2015南开中学高三年级模拟考试(5月)

1、2015南开中学高三年级模拟考试（ 5 月） 第1页（共8页） 一、选择题（共 8小题；共40分） ，则 1.复数满足: A. B. C. D. 2.已知全集 A. B. C. D. 3.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 A. B. C. D. 4.已知 为异面直线, 平面， 平面 ，直线 满足 ，则 A. ，且 B. ，且 C.与相交，且交线垂直于 D. 相交, 且交线平行于 5.设， ，若 ，则-的最大值为 A. B.- C. D.- 6.设 ，则对任意实数 A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图, 是椭圆 与双曲线

2、的公共焦点, 分别是 在第二、四 象限的公共点.若四边形 为矩形，则 的离心率是 A. B. C.- D. 间的“距离”定义为 8.在平面直角坐标系中，两点， 距离”之和等于定值（大于 ，则平面内与轴上两个不同的定点 的点的轨迹可以是 二、填空题（共 6小题；共30 分） 9.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 10.已知 ，则二项式 的展开式中含项的系数是 11.如图，在 延长线交 中， 的外接圆于点 ，则 ，点是 的中点, 于点 12.已知直线的参数方程为 为参数），圆的参数方程为 为参 数），则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 13.如图，在四边形 值为. 中, 是等边三

3、角形，则 第2页（共8页） 14.已知函数 成立，则 的取值范围为 三、解答题(共 6小题；共78分) ，对任意的 ，不等式 第3页(共8页) 道题中随机抽出道题进行测试，在 15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的 备选的 道题中，甲答对其中每道题的概率都是-，乙只能答对其中的道题答对一题加 分，答错一题(不答视为答错)得 分. (1) 求乙的得分的分布列和数学期望； (2) 规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率. 16.已知函数 (1)求函数 的最小正周期及单调递增区间; (2)在 中, 分别为角 所对的边，若 ，求 的值. 17.如图，在

4、三棱柱 中, 是边长为的正方形，平面 平面 (1) 求证： (2) 求二面角 平面 的余弦值; (3)证明：在线段 存在点，使得 ，并求一的值. 18.椭圆 的左焦点为 ，右焦点为，离心率 -.过的直线交椭圆 两点，且 (1)求椭圆的方程; 的周长为 (2)设动直线与椭圆 探究：在坐标平面内是否存在定点 的坐标；若不存在，说明理由. 19.已知数列 的前项和为，若 (1)证明：数列 有且只有一个公共点，且与直线 ，使得以为直径的圆恒过点 相交于点.试 ?若存在，求出点 (2)设 是等差数列，并求出 =，数列 的前项和为 ，且 的通项公式； ，证明：-. 20.已知函数 (1)当 时，求函数 的

5、单调区间; (2)若函数 有两个极值点 ，且 ，证明: 对于任意 时，总存在 成立，求实数的取值范围. 第8页(共8页) 答案 第一部分 1. D2. B3. D4. D 5. C 6. A7. D8. A 第二部分 9. 10. 11. 12. 13. 14. 第三部分 15. (1)设乙的得分为 的可能值有 乙得分的分布列为: (2)乙通过测试的概率为 甲通过测试的概率为 甲、乙都没通过测试的概率为 因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 16. -得, (2) 的单调递增区间为 ，则 所以 所以 所以 17.（ 1） 所以 因为 为正方形, 因为平面 平面 ，且 垂直于这两个平面的交

6、线 所以 平面 （2） 由题知 所以 如图，以 为原点建立空间直角坐标系 设平面 的法向量为 ，即 ，则 所以 同理可得，平面 的法向量为 所以 由题知二面角 为锐角, 所以二面角 的余弦值为 （3）设 所以 是直线 上一点，且 解得 所以 ，即 ，解得 因为一 所以在线段 上存在点，使得 此时, 18. （ 1）设 ，则 第14页（共8页） 的周长为 椭圆的方程为一 由对称性可知设 直线 恒成立 ，得 19. （ 1） 所以当 因为 时, 两式相减, 所以 ，即 中, ，得 所以 所以 故数列 是首项为，公差为的等差数列，且 所以 (2) 由 知, 时, 时, 20. ( 1) 时, ，令 ，有 -或 时, ；当- 时, 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 所以 由于 有两个极值点 1，即 ，则 有两个不相等的实根, 所以 所以 上单调递减, 所以 ，即 所以 因为 所以 所以 所以 所以 所以 令 是 在 因为 当 时， 当 时，令 若 ，