八年级数学下册 1 三角形的证明 4 角平分线（第2课时） 北师大版

1、八年级数学下 新课标北师,第一章 三角形的证明,4 角平分线（第2课时,学 习 新 知,问题思考,如图所示,某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭给师生小憩 ,使小亭中心到三条路的距离相等,请你确定小亭中心的位置.(不写作法,保留作图痕迹,教材例2)求证:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等,已知:如图所示,在ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F. 求证:A的平分线经过点P,且PD=PE=PF,证明:BM是ABC的角平分线，点P在BM上，且PDAB，PEBC，垂足分别为D，E. P

2、D=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,同理,PE=PF.PD=PE=PF. 点P在BAC的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 即BAC的平分线经过点P,比较三角形三条边的垂直平分线和三个内角平分线的性质定理,教材例3)如图所示,在ABC中,AC=BC,C=90,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E. (1)已知CD=4 cm,求AC的长; (2)求证AB=AC+CD,解析求AC的长可转化为求BC的长,而BC=CD+DB,CD=4 cm,求出DB的长即可.要证AB=AC+CD,转化为证明AB=AE+BE,所以需证AC=AE,CD=BE,解:(

3、1)AD是ABC的角平分线,DCAC,DEAB,垂足为E, DE=CD=4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,AC=BC,B=BAC(等边对等角,C=90,B= 90=45.BDE=90-45=45. BE=DE(等角对等边,在等腰直角三角形BDE中, BD= cm, AC=BC=CD+BD=(4+4 )cm,2)求证AB=AC+CD,证明:(2)由(1)的求解过程易知, RtACDRtAED(HL), AC=AE(全等三角形的对应边相等,BE=DE=CD, AB=AE+BE=AC+CD,知识拓展莫莱定理: 如图所示,在三角形ABC中,设分别接近于三边BC,CA,AB的各内角的三等

4、分线相交于D,E,F,则DEF是一个等边三角形,检测反馈,1.如图所示，OP平分AOB，PCOA于C，PDOB于D，则PC与PD的大小关系是() A.PCPDB.PC=PD C.PCPDD.不能确定,B,2.在RtABC中，C=90，AD是角平分线，若BC=10，BDCD=32，则点D到AB的距离是() A.4B.6C.8D.10,解析:根据角平分线性质可知点D到AB的距离与CD相等.由BDCD=32,BC=10,解得CD=4.故选A,A,3.在ABC中，C=90，E是AB边的中点，BD是角平分线交AC于D，且DEAB，则() A.BCAEB. BC=AE C. BCAED. 以上都有可能,B,4.如图所示，点P是CAB的平分线上一点，PFAB于点F，PEAC于点E，如果PF=3 cm,那么PE,3 cm,5.如图所示，DBAB，DCA C，BD=DC，BAC=80，则BAD=,CDA,40