2020年高考数学(理)之数列专题11数列的通项(叠加法、累乘法求通项)(解析版

1、13数列11 数列的通项（叠加法、累乘法求通项）、具体目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式恰当选择方法 , 是数列的研究和探索奠定基础. 通过数列通项公式的求解过程 , 利用数列的变化规律、知识概述：1. 数列的通项公式：1）如果数列 an 的第 n 项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即 ann ,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式S1 (n 1)Sn Sn 1(n 2)2）数列 an 的前 n项和 Sn和通项 an的关系： an2. 求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式， 要

2、注意观察每一项的特点， 观察出项与 n之间的关系、 规律， 可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用 1 n 或n11 n 1来调整（ 2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般 ”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证 .（ 3）对于数列的通项公式要掌握： 已知数列的通项公式， 就可以求出数列的各项； 根据数列的前几项， 写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所 给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化

3、部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式 .3. 数列通项一般有三种类型： （ 1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知 Sn，求通项，破解方法：利用 Sn- Sn- 1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。4. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：（1） 先利用 a1 S1求出 a1；（2）用n 1替换 Sn中的 n得到一个新的关系， 利用an Sn Sn1 （n 2）便可求出当 n 2时an的表达式；（3）

4、对n 1时的结果进行检验， 看是否符合 n 2时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n 1与 n 2两段来写【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分5. 递推公式推导通项公式方法：1) 叠加法： an 1 an f (n)叠加法（或累加法）已知a1aan 1 an，求数列通项公式 常 用叠加法（或累加法） n即 an (an an 1) (an 1 an 2 )(a2 a1) a12）累乘法：已知a1 an 1a求数列通项公式用累乘法fnanananan 1 an 2an 1 an 2 an 3a3a2a

5、2a13）待定系数法： an 1pan q（其中 p, q均为常数，(pq(p 1) 0) )解法：把原递推公式转化为：an 1 tp(an t) ，其中 tq ，再利用换元法转化为等比数列求解1p4）待定系数法：an 1 pan qn(其中 p, q均为常数， (pq(p 1)(q 1) 0). (或 an 1 pan rqn,其中 p,q,r 均为常数）qn1，得： ann11pann1 ，令 bnaqnn ，得：bn 1 pbn11 ，再按qqqqqqq解法：在原递推公式两边同除以5）待定系数法：第（ 3）种情况求解an 1 pan an b (p 1，0， a 0)解法：一般利用待定系

6、数法构造等比数列，即令an 1 x(n 1) y p(anxn y） ，与已知递推式比较，解出 x,y ,从而转化为 an xn y 是公比为 p 的等比数列 .26)待定系数法： an 1 pan an2 bn c(p 0,1,a 0)解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令2an 1 x(n 1) y(n1) z p(an2 xnyn z) ，与已知递推式比较，解出 x,y ,从而转化为 an xn2 yn z 是公比为 p的等比数列 .7）待定系数法： an 2 pan 1 qan （其中 p,q 均为常数） .解法：先把原递推公式转化为an 2 san 1 t（an 1 san）其中

7、 s,t 满足s t p，再按第（st q4）种情况求解.8）取倒数法： an 1g(n)anf(n)an t(n)解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an 1 pan q ，按第（ 3）种情况求解 .g(n)an t(n)an 1 f (n)anan10，解法：等式两边同时除以 an an 1后换元转化为 an1 pan q，按第（ 3）种情况求解 .） .9)取对数 an 1 panr (p 0,an0)解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为 an 1 pan q ，按第（ 3）种情况求解 .6. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，

8、一般会结合归纳推理综合命题 常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等（1）准确转化：解决数列新定义问题时， 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要（2）方法选取： 对于数列新定义问题， 从而找到恰当的解决方法搞清定义是关键， 仔细认真地从前几项 （特殊处、 简单处 ）体会题意，类型 1 an 1 an f (n)解法：把原递推公式转化为an 1anf (n) ，利用 叠加法 求解例 1. 设数列 an 中， a12,an 1an则通项 an解析】法一：由题意可知：a12,an 1ann 1 所以有 an an 1 n 1 1 ，an 1

9、an 2 n 21，an2an 31， K ，a3a2 2 1 ， a2a1 1 1 ， a1 2 1 1将以上各式相加得：an故应填1.法二：由题意 an 1 an1可得：anann 1，an， an 1 an 2n 2 1 ，an 2 an 3 n 3 1，a3a21，a2 a11， a11.将以上各式相加得： an3L1n故应填1.答案】类型 2 an 1f (n)an .解法：把原递推公式转化为an1 anf (n) ，利用 叠乘法 求解。已知数列 an 满足 a1 2 ， an 1 n an ，求 an 。 n 1 3 n 1 n 1 n n【解析】由条件知an 1n ，分别令 n1

10、,2,3,ann 1a2 a3 a4an123n12 ? 3 ? 4 ?na1 a2 a3an 1 234n,(n 1) ，代入上式得 (n 1) 个等式后叠乘，即an122又 a1，an .a1n13n 3n， a21【分析】根据所给的关系式，依次令n 1、 2、 20 列出20 个式子，再将20 个式子相乘化简，根据比数列的性质和条件求出a21 的值【解答】解：由 b an 1n得： b1a2 ， b2a3 b， b3a4 ，b20a21 .nana1a2a3a20以上 20 个式子相乘得， b1b2b3 ba220a3 a4a21a21a1a2 a3a20a11. 【2019 优选题】已

11、知数列 an的首项为 1，数列 bn为等比数列且 bnan 1，若 b10?b11 2，则 b7b14an数列 bn为等比数列，且 b10?b112，数列 an的首项为 1， 210 21 , a1 a21 1024， b10?b112， b7b142，【答案】：2，10242. 【 2019 优 选 题 】 已 知 数 列 an中,a1 20,an 1 an 2n 1,n N *,则数列 an的通项公式 an【 解 析 】 由 题 意 an 1 an2n1可得： an 1an2n 1 ，anan 12 n 1 1 ，an 1 an 2 2 n2 1 ， an 2an 32n31， K ，a3

12、a2 4 1， a2a1 21， a1 20.将以上各式相加得：an 2 n 1n2n3L21n120 =n22n21【答案】 n2 2n213.【 2016 江西】在数列 an 中， a12，an 1an ln(11n)，n则 an()A 2 ln nB 2 (n1)ln nC 2nln nD1nln n【解析】 a2 a1ln 2a3 a23ln2a4 a3lnan 1lnn1ana1ln2 ln321nnnln 1nL将以上各式相加得：3所以有： an a1 ln22an (an an 1) (an 1 an 2)(a2 a1) a1=3n3n 2313n 12答案】 A4.【 2019

13、 优选题】已知数列an 满足 a12，an 1 an 1 0 (nN ) ，则此数列的通项 an 等于 ( )A. n2 1B.n 1C.1 nD.3n【解析】法一：由an 1 an1得，数列an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列所以有 ann 3 ，也可用叠加法 .法二：由 an 1 an 1 0可得 an 1 an1，所以有 an an 11， an 1 an 21 ， an 2 an 31，L a2 a1 1 。将上面的式子相加可得ana1 n11n 1，所以有 ann 3.【答案】 D5. 【 2018年广东】 已知数列 an 中a12,(n2)an 1(n1)an0(n N )

14、，求数列 an 的通项公式【解析】由 (n 2)an 1 (n 1)an 0得 an1n1ann 2anan 1an 2a3a2 ann 1 n2324，ana12an 1an 2an 3a2a1n1nn143 n 14annNn16. 【2016 山西】已知数列an满足 a11,annan 1 31(n2)，求数列 an 的通项公式解析】由 an an 1 3n 1可得 ，3n 12N)7. 【2019优选题】已知 an是正数组成的数列， a1=1，且点( an,an 1)(n N* )在函数 y=x2+1的图象 上.() 求数列 an的通项公式；()若列数 bn满足 b1=1,bn+1=b

15、n+2an ，求证： bnbn+2b2n+1 .【解析】解法一： ()由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1 ，又 a1=1, 所以数列 an是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列 . 故 an= 1+(a -1) 1=n.()由()知： an=n 从而 bn+1-bn=2n.则 bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ (b+2-b1) + b1n n 1 2nn=2n-1+2n-2+ +2+1= =2 n-1.12因为 bnnb+2-b2n 1 =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1

16、) =-5n2+4n2=-2n0,所以 bnnb+2 b n2 1 , 解法二：()同解法一 .()因为 b2=1,2 nn+12bnbn+2- b n2 1=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b2n 1=2n+1bn+1-2nnb+1-2nn2+1 =2n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)=2n( bn-2n)=2n(b1-2) =-2n0， 所以 bnbn+2b2 n+1 .8. 【2019 优选题】数列an中， a12， an1ancn( c是常数， n1，2，3，L)，且a1， a2， a3成公比不为 1的等比数列(I )求 c 的值；(II )求 an 的通

17、项公式【解析】( I ) a1 2 ， a2 2 c ， a3 2 3c ，因为a1， a2 ， a3成等比数列，所以 (2 c)2 2(2 3c) ，解得 c 0或c 2当 c 0 时， a1 a2 a3 ，不符合题意舍去，故 c 2 ( II )当 n 2时，由于a2 a1 c ，a3a22c，anan 1(n1)c，所以ana11 2 L(n1)cn(n 1)c 2又 a12，c2 ，故 an2n(n1) n2 n 2(n 2，3，L ) 当 n 1 时，上式也成立，所以an2 nn 2(n1，2，L)x 对称的图象为 C ，且 f （1）N*） 在C上，a0 ，若点 An(n, n 1

18、) (n an2 的自然数 n均有： an1an1.a1 1 ，对于大于或等于anan 1（1）求 C 的方程；（ 2）求 an的通项公式【解析】（1）设 C 的方程为yaxb， f (1)0b1又An在 C 上，an 1na 1an而 an 1an1，(na1) a(n1)11 a 1anan 1 C 的方程为 yx1（ 2） an 1 n1，a22， a33，a44，L anL ，n ，ana1a2a3an 1以上 n 1 个等式相乘得： an 1 2 3 L n 又 a1 1 an n! a12.若在数列 an 中， a1 3， an 1 an 3，求通项 an.【解析】法一：可用等差数

19、列求通项 .法二：由 an 1an3 得， an 1 an3 ，所以有： a2 a13 ， a3 a23，a4a33Manan 13将各式相加得：ana13(n 1)所以可得通项为： an a1 3（n 1）即： an3n 6 ( n N )3.若在数列 an 中， a13，an 1ann ，求通项an.【解析】由 an 1ann 得，an 1ann所以 an an 1n1，an 1an 2n2， a2 a11将以上各式相加得： ana1(n 1)(n 2)1又 a1 3 所以 an =n(n1)3 .即： ann2 1n223( n N )22n 1，得an 1an2nan 2) L(a3

20、a2)(a2a1)2) 1 L(2 21)(2 14.已知数列 an 满足 an 11则1 (n 1) 1a11) 1解析】由 an 1 anan 2n 1，a1 1，求数列 an 的通项公式an (an an 1) (an 1 2(n 1) 1 2(n 2(n 1) (n 2) L 2 2(n 1)n (n 1) 12(n 1)(n 1) 1n2所以数列 an 的通项公式为ann2(N)5. 已知数列中 :a1 1，an1an2 , 确定数列an 的通项公式 .解析】n1anann1n ann 2a ，1an 2 ，n11， a2 2a1以上 n1 个式子相乘得ana1a1n，即 an6.已知数列 an 满足 an 1an 2 3n 1，a1 3，求数列 an 的通项公式【解析】因为 an 125nan，a1 3，所以 an 0，则 an 1 2 5n，故anan an 1 La3a2ana1an1 an 2a2a1(25n 1)(25n 2)L(252)(2 51) 3n 1 (n 1) (n 2) L 2 1 5n(n 1)3 2n 1 5 2n(n 1)