分岔与混沌PPT课件

1、2021-4-261 分岔与混沌分岔与混沌 2021-4-262 第一章第一章 分岔分岔 从一个例子说起从一个例子说起 分岔的定义及类型分岔的定义及类型 典型的分岔典型的分岔 求解方法求解方法 工程和自然界中的例子工程和自然界中的例子 分岔研究的历史与现状分岔研究的历史与现状 分岔研究的意义分岔研究的意义 2021-4-263 什么是分岔现象? 2021-4-264 1 1 从一个例子说起从一个例子说起 例1 Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题。这是Euler在1744年研究的 一个问题，它是一个最简单的分岔现象。 图1 Euler杆 2021-4-265 EulerEuler直杆弯曲满足

2、下列非线性微分方程及边值 sin0 (0)(1)0 P 2 P 0当时，杆保持着原来的直线平衡态，即 2 P 0 当时，有三种平衡状态,原来的直线变成不稳定 态(保持直线)，稍有扰动平衡状态便会偏向 +s 或 -s 。偏向 +s 或-s 方向 分岔出稳定的弯曲状态，即 2021-4-266 P 2 P 图2 Euler直杆随压力变化的分岔图 2021-4-267 分岔的定义及类型 2021-4-268 .1 .1分岔的定义分岔的定义(Bifurcation)(Bifurcation) 分岔现象是指动态系统的定性行为随着系统参数的改变而分岔现象是指动态系统的定性行为随着系统参数的改变而 发生质的

3、变化。泛指在一个动力学系统中，当控制参量改变时，发生质的变化。泛指在一个动力学系统中，当控制参量改变时， 其相图发生拓扑结构的突然变化，包括解的数目的变化、解的稳其相图发生拓扑结构的突然变化，包括解的数目的变化、解的稳 定性的变化等。定性的变化等。 力学上力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分 为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过 压杆的临界负荷时，压杆的临界负荷时， 会出现弯曲。会出现弯曲。数学上数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时 其解发生突变的临界

4、点附近的行为。其解发生突变的临界点附近的行为。 2021-4-269 我们知道Jacobi矩阵的特征值确定系统状态的稳定性。对于 一般动力系统，控制参数的变化会引起特征值的变化，当控 制参数达到分岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它可 以表现为 在复平面的运动。由此也可以定义三种分岔类 型: () 1. 1.叉型分岔、鞍叉型分岔、鞍- -结分岔和霍普分岔结分岔和霍普分岔 2021-4-2610 Re( )0 Re( )0 0 2021-4-2611 十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔，而霍普分岔是复 分岔，不论哪一种分岔，它们在分岔点均满足： Re( () 0 d d 2021-4-26

5、12 3. 局部分岔局部分岔和和全局分岔全局分岔 2.2.静态分岔静态分岔和和动态分岔动态分岔 局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构如何发生变化。 全局分岔则分析向量场的大范围的拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔 都属于局部分岔，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局 分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局分岔分析是十分 困难的，甚至是不可能的，所以对局部分岔的研究就显得尤为重要 。 静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和稳定性如何发生变 化，如叉形分岔和鞍结分岔等；动态分岔，主要是指解的类型发生变 化，如由平衡点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周期分 岔）等

6、。 2021-4-2613 3 典型实例 2021-4-2614 典型实例典型实例 3.1 3.1 叉型分岔叉型分岔 32 ()xxxxx 上式中，x 是实数， 是可正可负的参数，令 =0，可知方程(1)的定态平衡解是 （1） 0,0 0,0 x xx 当 和当 其平衡态的稳定性可由JacobiJacobi矩阵的特征值特性，也即由下式来决定。 2 3x 典型实例是 x 2021-4-2615 图3 叉型分岔超临界情况 图4 叉型分岔亚临界情况 我们再考虑另一种对称情况，即 32 ()xxxxx 平衡点 0,0 0,0 xx x 和 而对应特征值则为 2 x 对于图3，当 时，平衡态的一个分支是

7、稳定的；然而当 时，这一支就变得不稳定了；一 旦当 有新的平衡分支解 又变成稳定的了，这种情况被称为超临界分岔超临界分岔。反过来，若 新的平衡分支解 ，在 时是不稳定的，则称之为亚临界分岔亚临界分岔。 c c c x x c 2021-4-2616 3.2 3.2 霍普分岔霍普分岔 22 1 22 2 ()( ,) ()( ,) xyxxyfx y yxyxyfx y 是一个平衡点，其Jacobi矩阵是 0,0 xy 11 22 0 0 1 1 x y ff xy J ff xy 得出特征值 i 由此可见，当参数由负变正时， 点（0，0）则由稳定的平衡点变成不稳定的平衡点。 分别沿实轴上方和下

8、方穿过虚轴， （2） 2021-4-2617 令 cos sin xr yr 经过变换可得 2 ()( ,)rrrf r rr 0r 1 当时，有 （3） （4） 式（4）表明，轨线以常速度 旋转。而(3)式则说明还存在另一平衡态，即： r00r 。这种情况与叉型分岔十分相似： 时，是稳定焦点； 00r 而当时，就变成不稳定点， 从而分岔出半径为 r 极限环。这种由失稳后出现的极限环分岔称之为霍普分叉。如下图所示。 的 2021-4-2618 图5 霍普分叉超临界情况 2021-4-2619 3.3 3.3 鞍结分岔鞍结分岔 典型方程 2 xx 由0 x 得平衡点 (a)当0时,解解 x0 为

9、虚数，因此不存在平衡点。 方程的解在x0=0处发生了分裂。 x 解时，解是不稳定的，它是鞍点鞍点。 （） x解时，此解是稳定的，是稳定的结点结点。 ，说明上述(b)当0时出现两个平衡点 0 x 2021-4-2620 图6 鞍结分岔 2021-4-2621 4 求解方法 研究分岔的一些方法 奇异性理论奇异性理论方法方法 2021-4-2622 奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化为较简单的范式 （Normal Form）进行识别和分类，再通过“普适开折”得到一般扰动下可能 出现的所有分叉性态，随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态 分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。

10、 对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应用奇异性方法。 该方法参考： 1. Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. Proc. of the 17th IUTAM, 1988 2. Arnold V I. 数学和力学中的分叉和奇异性. 力学进展，1989, 19(2):59-66 3. Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation Theory. Vol.1, Springer-

11、Verlag, 1985 庞加莱庞加莱-伯克霍夫伯克霍夫(PB)规范形规范形方法方法 2021-4-2623 考虑微分方程 x=f（x），xRn （1） 设f（x）足够光滑，且f（0）=0。 现在研究对于某个给定正整数r2，通过坐标的多项式变换，使得在f的泰勒展开 式中直到r次的项都有比较简单的形式。 庞加莱伯克霍夫范式定理 设f（x）是Cr向量场（r2），f（0）=0，L=Df（0）， 则在原点附近存在一个坐标的r次变换，使得在新坐标系中，方程（1）化为下面的 标准形： y=Ly+g2（y）+gr1（y）+gr（y）+o（yr） （2） 系统y=Ly+g2（y）+gr1（y）+gr（y）称为

12、方程（1）的一个r阶（截断）PB范 式。 2021-4-2624 需要注意： 1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。 2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结构往往有密切的关系， 但并不一定相同。一般来说，对于给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反 映原系统的定性性态仍然是一个未完全解决的问题。 3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通常就能提供重要的定 性性态信息，这对原系统拓扑结构的研究有很大帮助。 庞加莱庞加莱-伯克霍夫伯克霍夫(PB)规范形规范形方法方法 2021-4-2625 经典作品参考： (a) Arnold V I. Geomet

13、rical Methods in the Theory of ODE. Springer-Verlag, 1983 (b) Wang D. An introduction to the Normal Form theory of ODE. Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71 (c) Guckernheimer J and Holmes P. Nonlinear Oscillators, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-verlag, 1983 如何求PB规范形

14、方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、共振法等。对于高维 系统需要应用计算机代数、定理机器证明等工具。 如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数方法等（目前无其它 更好方法）。 中心中心流形定理流形定理 2021-4-2626 把一个对n维动力系统在奇异点附近的各种性态的研究简化为一个m维（m3，周期一点不再稳定。初值稍有 变化，迭代的结果就再也不会回到周期一点 ，而出现了周期二。 例如： 当 时，0.7是周期一点。现用0.669去迭代，就会出现 周期二。迭代情况如下： 0.669-0.738-0.644-0.764-0.601-0.799-0.545- 0.829-0.472

15、-0.830-0.469-0.830-0.470-0.830- 0.470 1 3 3 2021-4-2696 4.1 倍周期分岔 现在，让参数再增大，当=3.449时，周期二解也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解。当参数 继续增大，使得=3.544时，周期四解又变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期八解。一直迭代下去， 还会出现周期十六、周期三十二等等。这就是著名的倍周期分岔现象。 2021-4-2697 4.1 倍周期分岔 值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一直这样分下去，但对应的值却有一个极限,，到达,时， 迭代的稳定解是2 周期解-周期无穷大，也就是没有周期。所以这时得到的是

16、非周期解，迭代的数据到处 乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。 2021-4-2698 图4-1 倍周期分岔图 2021-4-2699 图4-2 混沌内部的自相似结构 2021-4-26100 图4-3 倍周期分岔谱图 2021-4-26101 4.2 阵发混沌阵发混沌(Intermittent chaos)(Intermittent chaos) 1979年，法国数学家玻木(Pomeau)和曼维尔(Manneville)在计 算洛论兹方程的 y 分量时发现： 当瑞利参数 r 在到达临界值 rc 附近时 y 分量的周期性变化被 一种随机的、突发性的冲击所打断。当rrestart: # 命MAPL

17、E清零，开始计算 alias (omega=w, omega0=w0, epsilon=e): # 为希腊字母取代号 eq:=diff (u(t),t$2)+w02*(u(t)+e*u(t)3)=0; # 形成Duffing方程并显示结果1 u(t):=a*cos(w*t): # 设周期解的形式 2 23 0 2 :0eqututut t 1 在MAPLE中，diff(u(t), t$n) 表示将u关于t求n阶导数，一阶导数可用diff(u(t),t)。若求由f (x,y)= 0确定的隐函数 导数y (n)，可用命令implicitdiff(f(x,y),y,x$n)计算。在显示导数计算结果时

18、，导数符号都采用。求积分的命令是 int(f(x), x)和int(f(x), x=a.b)，前者求f (x)的不定积分，结果是不带任意常数的原函数，后者计算f(x)在区间a,b 上的定积分。 例 1 用谐波平衡法求Duffing方程的周期解 2021-4-26124 combine (eq,trig): # 将解代入方程并对三角函数作积化和差 eq:=collect (, cos(w*t),a); # 合并同类项并显示结果 blc:=coeff (lhs (eq),cos(w*t)=0; # 取cos(t)项的系数并令其自相平衡1 w= sqrt (solve (blc,w2); # 由上式

19、求出自由振动频率 222323 000 31 :coscos 30 44 eqaatat 2223 00 3 :0 4 blcaa 1 lhs表示等式的左边。类似的，rhs表示等式的右边。 222 00 3 4 a 2021-4-26125 3 典型实例 2021-4-26126 3 3 混沌的特征混沌的特征 第一个特征：对初始条件的敏感性第一个特征：对初始条件的敏感性 蝴蝶效应(butterfly effect) 第二个特征：不可预测性第二个特征：不可预测性 第三个特征：有界性和遍历性第三个特征：有界性和遍历性 乱中有序 第四个特征：第四个特征：自我相似性 分形(fractal)fractal) 第五个特征：非周期性第五个特征：非周期性 功率谱的连续与宽频带 2021-4-26127 第一个特征：对初始条件的敏感性第一个特征：对初始条件的敏感性 3 混沌的特征 2021-4-26128 4.1 倍周期分岔 值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一直这样分下去，但对应的值却有一个极限,，到达,时， 迭代的稳定解是2 周期