2.5 有理数的乘方-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读题型专练》（北师大版2024新教材）

第第页2.5有理数的乘方

【考点1有理数幂的概念理解】【考点2有理数的乘方运算】【考点3有理数四则混合运算】【考点4程序流程图与有理数计算】【考点5算“24”点】【考点6含乘方的有理数混合运算】【考点7科学记数法】【考点8近似数】【考点9有理数四则混合运算的实际应用】

知识点1：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点2：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。【考点1有理数幂的概念理解】【典例1】在−324中底数是【答案】−32【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题．【详解】解：在−324中底数是−故答案为：−32【变式1-1】在−1.52中，底数是，指数是，幂是【答案】−1.522.25【分析】本题主要考查有理数的乘方，an中，a叫做底数，n【详解】在−1.52中，底数是−1.5，指数是2，幂是2.25故答案为：−1.5；2；2.25【变式1-2】−53表示（A．3个−5相乘 B．3个5相乘的相反数C．5个−3相乘 D．5个3相乘的相反数【答案】B【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握ana≠0表示n个【详解】解：−5故选B．【变式1-3】算式4+4+…+4m个4A．4m−7n B．4m−7n C．【答案】C【分析】本题主要考查有理数的加法及乘方运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据有理数的加法及乘方可进行求解．【详解】解：由题意得4+4+…+4m故选C．【考点2有理数的乘方运算】【典例2】计算2×42×【答案】1【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先计算42，同时根据乘方意义把183【详解】解：原式=2×16×=2×2×==116，故答案为：116【变式2-1】−−A．−3 B．3 C．9 D．−9【答案】D【分析】本题考查绝对值的计算，有理数的乘方运算，注意符号是解题关键．根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可．【详解】解：−−故选：D．【变式2-2】下列四组数中，互为相反数的是（

）A．(−1)2024和(−1)2023B．23和−32 C．−(−5)和−5【答案】A【分析】本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．先根据乘方运算的法则、绝对值的法则进行计算，再根据相反数的定义逐一判定即可．【详解】解：A、(−1)2024=1，B、23=8，C、−−5=5，D、−33=−27，故选：A．【变式2-3】下列各对数中，相等的是（

）A．32与23 B．−32与−32 C．3×23与【答案】D【分析】本题考查了有理数的计算，大小比较，根据乘方的意义，计算，比较大小即可．【详解】A.32=9，2B.−32=−9，C.3×23=216，3×D.−23=−8故选D．【考点3有理数四则混合运算】【典例3】计算：(1)12+−18÷−6【答案】(1)21(2)-19【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．（1）先计算乘除，然后计算加减；（2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．【详解】（1）12+=12+3+6=21；（2）−=−4+=−4+=−4−16+1=−19．【变式3-1】计算：(1)−23+36−−27−40×2；(2)【答案】(1)−40(2)0【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）先去括号，再按照混合运算法则进行计算即可；（2）先算出乘方，再去括号，最后进行混合运算即可．【详解】（1）解：−23+36−=−23+36+27−80=−40；（2）解：−=−1−=−1−=−1+1=0．【变式3-2】计算(1)(−72)×(【答案】(1)−1(2)32．【分析】（1）先进行括号里面的运算，再根据有理数的乘除运算法则进行计算即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后相加减即可；本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式==−7=−1（2）解：原式=−8+=−8+16−=−8+16+24=−8+40，=32．【考点4程序流程图与有理数计算】【典例4】按如图所示的程序计算，若输入x的值为−1，则输出的y值为．【答案】4【分析】本题考查有理数计算．根据题意代入数值−1按照程序图计算即可得到本题答案．【详解】解：∵输入x的值为−1，∴(−1)2×2−4=−2，(−2)2×2−4=4，故答案为：4．【变式4-1】小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是．【答案】6【分析】此题考查了有理数的混合运算，把5代入计算程序中，根据图中流程列出式子，计算，即可确定输出的数，解题关键是掌握有理数的混合运算法则．【详解】解：把5代入计算程序中得：[5+4−(−=(5+4+9)×(=18×(−=6，∵6>5，∴输出的数是6，故答案为：6．【变式4-2】在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为．【答案】3【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第4次开始，每2次1组，每组按照3，6的顺序循环的规律是解题的关键．【详解】解：第1次96×1第2次48×1第3次24×1第4次12×1第5次6×1第6次3+3=6，第7次6×1……从第4次开始，每2次1组，每组按照3，6的顺序循环，2023−3÷2=1010∴第2023次为第1010组第二个，∴第2023次输出的结果为3，故答案为：3．【考点5算“24”点】【典例5】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？答：我抽取的2张卡片是、，乘积的最大值为．(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？答：我抽取的2张卡片是、，商的最小值为．(3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少；答：我抽取的2张卡片是、，组成一个最大的数为．(4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）．答：我抽取的4张卡片算24的式子为．【答案】(1)−3、−5；15；(2)−5、+3；−(3)−5、4；−5(4)0−【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键．（1）根据有理数的乘法法则即可确定；（2）根据有理数的除法法则即可确定；（3）根据有理数的乘方运算即可确定；（4）根据有理数的混合运算法则即可确定．【详解】（1）解：∵−3×−5=15，+3×∴抽取−3、−5两张卡片的乘积最大，最大值为15．故答案为：−3、−5；15；（2）∵35∴抽取−5、+3两张卡片相除的商最小，最小值为−5故答案为：−5、+3；−5（3）∵−34=3∴抽取−5、4两张卡片，组成的最大值为−54故答案为：−5、4；−54（4）抽取−3、−5、0、3，则0−−3故答案为：0−−3【变式5-1】“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，−8，请列出符合要求的算式：．【答案】3+5×4−8=24【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则列式即可．【详解】解：3+5×4−8=24故答案为：3+5×4−8=24【变式5-2】“24点”的游戏规则是：用“+、−、×、÷”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24．例如：给出2，2，2，8这四个数，可以列式2÷2+2×8=24．以6、3、3、8这四个数用“+、−、×、÷”四种运算符号列出算式为【答案】6+3×【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列式计算即可求解．【详解】解：依题意，6+3×故答案为：6+3×【考点6含乘方的有理数混合运算】【典礼6】计算下列各题：(1)−(2)−(3)(−1)(4)−【答案】(1)−10(2)1(3)2(4)−11【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．（1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可；（2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；（3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；（4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题．【详解】（1）解：−2=−4+18−24，=−10；（2）解：−1=−1+7=1（3）解：(−1)5=−1−−=−1+5=2（4）解：−5=−25×4=−20=−111【变式6-1】计算：−2+【答案】19【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算绝对值、有理数的乘方，再计算有理数的乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．【详解】解：−2=2+9×=2+3+6−=19【变式6-2】计算：−2【答案】1【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先计算乘方和乘除，然后计算加减．【详解】−2=2+9×=2+3+=1．【变式6-3】计算：5÷(−1)【答案】−10【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先计算乘方和括号内，然后计算乘除，最后计算加减．【详解】5÷=5÷=5÷=−1+=−10．

知识点3：科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注意：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。【考点7科学记数法】【典例7】2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（

）A．2.9×106 B．2.9×105 C．【答案】C【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的方法是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数，原数≥10，原数变为【详解】解：29000=2.9×10故选：C．【变式7-1】据中国铁路昆明局集团有限公司消息，截至2023年12月26日，丽香铁路开通运营满一个月，累计发送旅客超180000人次．数据180000用科学记数法表示为（

）A．18×104 B．1.8×104 C．【答案】C【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成【详解】解：180000=1.8×10故选：C．【变式7-2】我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，将470000000用科学记数法表示是（

）A．47×107 B．4.7×107 C．【答案】C【分析】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，【详解】解：470000000=4.7×10故选：C【变式7-3】新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至2020年5月21日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过496万人，请把数“496万”用科学记数法表示为．【答案】4.96×【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成根据科学记数法的表示方法解答即可．【详解】解：496万=4960000=4.96×10故答案为：4.96×10【考点8近似数】【典例8】近似数5.50×104是精确到（A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位【答案】C【分析】本题主要考查了科学记数法和近似数的知识，解题关键是将科学记数法表示的近似数还原成数字形式．精确度由近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定，将科学记数法表示的近似数还原成数字形式，再确定精确到哪位即可．【详解】解：5.50×10所以，近似数5.50×10故选：C．【变式8-1】将近似数1290000保留2个有效数字并用科学记数法表示为.【答案】1.3×【分析】本题考查科学记数法与有效数字．关键是掌握用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．用科学记数法a×10n（1≤a<10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数【详解】1290000=1.29×10故答案为：1.3×10【变式8-2】用四舍五入法把1.8935精确到0.001为．【答案】1.894【分析】此题考查近似数和有效数字，把万分位上的数字5进行四舍五入即可．【详解】解：1.8935精确到0.001为1.894；故答案为：1.894．【变式8-3】用四舍五入法将30.1755精确到百分位约为．【答案】30.18【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．【详解】解：用四舍五入法将30.1755精确到百分位约为30.18．故答案为：30.18．【考点9有理数四则混合运算的实际应用】【典例9】疫情后，武汉这座英雄的城市历经劫难与涅槃，一度成为国内旅游的热门打卡地，其中“藏身”于东湖风景区的东湖绿道非常受欢迎，它全长101.98公里，是国内首条城区内5A级旅游景区绿道．武汉一部门对东湖绿道某周工作日的客流变化量进行了不完全统计，数据如下（正数表示客流量比前一天增加，负数表示客流量比前一天下降）：时间周一周二周三周四周五人数（单位：万人）−12+1−2+3+1(1)请计算比较这5天中，客流量最多的是哪一天？最少的是哪一天？(2)若前一周周日的客流量为22万人，假设本周工作日游客每人每天平均消费100元，请问这5天的游客消费总额为多少万元？【答案】(1)客流量最多的一天是周五，最少的一天是周三(2)5500万元【分析】（1）以前一周日为标准，根据本周5个工作日每天比前一天客流量增减数量，求出每天的游客量，比较5天的游客量，即得；（2）根据22与5的积加上5天中每天游客增减的总和，得到5天的游客总数，根据游客每人每天平均消费100元乘以5天的游客总数，得到这5天的游客消费总额．【详解】（1）以前一周日的游客量为标准，本周5个工作日每天的游客量（万人）：周一：−12；周二：−12+1=−11；周三：−11−2=−13；周四：−13+3=−10；周五：−10+1=−9；∵−9>−10>−11>−12>−13，∴客流量最多的一天是周五，最少的一天是周三；（2）本周5天工作日游客总量，22×5+−12−11−13−10−9这5天的游客消费总额为，100×55=5500（万元），答：这5天的游客消费总额为5500万元．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解决问题的关键是熟练掌握题意列出算式，有理数的加法法则和乘法法则．【变式9-1】某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）：进出数量（单位：吨）−26−12−5进出次数31332(1)请计算这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加了或减少了多少？(2)根据实际情况，现有两种运费方案：方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元；方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元．从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．【答案】(1)比原来减少了，减少了7吨(2)选择方案二比较合适【分析】（1）根据表格中的数据列出算式，计算即可；（2）表示出两种方案中的费用，比较即可．【详解】（1）根据题意，得：−2×3+6×1+答：这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了7吨；（2）方案一：−2×3+方案二：−2×3+∵18600<21200，∴选择方案二比较合适．【点睛】本题考查有理数混合运算的应用，准确计算是解题的关键．【变式9-2】某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负．他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表，第10次射击成绩为9.6环．序号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩相对环数−0.20.3−0.50.10.100.20.40.2(1)第10次射击成绩的相对环数应记为____环；(2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第____次射击；（填序号）(3)计算这10次射击的平均成绩．【答案】(1)−0.4(2)③(3)10.02环【分析】（1）计算9.6−10即可得出答案；（2）这10次射击中，相对环数的绝对值最大的那一次与10环偏差最大；（3）求出10次射击的总成绩，即可计算．【详解】（1）解：∵9.6−10=−0.4，∴第10次射击成绩的相对环数应记为−0.4环，故答案为：−0.4；（2）解：根据表中的数据可知，−0.5=0.5−0.2=0.3=0.30.4=0.1=0.10=0∵0.5>0.4>0.3>0.2>0.1>0，∴这10次射击中，与10环偏差最大的是第③次射击，故答案为：③；（3）解：∵10×10−0.2+0.3−0.5+0.1×2+0.2×2−0.4+0.4=100.2（环），∴100.2÷10=10.02（环），∴这10次射击的平均成绩是10.02环．【点睛】本题主要考查正负数的概念，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握正负数表示的实际意义．【变式9-3】风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）；星期一二三四五六日增减+5−2−4+13−6+6−3(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？(2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝；(2)该厂工人这一周的工资总额是14505元．【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．（1）用记录中的最大数减去最小数即可；（2）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可．【详解】（1）解：+13−(−6)=13+6=19（只)，答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝；（2）解：7×102×20+(5−2−4+13−6+6−3)×(20+5)=14505（元)，答：该厂工人这一周的工资总额是14505元．一、单选题1．《热辣滚烫》是一部励志电影，讲述了一个女人在绝望中努力奋斗，最终实现自我突破的故事，故事启示我们“命运只负责洗牌，出牌的永远是自己，一切都来得及”，截止2月底，电影全国票房累计约3300000000元．数据3300000000用科学记数法表示为（）A．33×108 B．3.3×108 C．【答案】C【分析】根据科学记数法的要求，将3300000000变为a×10n(1≤a<10)，分别确定a本题考查了科学记数法，其表示形式为a×10n(1≤a<10)，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n【详解】解：3300000000=3.3×10故选：C．2．在有理数−12、0、−−32、−−2A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本题主要考查相反数、有理数的乘方、绝对值、负数的定义，熟练掌握相反数、有理数的乘方、绝对值、负数的定义是解决本题的关键．首先把每一个数化为最简，再判定即可．【详解】解：−12=1，−−故负数有−−2，−2故选C．3．下列算式中正确的是（

）A．23=6 C．−|−2|=2 D．−【答案】B【分析】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，根据有理数的乘方，绝对值的性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、23=8B、−1C、−|−2|=−2，故该选项不正确，不符合题意；

D、−4故选：B．4．若a=−32，b=−23，A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<c<a【答案】D【分析】本题主要考查了有理数比较大小，有理数的乘方计算，有理数的乘法计算，先根据有理数的乘法和乘方计算法则计算出三个数，再根据正数大于0，0大于负数即可得到答案．【详解】解：a=−32=9，b=∵−8<6<9，∴b<c<a，故选：D．5．−32可表示为（A．−3×2 B．−3×3 C．−3+【答案】B【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可．【详解】解：−3故选：B．6．下列各式子互为相反数的是()A．−2和−|−2| B．−23C．−22和(−2)2 D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方运算，化简绝对值，相反数的定义，根据乘方运算进行计算，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：A.−2和−−2B.−23=−8和C.−22=−4和(−2)2D.−−2=2和故选：C．二、填空题7．−33的底数是【答案】3【分析】本题考查了有理数乘方的定义“一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，这种运算叫做乘方，其中，a叫底数，n【详解】解：根据乘方的定义，−3故答案为：3．8．计算：−2×12【答案】1【分析】此题考查了有理数的乘方运算，涉及−1n等于几的问题，当n为偶数时，−1n=1，当n【详解】解：−2×1故答案为：1．9．若a−32+a+b−2=0【答案】4【分析】本题考查了平方与绝对值的非负性，有理数的乘方．解题的关键在于正确的求解．由a−32=0，【详解】解：由题意知a−3解得a=3∴a−b=3−故答案为：4．10．如果x+22+|3−y|=0，那么xy【答案】−8【分析】本题考查的是绝对值的非负性是应用，乘方运算的含义，根据两个非负数相加得0，则每个加数均为0，解x+2=0，和3−y=0得出x，y值，代入结论即可求解．【详解】解：∵x+22∴x+2=0，3−y=0，∴x=−2，y=3，∴xy故答案为：−8．三、解答题11．计算：−3【答案】−15【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可.【详解】解：−=−27+=−27+4+8=−15；12．计算(1)−6+10−3+−9；(2)−(3)19+16−(5)−1917【答案】(1)10(2)0(3)−1(4)2(5)−359【分析】（1）先求解绝对值，再进行加减运算即可；（2）先去括号，再计算，可得答案；（3）利用乘法的分配律进行简便运算即可；（4）先乘方再算除法，再计算加减运算即可；（5）把原式化为−20+1【详解】（1）解：−6+10−3+=−6+10−3+9=10（2）解：−=−=−1+1=0（3）解：1==−4−6+9=−1（4）解：−=−16÷=2+1−=2（5）解：−19===−360+1=−359【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，绝对值的含义，乘法分配律，熟记有理数的混合运算的运算顺序是解本题的关键．13．已知a与−3互为相反数，