkkx

19、dt dx AB 00 0 _0, kt kt xCetxxCx xx e 初始 t o x0 x 2、二级反应、二级反应 称二级反应。一定温度时等称二级反应。一定温度时等 容反应的速率与各反应物浓度的乘积成正比容反应的速率与各反应物浓度的乘积成正比 ABC 0 ()(),0 t dx k axbxx dt 1() ln () ka tkb t ka tkb t ax b abkt abbx a ee xa b a eb e 2 2 () 1 ab dx k ax d a kt x ak t t d V k V d t d k k d t Ak dt dk 为常数，记为, 00 0 0 0 A

20、t tVV VV e ，由方程得 由此可见，肿瘤按指数生长，生长速率为由此可见，肿瘤按指数生长，生长速率为A 0, _0 t kAeAtk 由 方 程 得 ： 其 中为时 的 值 。 将上式代入将上式代入dV/dt=kV方程，得方程，得 ) (1 0 t A e VV e 这是描述肿瘤生长的数学关系，称为高帕茨这是描述肿瘤生长的数学关系，称为高帕茨 Gompertz（德国数学家）（德国数学家）函数。函数。 0 101, 0 t At tet VV e t （）当时，由于所以 可见，当为不等于 的有限值时，只要 足够小， 即肿瘤生长初期，呈指数生长。 max0 (2)0, _ t A te VV e 当时 ，有 ln2 1 ln() ln2 d d t t A A t Ae 为常数，而在按高姆帕茨生长时，有 显然，显然，td不是常数，它随不是常数，它随t的增大而增大。的增大而增大。 三、药学模型三、药学模型 快速静脉注射快速静脉注射消除消除 D0 -kx V x(t) 一室模型近似将机体看成是一个动力学单元，给一室模型近似将机体看成是一个动力学单元，给 药后瞬时分布到血液和器官。药后瞬时分布到血液和器官。