一元二次方程综合培优.

1、一元二次方程拓展提高题1、 已知 X _5x _2000 =0，则 X-2 -X1_J 的值是x _22 220042、 已知 a 2004a +1=0，贝U 2a 4007a + =a +122a3、若 abHl,且 5a +2005a+7=0 , 7b +2005b+5=0， U=b4、 已知方程2x2 2ax+3a4=0没有实数根，则代数式 Ha2 8a+16 + 2 a =.5、 已知y =2x .6 -x，则y的最大值为.6、已知 a b c =0， abc = 2， c 0，则()A、 ab 0B、 a b 乞一2C、 a b 岂一3D、 a b7、 已知 a_b=8， ab+c

2、+16= 0,贝U a+b + c =.2328、 已知 m +m1 = 0 ,贝V m +2m 2006=.29、 已知 a b =4 , ab+c +4 = 0 ,贝U a +b =.10、若方程 x2px -q =0 的二根为 X1 , X2，且 X1 -1 , p q 3 0 ,则 X2 ()A、小于1B、等于1C、大于131的值为:- -?D、不能确定12、A、21已知二是方程x x 0的一个根，则42432若 3x - x=1，则 9x 12x -2x - 7x 2008 二(2011B、 2010C、 2009D、 200813、方程 3x 2 - .、3x -2 =2 的解为已

3、知2x2 -6x y2 =0，则 x2 y2 - 2x 的最大值是(A、14B、 15C、16D、1815、方程x2 -2|x| 2 =m恰有3个实根，则m =（）A、B、 1.5D、2.516、方程x2 亠3x - 一3x +3x7=9的全体实数根之积为（A、60B、-60C、10D、 -1017、关于x的一元二次方程X1 : X2 = 2 :3 ,则 X2 - * 口1 3A、1B、2C、D、-2 218、 已知是a、B方程x2 +x _1 =0的两个实根，则 a4 -3呂=.19、 若关于x的方程兰2- aX_1只有一解，求a的值。x -1x -xx中考真题1 3 11、若x 一丄=1,

4、则X3 一厶的值为（）xx2、已知实数:-、：满足:-2 - 3二一1=0，：2-3-1=0，且、川=1，则-3F；的值为（）A、1B、3C、一 3D、103、 实数x、y满足方程x2 2y2 -2xy - x -3y T =0，则y最大值为（）1 33十卄亠A、B、C、D、不存在2 244、 方程（x2 +x 1 j韦=1的所有整数解的个数是（）A、2B、3C、4D、5225、 已知关于x的方程ax 5x7=0的两根分别为 -3和1,则方程bx ex a =0的两根为（ ）1 11 1A、-和 1B、和 1C、和-1D、-和-13 2326、 实数x、y满足x2 xy y2 =2，记u =x

5、2 -xy y2，则u的取值范围是（）2 2A、 u_6B、u_2C、1_u_6D、仁u_23 32 1 1 17、 已知实数 m, n 满足 m m - 2009 = 0 , 22009 = 0 mn =-1，贝V n=.n nm229、 已知方程x 2k 1x k -2=0的两实根的平方和等于11, k的取值是（ ）A、-3 或 1B、-3C、1D、310、 设a, b是整数，方程 x2+ax+b=0有一个实数根是 J7 -4丿3，则a+b=.13、 已知方程ax4 - a -3 x2 3a =0的一根小于-2 ,另外三根皆大于 -1，求a的取值范围。14、 已知关于x的方程x2 -2x

6、k =0有实数根X1 , X2且y x；，试问：y值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。15、求所有有理数q,使得方程qx2 q，1x q -1 =0的所有根都是整数。一元二次方程培优题及参考答案1、已知 X2 _5x _2000 =0 ,则 X-2-X1_J 的值是(D)x 2A、 2001 答案：DB、 2002C、 2003D、 2004解析：由 x2 一5x _2000 =0 得：x2 _4x =x 2000(x 2 3 (x 1 2 +1x 2-xd Jx2x 2-4x 4_x2 2xx 2=x 2004 x =2004归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的

7、目的。2220042、已知 a 2004a +1=0，贝U 2a 4007a + = a +1答案：2002QQQn解析：由 a 2004 a 1 =0 得：a 1 = 2004a , a = 2004a-1 , a 2004 a原式 =2 2004a -1 -4007a 2004 =a -2 丄=20022004aa归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。3、若 ab 式 1，且 5a2 +2005a +7=0 , 7b2 +2005b+5= 0 ,贝U a = b答案：7由 7b22005b 5 =0 得:2005 17 = 0b5解析:1 1 _ ab =1，即a =丄 把a和丄作

8、为一元二次方程 5x22005x 0的两根bb1a7a=bb5归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。4、已知方程2x2 -2ax 3a-4 =0没有实数根，则代数式 a2 - 8a 16计2 - a二答案：2考点：根的判别式。分析：由方程2x2 -2ax 3a -4 =0没有实数根，得厶0 ,求的a的范围，然后根据此范围化简代数式。解答：解：已知方程2x2 -2ax 3a-4=0没有实数根0，即 4a2 4 2 3a 4 0 , a2 6a 亠8 0 ,得 2 a 4则代数式 Ua2 8a+16 +|2 a|=|a4|+| a _2|=4 _a +a _2 =2归

9、纳：本题考查了一元二次方程根的判别式。当0时，方程没有实数根。同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。5、 已知y =2x二x，则y的最大值为 .答案：978考点：二次函数的最值。专题：计算题；换元法.分析：此题只需先令.6 _x =t _ 0,用x表示t,代入求y关于t的二次函数的最值即可。解答：令 /6 x =t0, x=6_t2则 y =2x . 6 x =12 -2t2 t = -2t2 t 12 = 2 t 丄12I 4丿81又t _0,且y关于t的二次函数开口向下，则在 t处取得最大值4即y最大值为12 1，即978 8归纳：本题考查了二次函数的最值，关键是采

10、用换元法，将：6 - x用t来表示进行解题比较简便。6、已知 ab c =0, abc = 2 ,c0，则（）A、ab 0B、ab_ -2C、a b _ -3D、a b _ -4答案：B考点：根的判别式。专题：综合题。2 分析：由a b c =0 , abc =2 , c 0，得到a, b两个负数，再由a b二-c , ab二一，这 c22样可以把a,b看作方程x2 cx - -0的两根，根据根的判别式得到& =c2 -4上_0 ,解得c_2 ,cc然后由a b - -c得到a b _ -2 解答：/a b c =0,abc =2 , c 0 a 0,b 0, c -0 a b =2c, ab

11、 =c可以把a, b看作方程x2 cx =0 cA -c22-4 2 -0，解得 C_2c = 一 a b -2 ,即a b乞一2c.： _0 .也考查了点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则 元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。27、已知 ab=8, ab+c +16= 0,贝U a+b + c =答案：0考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方。分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。由a _b =8可得a=b 8 ;将其代入ab c216 = 0得：b2 8b c2 -16=0 ;此时可发

12、现b2 8b 16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求 出b、c的值，进而可求得 a的值；然后代值运算即可。解答：t a -b =8a = b 8又T ab +c2 +16 =0 b2 +8b +c2 +16 =0 , 即卩(b +4$ +c2 =0- b = 4 c =0- a =4 a b c =0归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法.2328、已知 m +m1 = 0 ,贝V m +2m 一2006=答案：-2005考点：因式分解的应用。专题：整体思想。分析：根据已知条件可得到 m m =1，然后整体代入代数式求值计算即可。解答：T m

13、2 m1 =0 m2 m =1.原式 =m m2 亠m 亠 m 2006 = m2 亠 m 2006 =1 - 2006 = -2005点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。29、已知 a b =4 , ab +c +4 = 0 ,贝U a +b =.答案：0考点：拆项、添项、配方、待定系数法。专题：计算题.分析：先将字母b表示字母a，代入ab c2 0，转化为非负数和的形式，根据非负数的 性质求出a、b、c的值，从而得到a b的值。解答：T a -b =4 a =b 4代入 ab c2 4=0，可得(b 4 b c2 4=0，即 b 2 i 亠c2 =0-

14、 b=-2, c=0 a=b，4=2- a，b=0归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。10、若方程 x2 - px -q =0 的二根为 X1 , X2，且 X1 1 , p q 3 0，则 x?()A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定答案：A考点：根与系数的关系.专题：计算题.分析：方程x2 px - q解答:方程 x2 px -Xi1 , p q - -3=0的二根为Xi ,=0的二根为Xi， X2，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。X2XiX2 XiX2 X2 Xi 亠i 厂 2T Xi i

15、2X2 i归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题,二 X2 X X23 - *2关键掌握2Xi , X2 是方程 X ，px-q = 0 的两根时，x1 x2 - -p , XtX2 - -q .2i11、已知二是方程x X 0的一个根，则4答案:考点:5因式分解的应用。专题:整体思想。可。分析:根据已知条件可得到 2 _丄=0，即:-2亠很4I二丄然后整体代入代数式求值计算即4解答:-是方程X2 x -丄=0的一个根42i20 ,即亠：4原式丄i血2亠.：.亠i 二2亠很亠i 4:i : -i?- ?点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。243212、

16、若 3x -x =i，则 9x i2x -2x - 7x 2008 二()A、20iiB、20i0C、2009D、2008答案：B考点：因式分解的应用.专题：计算题；整体思想.分析：将 3x2 -x=1 化简为 3x2 -x-1=0，整体代入 9x4 12x3-2x2 - 7x 2008 变形的式子 3x2 3x2 -x -i，5x3x2-x-i，2 3x2 -x-1 20i0，计算即可求解.解答：T 3x2 -x =1，即 3x2 x -1 =0 9x412x3 2x2 7x 2008=3x2 3x2 -x -15x 3x2 -x -1 2 3x2 -x-1 2010 =2010归纳：本题考

17、查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。13、方程 3x 2 -.3x -2 =2的解为 .考点：利用方程的同解原理解答。专题：计算题。解答：、3x 2 一 .3x _2 =2两边同时平方得：3x 2 3x _2 _2. 9x2 _4 =4整理得：9x2 一4 =3x 一2再平方得：-12-8解得：x = 23归纳：本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。14、已知2x2 -6x y2 =0，则x2 y2 2x的最大值是（）A、14B、15C、16D、18答案：B考点：完全平方公式。分析：由2x2 -6x - y2 =0得y2 = _2x2 6x代入x2 - y2 2x，通过二次

18、函数的最值，求出它的最大值。解答：2x2 _6x +y2 =0 化为 y2 = -2x2 +6x，0 兰 y 兰9,0 兰x 兰3故 x2 + y2 +2x = 8x _x22二次函数开口向下，当 x=4时表达式取得最大值由于0乞x乞3所以x=3时此时y=0，表达式取得最大值：15点评：本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。15、方程x2 -2|x| 2 =m恰有3个实根，则 m =（）D、2.5A、1B、1.5C、2答案:C考点:解一兀二次方程-公式法；绝对值；-兀二次方程的解。专题:解题方法。

19、分析:x_0时，原方程为:因为万程中带有绝对值符号，所以讨论万程的根分两种情况：当x2 -2x 2 =m ；当 x 0 时，原方程为 x2 2x m .解答：当x _0时，原方程为：x2-2x，2=m，化为一般形式为：x2_2x2_m=：0用求根公式得：x二2 4m_4 =1 _ . m -12当x 0时，原方程为：x2 2xm，化为一般形式为：x2 2x 2 - m =0用求根公式得：虬兰一仁.m-12t方程的根恰为3个，而当m=2时，方程的3个根分别是 石=2 , x2 =0 , x3 =-2 . 归纳：本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m的值。2316、方程x 39的全体实数根之积

20、为（）x +3x 7A、60B、 60C、10D、 -10答案:A考点:换兀法解分式方程。专题:换兀法。分析:23设x2 3x 7 = y，原方程化成工=2，再整理成整式方程求解即可。y解答:3设 x 亠 3x _7=y，贝卩 y2- - y _2y-3=0，解得 y - -1 , y2 = 3y.n,2心/口_3 J；33当-1 时，x 3x 7 =-1，解得 x当y2=3时，x2 3x - 7=3，解得 x =2 或-5一3. 33_3 -. 332-5 =60归纳：本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把x23x_7看成一个整体来计算,即换元法思想。217、关于x的一元二次方程 2

21、x 5x-a=0( a为常数)的两根之比 石化=2:3，则x? -洛二()A、11 3B、2C、D、上2 2答案：C考点：一兀二次方程根与系数的关系及求解。解答：设2x2 -5x -a =0的两根分别为2k , 3k，由根与系数的关系得：2k 3k，2k 3k 二-2 2 k,a 二-32归纳：本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公式巧妙变形。18、已知是a、B方程x2 +x -1 =0的两个实根，则 a4 3P =答案：5考点：根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。专题：计算题。分析：由方程的根的疋义，可知、一-1 =0，移项，得=1 -，两边平方，整理得/ =2-3；由一元二

22、次方程根与系数的关系，可知- -1；将两式分别代入-3“，即可求出其值。解答：是方程 x2 X -1 =0 的根2 仁.：-1=0 . : 2 =1 - :.、4 =1-2： 2 =1 -2二亠1 - ：-2 - 3-0 2占=Q -1 j _4ac 兰01t a 0 , ac _ 016a - 01ac -16 c -0t 1= a+cX2jac 2当且仅当a =c =丄时，等式成立-f （x）=丄X+ x+2, 164424点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。“2 *21、已知 f x 二 ax bx c

23、a = 0 .（1）对任意 X1 , X2，当 X1 X2 有 f X1 = f X2，求证：f XX1 f X2两个不相等的2实根且有一根在（Xt， x2）内。（2）若 ffX12fX2 在（X1 , X2）内有一根为 m且为X2=2m-1.右fx=0的对称轴为x=x0.求证：焉 m2考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质.专题：计算题；转化思想.分析：（1 ）通过计算一元二次方程的判别式大于0,可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为g x ,由g石g X20，可得方程有一个根属于（ 石,化）.（2 ）由题意可得 fm 二丄,即 a 2m2 - x

24、： - x；严 b 2m - X1 - x? = 0 ,由于Xt x2 =2m -1，故 b = -a 2 m2 -x； -x：,b2a2m2x；2m 22X1X；证得结2论。解答： 证明：（1）t f x =f X2f x = ax2 bx c = ax； bx1 c ax2 bx2 c2 2整理得：2ax2 2bx a x； x Ab Xt x2 =0A =4b2 +8a a（x； +x； ）+匕（石 +x2 puzbaxt +b j +（2ax2 +b j 】t X1 X2 2ax1 b 2ax2 bt A -0故方程有两个不相等的实数根令 g x = f x 一 f X1 f X2则

25、g X1 g x? # f 召-f X2 F又 f = f X2则 g X! g X20故方程f X i= f XT 2 f X2有一根在（Xi , X2）内。（2方程 fx=U A 在（Xi , X2 ）内有一根为 m fm=21上2 2二 a 2m2 -X1 -x； i亠b 2m -X1 -x2 =0Xi 亠 X2 =2m -1222b - -a 2m Xi x故Xq =b2a2 j 22 .2m - XiX22m22XiX22m2点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质, 体现了转化的数学思想。一元二次方程成都四中考试真题1、若i3x 一 =i，贝U

26、 xXi-一y的值为（）XA、3B、4C、5D、6答案：4考点：因式分解的应用。专题：整体思想。解答：i i.-X =i.X3 ix 飞X卜；丿了 i 1卜小3=4归纳：本题关键是将x-i作为整体，然后将 x3 -丄进行因式分解变形解答。XX2、已知实数 二、：满足二2 3：- -i = 0 , ：2 -3三T =0，且、丄 口，则.：s 23 -的值为（）A、iB、3C、一 3D、i0答案：D解析：由：2 一3 ： =0 得：一3： | i 一 丄=0 ,即 Jy =i - 3 ,丄-3T Ji卜=i，即=丄 .把_：1和i作为一兀二次方程 x2 3x-i = 0的两根丄 32 3 3 丄.

27、、 、g - -3, = -i，即=-=i 9 =i0.：3 ：=丄 3 ：=a归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。3、实数x、y满足方程x2 - 2y2 -2xy - x -3y 7=0，则y最大值为（）A、-2B、空23 十亠亠C、D、不、彳存在4答案：B考点：根的判别式。专题：计算题；转化思想。分析：先把方程变形为关于x的兀二次方程 x亠I.1_2yx2y _3y1=0，由于此方程有解，所以二0 ,这样得到y的不等式4y2 8y 0，解此不等式，得到y的取值范围，然后找到最大值。解答：把X22y2 2xy x -3y 0看作为关于 x的x2 2y x 2y

28、2 -3y 仁0，并 且此方程有解，所以 厶_0,即1_2y 2 _4 2y2 _3y 1 _02 4y -8y 3 _0 , 2y -3 2y -1 _01 33二一 _y故y的最大值是一2 22点评：本题考查了一元二次方程 ax2亠bx亠c=0 （ a = 0, a, b, c为常数）根的判别式。当-0，方程有两个不相等的实数根；当.： =0 ,方程有两个相等的实数根；当 .: 0 ,方程没有实数根。同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。4、方程2x -X2 =?的正根的个数为（）xA、3个B、2个C、1个D、0个答案：D考点：二次函数的图象；反比例函数的图象。2分析：此题实质是求

29、函数 y! =2x-x2和函数y2二 的图象在一、四象限有没有交点，根据x两个已知函数的图象的交点情况，直接判断。解答：设函数y1 =2x -X2，函数y2 =2x函数 =2x-x2的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（1, 1）,对称轴x = 12函数y2 =的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限x2即方程2x -x2 =的正根的个数为 0个。x归纳：此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握。x 35、方程x x -11的所有整数解的个数是（)A、2B、3C、4D、5答案：C考点：零指数幕。专题：分类讨论

30、。分析：方程的右边是1,有三种可能，需要分类讨论。第1种可能：指数为0，底数不为第2种可能：底数为1 ;第3种可能：底数为 _1，指数为偶数。解答：（1 ）当 x 3 =0 , x2 x _1 =0 时，解得 x -占;（2）当 x2 x _1=1 时，解得 x = _2 或1 ； （3）当x2 x -1 , x 3为偶数时，解得x=_1因而原方程所有整数解是_3 , -2 , 1, _1共4个。点评：本题考查了： a0 =1（ a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于 1。本题容易遗 漏第3种可能情况而导致误选B，需特别注意。2 26、关于x的方程ax bxc=0的两根分别为-3和1，则方

31、程bx cx 0的两根为（）1 11 1A、_-和 1B、-和 1C、-和-1D、-和 _13 232答案：B考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解.分析：因为方程的两个根为 一3和1,所以方程可以方程因式为 ax 3 x_1 =0,用含a的 式子表示b和c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。解答：T ax2 bx c =0 的两根为-3和 1 a x 3 x -1 = 0整理得：ax2 2ax - 3a =0 b =2a , c -3a把 b, c 代入方程 bx ex a =0，得：2ax -3ax a = 0a 2x -1 x -1 =01 彳x1, X2 =12归纳

32、：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c,然后把b, c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。7、 实数x、y满足x2 xy y2 =2，记u =x2 -xy y2，则u的取值范围是（）22A、u E6B、u 2C、 1 辽u 辽6D、 1 乞u 乞23 3答案：A考点：完全平方公式。专题：综合题。分析：把原式的xy变为2xy - xy ,根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的 xy变为-2xy - 3xy，冋理得到xy的另一个氾围，求出两氾围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2 -

33、 2xy的范围，最后利用已知x2 xy y2表示出x2 y2，代入到u中得到u = 2 -2xy, 2 - 2xy的范围即为u的范围。解答：由 x2 +xy +y2 =2 得: x2 +2xy + y2 _2 xy =0 即（x + y=2 + xy 芒0，贝y xy 2由 x2 xy y2 =2 得：x2 -2xy y2 -2 3xy =0即（x y=2 3xy王0，贝廿xy兰2 2兰xy兰纟33不等式两边同时乘以 2得：4_/xy_；4 2两边同时加上 2得：4_2 _2xy 一几2，即_：2_2xy63 3 x2 xy y2 =2x2 y2 =2 _xy u =x2 _xy y2 =2

34、_2xy则u的取值范围是2乞u乞63点评：此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强，对已知的 式子进行了三次恒等变形，前两次利用拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出 u关于xy的式子，从而求出u的范围。要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方 和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方.2 1118、已知实数 m, n满足 m m -2009 = 0 , 2009 =0 mn = -1，贝Vn =n nm1 1由2009 =0 得:n n-n作为一元二次方程考点：一元二次方程根与系数的关系。分析：根据题意：由 mm_2009 =0得：2009

35、丄 丄-1=0;m m2009 -n n -1=0，又因为 mn= -1，即 丄=-n，因此可以把m2 1 1 2009x x -1 =0的两根，由根与系数的关系得：nm20092 1 1解答：T m m-2009 =0，二 2009 =0 n n 2009 -.把丄，_n作为一元二次方程 2009x2 x -1 = 0的两根 m归纳：本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了mn = -1这个条件隐含的题意。9、已知方程x2 2k 1x k2 -2=0的两实根的平方和等于 11, k的取值是（ ）A、-3或 1B、-3C、1

36、D、3答案：C考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式。分析：由题意设方程x2亠2k 1 x k2- 2 = 0两根为石,x2 ,得x!x - 2k1 ,x/2二k2 -2,然后再根据两实根的平方和等于11,从而解出k值。解答：设方程x2 2k，1 x k22 =0两根为x, , x2 _1 =0 , 2009 n 2-n -1 =0V_m 丿m得 x1 - x2 = -2k 1 , xh =k2 一2，二(2k +1 f _4(k2 _2 )=4k + 9 A o k 22j2T XiX211. Xi X2 ： 2X1X2 =11.2k 1 2 -2k2 _2j=11解得

37、k =1或-3 k - -9归纳：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题。/ a, b是整数7 +2a +b =04 a = 0a = -4b =110、设a, b是整数，方程x2+ax+b=0有一个实数根是 丁7 4J3，则a+b=答案：-3考点：一兀二次方程的解；二次根式的化简求值。专题：方程思想。分析：一个根1 32.3代入方程，得到a, b等式，再由a, b是整数，可以求出 a,b的值。解答：.7 _4“ 3 =2 _ ,3，把 2代入方程有：7 _4、3 - 2 _ 3 a b = 07 2a b j亠4

38、-a .3 =0归纳：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程， 由a, b是整数就可以求出 a,b的值。11、已知函数y =x2 b -1 x c , (b, c为常数)，这个函数的图象与 x轴交于两个不同的 两点A ( X1 , 0)和B ( X2 , 0)且满足X2 -石-1.(1) 求证：b _2 b 2c(2) 若t X1，试比较t2 bt - c与X1的大小，并加以证明。考点：抛物线与X轴的交点。专题：证明题；探究型。分析：(1 )首先利用求根公式求出 X的值，再由X2 为 1求解；(2)已知 X2 b -1 x c = x -X1 x -X2 推出 t -X1 t -X2

39、 1 .根据 t X1 推出答案。解答：证明：(1)T 令 y =X2 b -1 X c 中 y = 0 得到 X2 b -1 X c = 0-b -1 厂 丫 ib -1- 4cX 2又 X2 -X1 A1 J(b -1 2 -4C A1b2 -2b +1 -4c1 b A2(b+2c )(2)由已知 x2 bx c = x - Xt x - x2 严 x2 t bt ： c = t _ Xt t _x2 i亠t2- t bt c = t xt t -x2 i亠t xt = t xt t x2 1T t xt t - xt 0T x2 - xt -1. t x x2 -12 t X2 ： 1

40、 0- t % t X2 1 r 0 即 t bt c xi归纳：综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识。12、已知关于 x的方程a 2 x2 -2ax - a =0有两个不相等的实数根 X和沁，并且抛物线y =x2 -：；2a 1 x 2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。（1）求实数a的取值范围；（2）当引-卜2 =2.2时，求a的值。考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。分析：（1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出 a的取值范围。设抛物线y =x2 -（2a +1 x +2a -5与x轴的两个交点的坐标分别为（ a , 0）、（ P ,

41、 0），且a Y 0 口、 是x2 - 2a J x 2a -5 =0的两个不相等的实数根，再利用 x2 - 2a 1 x 2a - 5 = 0的根的判 别式求a的取值范围，又t抛物线y =x2 - 2a 1 x 25与x轴的两个交点分别位于点 （2, 0） 的两旁，利用根与系数的关系确定；（2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值。解答：解：（1 ）t关于x的方程a 2 x2 2ax，a=0有两个不相等的实数根a +2 式0=（-2a J -4a（a+2）0解得：a 0 ,且a = _2设抛物线y =x2 - 2a 1 x 25与x轴的两个交点的坐标分别为 （：，0）、（ 一：，0）

42、,且:-：、是x 2a 1 x 2a -5 =0的两个不相等的实数根T . ： - L 2a 1 2 -4 1 2a _5 = 2a _1 221 - 0 a为任意实数由根与系数关系得：- -2a 7， -2a-5T抛物线y =x2 - 2a 1 x 25与x轴的两个交点分别位于点（2, 0、的两旁鳥 i；2，弘:2 ：； - 2-2 0:川.2很亠卩广 4 0 2a-5-2 2a，140 解得：a 一 -3 2由、得a的取值范围是-3 a 02(2)v Xi和X2是关于x的方程a 2 x2 _2ax a =0的两个不相等的实数根a,XiX2a +22aXi X2a +2-3 a 02a a 2 _0 xix20a +2不妨设x - 0,X20 Xi亠 X2=Xi - X2 =2.2 x； 2x2=8，即(為 +x2 j -4XtX2 =8经检验,ai4a=8解这个方程，得:a? - -i都是方程a, - -4， a2 _ -