数列极限的概念(经典课件

1、第二章 数列极限u 引言:在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 数列极限的概念教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。教学要求：使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。会应用数列极限的定义证明数列的有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：数列极限的概念。教学难点：数列极限的定义及其应

2、用。教学方法：讲授为主。教学学时：2学时。一、数列概念：数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。若函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列。若记，则数列就可写作为：，简记为，其中称为该数列的通项。数列的例子：（1）； （2）（3）； （4）二、数列极限的概念：引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的庄子. 天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第天截下，第天截下，第天截下，第天截下，得到一个数列： 不难看出，数列的通项随着n的无限增大而无限地接近于零。一般地说，对于数列，若当

3、n无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。据此可以说，数列是收敛数列，是它的极限。数列都是发散的数列。需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。以为例，可观察出该数列具以下特性：随着n的无限增大，无限地接近于1随着n的无限增大，与的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大。如：要使，只要即可；要使，只要即可；任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。如何找？（或存

4、在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可。这样当时，。综上所述，数列的通项随n的无限增大，无限接近于，即是对任意给定正数，总存在正整数，当时，有。此即以为极限的精确定义。2数列极限的定义：定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当时有, 则称数列收敛于a,实数a称为数列的极限,并记作或.读作：当n趋于无穷大时,的极限等于a或趋于a。由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。举例说明如何用定义来验证数列极限：例证明 证明：，则当时，便有，所以 （注：这里取整保证为非负整数；保证为正整数。）例证明 .证明：（不妨设），

5、则当时，便有，所以. (注：这里限制保证为正数，但这并不影响证明过程；并不一定是整数。)例证明.证明：，则当时，便有，所以.例证明.证明: 由于，因此，则当时，便有，所以.例证明，其中.证明：当时，结论显然成立.现设，记，则.由 得于是， ，则当时，便有，所以. 对于的情形，留作练习。关于数列的极限的定义的几点说明：（） 关于： 的任意性。定义中的正数的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度，越小，表示接近得越好；而正数可以任意小，说明与常数a可以接近到任何程度；的暂时固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出；的多值性。既是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小

6、的正数，因此定义中的不等式中的可用等来代替。从而“”可用“”代替；正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数。（） 关于： 相应性，一般地，随的变小而变大，因此常把定作，来强调是依赖于的；一经给定，就可以找到一个；多值性。的相应性并不意味着是由唯一确定的，因为对给定的，若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立。所以不是唯一的。事实上，在许多场合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大。基于此，在实际使用中的也不必限于自然数，只要是正数即可；而且把“”改为“”也无妨。的取值也不一定必须是正整数，可以为为正数，因为满足条件的正数如果存在，比大的任何正整数必能使条件成立。（）数列

7、极限的几何理解：在定义中，“当时有”“当时有” “当时有” 所有下标大于的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有个（有限个）。反之，任给，若在之外数列中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为，则当时有，即当时有，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：定义 任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限a.由此可见：）若存在某个，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以a为极限；）应该注意，任给，若在内数列中的项有无限多个，并不能说明数列收敛于极限a。例6. 证明和都是发散数列。分析：即证数列不以任何为极限，利用定义。证明：，取，则数列中所有满足的项（有无穷多个）显然都在

8、 之外，故不以任何为极限，即数列是发散数列。 取，则在之外有中所有奇数项（无穷多项），故不以1为极限；对，取，则在之外有中所有偶数项（无穷多项），故不以为极限。从而不以任何为极限，即是发散数列。例7. 设，作数列如下：. 证明.证明：因，故，数列和在之外的项都至多只有有限个，所以数列中落在之外的项至多只有有限个，从而。例8. 设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。证明：设为收敛数列，且，故，数列中落在之外的项至多只有有限个，而数列为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故从某一项开始，中的每一项都是中确定的一项，所以中落在之外的项至多只有有限个，这就证得数列收敛，且有。 现设为发散数列，倘若收敛，则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，