复变函数 复数项级数和序列以及泰勒级数【严选课资】

1、复数项级数和序列,1,优质课堂,复数序列,复数列即有序的复数集 zn=z1，z2，zn， 称zn收敛于z0，若,记作,lim | zn z0| 0,n,lim zn z0,n,2,优质课堂,复数列的极限归结为实数列的极限,lim zn z0 lim | zn z0| 0 nn,lim | xn x0| 0,lim | yn y0| 0,lim xn x0,lim yn y0,n,n,n,n,3,优质课堂,性质1线性性质,C，lim zn z0，lim wn w0 nn,lim zn + wn z0 + w0,n,4,优质课堂,性质2Cauchy收敛准则 znz0任意 0，存在N，使得 当m，n

2、N时，| zm zn,性质1线性性质,C，lim zn z0，lim wn w0,lim zn + wn z0 + w0,nn,n,5,优质课堂,复数项级数,对于复数列 z1，z2，zn，称 zn z1 z2 zn n1 为复数项级数。部分和记为 n Sn zk z1 z2 zn k 1,6,优质课堂,收敛性：若 lim Sn S ，则称级数 zn收,敛，记作 S,若Sn发散，则称级数 zn发散。 n1,若 | zn| 收敛，称级数 zn绝对收敛,n1,n1,n,z,n,n1,n1,7,优质课堂,对应的实数项级数,部分和,xn x1 x2 n1 yn n1,y1 y2,xn,yn,n X n

3、xk x1 x2 xn k 1 n Yn yk k 1,y1 y2 yn,8,优质课堂,定理：复数项级数 zn收敛于S,n1 实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。 n1n1 此时，S=X+iY,9,优质课堂,定理：复数项级数 zn收敛于S,n1 实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。 n1n1 此时，S=X+iY 证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 SnS XnX，YnY,10,优质课堂,定理：复数项级数 zn 绝对收敛,实数项级数 xn ， yn,都绝对收敛,n1,n1n1,11,优质课堂,定理：复数项级数 zn 绝对收敛,实数项级数 xn ， yn,都绝对收敛,n1n1 证明

4、：“”假设 | zn| 收敛，由于 n1 |xn|zn|，|yn|zn|，可知, xn| ，| yn|收敛,n1,n1n1,12,优质课堂,定理：复数项级数 zn 绝对收敛,实数项级数 xn ， yn,都绝对收敛,n1n1 证明：“”假设 | xn|，| yn|收,敛，则 (| xn| | yn|)收敛，由于,zn|xn|+|yn|，可知 | zn| 收敛。 n1,n1,n1n1,n1,13,优质课堂,定理：复数项级数 zn 绝对收敛,实数项级数 xn ， yn,都绝对收敛,n1,n1n1 推论：复数项级数 zn绝对收敛 n1,级数 zn n1,收敛,14,优质课堂,性质,1、 zn 收敛 z

5、k0 zk有界； 2、 zn收敛 0，存在N，使,n1 得nN时， | zn1 zn2,3,n1,zn p,n1n1n1,zn wn ) zn wn,15,优质课堂,例1：判断如下数列的收敛性，若收敛,求极限。（1）zn,，（2）zn cos in。 2,n,i,16,优质课堂,分析与解：（1）由于 |i/2|1，猜测zn的 极限为0,可知,例1：判断如下数列的收敛性，若收敛,求极限。（1）zn,，（2）zn cos in。 2, z| ( i )n|1 0,2,2n,n,lim zn 0,n,n,i,17,优质课堂,例1：判断如下数列的收敛性，若收敛,求极限。（1）zn,，（2）zn cos

6、 in。 2,n,i,分析与解：（2）由余弦函数的定义,n 0) 可知数列 zn cos in 发散,z cos in 1 (e n en ),2,n,18,优质课堂,例2： 讨论数列zn的收敛性，其中,n ，为复数,zn,19,优质课堂,分析与解： 类似于实数列情形，应该以1为临界 点分为三种情况： （1）|1,例2： 讨论数列zn的收敛性，其中,n ，为复数,zn,20,优质课堂,1）|1，此时,可知,例2： 讨论数列zn的收敛性，其中,n ，为复数,zn, z| |n 0,n,lim zn 0,n,21,优质课堂,2）|=1，| zn| | 1 ，可知数列zn 在单位圆上运动,例2： 讨

7、论数列zn的收敛性，其中,n ，为复数,zn,n,22,优质课堂,2）|=1，| zn| | 1 ，可知数列zn 在单位圆上运动。设 =ei，则 zn=ein,当=2k，即=1时，显然有 lim zn 1,例2： 讨论数列zn的收敛性，其中,n ，为复数,zn,n,n,23,优质课堂,2）|=1，| zn| | 1 ，可知数列zn 在单位圆上运动。设 =ei，则 zn=ein,当=2k，即=1时，显然有 lim zn 1,当2k，,由Cauchy收敛准则知极限不存在,例2： 讨论数列zn的收敛性，其中,n ，为复数,zn,n,n,ini (n1) |1,zn zn1, e e,24,优质课堂,

8、3）|1，此时有,可知极限不存在,例2： 讨论数列zn的收敛性，其中,n ，为复数,zn, z| |n,n,25,优质课堂,注：（3）用到了如下性质 lim zn z0 lim | zn| z0 | nn 这是因为 0 | zn| | z0 | zn z0 | 0,例2： 讨论数列zn的收敛性，其中,n ，为复数,zn,26,优质课堂,例3： 设|1，证明级数1+n,收敛于 1,1,27,优质课堂,证明：先求部分和,由例2，lim S n,即,例3： 设|1，证明级数1+n,1,收敛于 1,n1,1,Sn 1 1,n,1,1,n,n0,1,n,1,28,优质课堂,例3： 设|1，证明级数1+n

9、,收敛于 1,1,类似地，可证明当 |1 时，级数,发散,1 2,n n0,29,优质课堂,例4：判别如下级数的收敛性和绝对收敛,性： 2n n1,cos in,30,优质课堂,知级数发散,性： 2n n1 解：cos in 1 1 (e n en,例4：判别如下级数的收敛性和绝对收敛,cos in,2n2n,2,1 1 1 ( e )n,2 (2e)n22 (n,31,优质课堂,幂级数 幂级数的形式,n0 作变量替换 w=z-z0，只需讨论幂级数,c(z z)n c c (z z) c(z z)2,n001020,czn c c z cz2 n012,n0,32,优质课堂,Abel定理,若幂

10、级数 cn z,在点 z00 收敛，则,它在区域 D：z | |z|z0| 绝对收敛,即级数,在区域 D 收敛,n0,n,n1,czn,n,33,优质课堂,Abel定理,若幂级数 cn z,在点 z00 收敛，则,它在区域 D：z | |z|z0| 绝对收敛,即级数,在区域 D 收敛,若幂级数 cn z,在点 z00 发散，则,n0 它在区域 K：z | |z|z0| 发散,n0,n,n,n1,czn,n,34,优质课堂,0,n0,n0,n0,n0 n0,n0,z0,n0,n0,向级数,c zn靠拢,1,c zn n ( 1，利用,1,n,c zn,c zn,n,z z,n,z,35,优质课堂

11、,c zn收敛，可知 c zn有界 n0n0,n0,M n M n0,1,1,由于级数,0,n0,n0,n0,n0 n0,n0,z0,n0,n0,向级数,c zn靠拢,1,c zn n ( 1，利用,1,n,c zn,c zn,n,z z,n,z,36,优质课堂,由Abel定理，只有三种情况,幂级数,czn 在整个复平面收敛,n0 幂级数只在 z=0 处收敛 在圆 |z|=R外发散，在圆内收敛，在 圆周上单独讨论。 此时，称 |z|=R为收敛圆,n,37,优质课堂,则收敛半径为R=1,定理（比值法）：若 lim | cn1| 0,n,n,c,38,优质课堂,则收敛半径为R=1,定理（根值法）：

12、若lim n| cn| 0,n 则收敛半径为R=1,定理（比值法）：若 lim | cn1| 0,n,n,c,39,优质课堂,则收敛半径为R=1,定理（根值法）：若lim n| cn| 0,n 则收敛半径为R=1,0，则R=；=，则R=0,定理（比值法）：若 lim | cn1| 0,n,n,c,40,优质课堂,例5： 求如下级数的收敛域,n!)2,2,n1,n1 n,(3) n(iz)n n1,1z,1,zn， (2,n,2,n,n,41,优质课堂,例5： 求如下级数的收敛域,n!)2,n1,1,zn,n,n,解：（1）用比值法,n 1)!2,n1,n (n 1)(n1,n!)2,lim l

13、im n,lim(n 1) n,n 1)n,nn,n,nn,c,c,42,优质课堂,例5： 求如下级数的收敛域,n!)2,n1,1,zn,n,n,解：由于,可知,因此，R=0，收敛域为0,n 1 n (n 1)ne,lim,n,limcn1,n,n,c,43,优质课堂,例5： 求如下级数的收敛域,解：（2）用比值法,可知收敛半径 R=2,2,n1n,1( z )n,2,2,2n n2,n1,n 2n1 (n 1)22,1,lim lim n,n,c,c,44,优质课堂,例5： 求如下级数的收敛域,解：当 |z|=2 时,收敛。因此收敛域为z | |z|2,2,n1n,1( z )n,2,2,2

14、,2,n1,n1 n,1 ( z )n,1,n2,45,优质课堂,可知收敛半径 R=1,例5： 求如下级数的收敛域 (3)n(iz)n n1 解：（3）用比值法,limcn1,lim n 1 1,n,n,n,c,n,46,优质课堂,例5： 求如下级数的收敛域 (3)n(iz)n n1 解：当 |z|=1时,可知级数 n(iz)n 发散，因此收敛域为 n1 z | |z|1,lim n(iz)n,lim n,n,n,47,优质课堂,幂级数的线性运算（收敛半径取小的,n0,n0,n0,a b )zn nn,azn,b zn,n,n,48,优质课堂,幂级数的线性运算（收敛半径取小的,n0,n0,n0

15、,a b )zn nn,azn,b zn,n,n,幂函数的求导与积分，设 f (z),f 在|z|R解析，f (k ) (z),f 在|z|R可积,n0,azn,n,azn )(k,n0,n,n0,f (z)dz azn dz,n,C,C,49,优质课堂,习题：P 87-88 T 2（1，2） T 4（1，3） T 7（1，3，6,50,优质课堂,Taylor级数,51,优质课堂,对于实函数 f ，可以在区间（x0-，x0+） 展成Taylor 级数,其中,f (x) an (x x0 ) n0,n,n,f(x0,n,n,a,52,优质课堂,对于复变函数，也有类似的结果。 定理（Taylor）

16、：设函数 f 在区域 K： |z-z0|R 解析，则在 K 内可展成幂级数,其中,f (z) an (z z0 ) n0,n,f (n) (z,0,n!2i C ( z)n1,0,1f (,n,a,d,53,优质课堂,证明思路： 第一步：证明幂级数 域K 内收敛,在区,第二步：将 f 形式展开成幂级数,n0 第三步：证明展开式的唯一性,an (z z0 ) n0,n,f (z) cn (z z0,n,54,优质课堂,第一步：证明幂级数 K内收敛,a(z z)n在区域 n0,这等价于：对任意 r R，该幂级数在 C： |z-z0|= r 内部收敛,n0,55,优质课堂,这等价于：对任意 r R，

17、该幂级数在 C： |z-z0|= r 内部收敛 用根式判别法,其中,第一步：证明幂级数 K内收敛,a(z z)n在区域 n0,n0,n,f(z0,M (r,1 r,n,n,n,n,an,r,M (r) maxf (z,zC,56,优质课堂,0,2C ( z)n1,0,2f (z0 re) d,2 0,2,f (z0 re,0,M (r )max f ( z,1 f () d,zrei 1,1,2,M (r,1,n,zC,n,i,rnein,i,rn,n,rn,a,d,r,57,优质课堂,由以下事实可知：该级数的收敛半径r,级数 比较判别法，即 大系数级数收敛小系数级数收敛,z z0 )的收敛半

18、径为r,n0,M (r ) r n,n,第一步：证明幂级数 K内收敛,a(z z)n在区域 n0,这等价于：对任意 r R，该幂级数在 C： |z-z0|= r 内部收敛,n0,58,优质课堂,这等价于：对任意 r R，该幂级数在 C： |z-z0|= r 内部收敛 令 rR，即可知级数在区域K内收敛,第一步：证明幂级数 K内收敛,a(z z)n在区域 n0,n0,59,优质课堂,这等价于：对任意 r R，该幂级数在 C： |z-z0|= r 内部收敛 令 rR，即可知级数在区域K内收敛 这里用小圆逼近的原因是对于 f 在大 圆周上的性质（是否有定义？解析？）并 不清楚，只知道在大圆内解析,第

19、一步：证明幂级数 K内收敛,a(z z)n在区域 n0,n0,60,优质课堂,第二步：将f 形式展开,f (z) cn (z z0,n0 为利用 Cauchy 积分公式(需要一个圆 周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|= r， 再令rR，逼近区域K的边界,n,61,优质课堂,第二步：将f 形式展开 f (z) cn (z z0,n0 为利用 Cauchy 积分公式(需要一个圆 周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|= r， 再令rR，逼近区域K的边界 为什么 Cauchy 积分公式？注意到 an 的形式,n,62,优质课堂,对任意 zK，取C：|z-z0|= r，使得 z 在 C 内部。

20、由Cauchy积分公式,注意级数中为 z-z0 的幂，应在上式中凑出,1f ( ) d,f (z),2 iC z,63,优质课堂,对任意 zK，取C：|z-z0|= r，使得 z 在 C 内部。由Cauchy积分公式,注意级数中为 z-z0 的幂，应在上式中凑出。 1 1 z( z0 ) (z z0,1f ( ) d,f (z),2 iC z,64,优质课堂,z z0 )n,z z0,n1,n0,n0 ( z0,z0 z0,1,n,注意到 在C上，而 z 在C内，因此 z0z z0 从而， 1 1 z( z0 ) (z z0 ) 1 1 z01 (z z0 )( z0,65,优质课堂,因此,0

21、,n1,2in0 ( z0 ) 1,0,n1,2i n0,z0,f ( n) (z,0,0,n0,an (z z0 ) n0,1,f (,f (z),z z)n d,f (,d(z z)n,z z)n,n,C,C,n,66,优质课堂,第三步：证明展开式的唯一性,假设 f 还有展开式 f (z) bn (z z0 ) n0,在 z0 处求 n 阶导数即得,即展开式唯一,n,n,f(z0,n,n,b,67,优质课堂,推论：函数 f 在 z0 解析函数 f 在 z0的 某个邻域展开成 Taylor 级数,68,优质课堂,推论：函数 f 在 z0 解析函数 f 在 z0的 某个邻域展开成 Taylor

22、 级数。 函数 f 在 z0 附近展开成 Taylor 级数的 范围是以 z0为圆心的尽量大的（解析）开 圆盘，即收敛圆应“碰到”奇点,69,优质课堂,推论：函数 f 在 z0 解析函数 f 在 z0的 某个邻域展开成 Taylor 级数。 函数 f 在 z0 附近展开成 Taylor 级数的 范围是以 z0为圆心的尽量大的（解析）开 圆盘，即收敛圆应“碰到”奇点 定理：幂级数的和函数在收敛圆上至少有 一个奇点，R = min|z-z0|：z 为奇点,70,优质课堂,例1： 将如下函数在z=0处展成Taylor级数,1,z2 1（2,z2 z 2,11,g(z),f (z),71,优质课堂,分

23、析与解：（1）奇点为 z=1，因此， 收敛圆半径 R=1。|z|1时,z2n,2,2,n0,11,f (z),z11 z,例1： 将如下函数在z=0处展成Taylor级数,1,z2 1（2,z2 z 2,11,g(z),f (z),72,优质课堂,z2 z 2,1,1 (,11,g(z),32 z1 z,例1： 将如下函数在z=0处展成Taylor级数,1,z2 1（2,z2 z 2,11,g(z),f (z),分析与解：（2）奇点为 z=1，-2，因此 收敛圆半径 R=1。|z|1时,73,优质课堂,n1,2 n0,n0,zn，因此，g(z) . n0,1 1 1 1,1) zn,z )n

24、2,2 z2 1 z2 1,2,1 z,n,例1： 将如下函数在z=0处展成Taylor级数,1,z2 1（2,z2 z 2,11,g(z),f (z),74,优质课堂,例2： 求如下函数在z=0处的Taylor展开式,1,2）g(z) ln(1 z,1 z)2,1,f (z),75,优质课堂,分析与解：（1）奇点为z=1，因此收敛圆,半径R=1，|z|1时,因此,zn n0,1,1 z,nzn1 n1,1,f (z) d,dz 1 z,例2： 求如下函数在z=0处的Taylor展开式,1,2）g(z) ln(1 z,1 z)2,1,f (z),76,优质课堂,分析与解：（2）这是对数函数的主

25、值分 支，在沿 1，+) 割开的复平面上解析， 因此收敛圆半径R=1，|z|1时，,例2： 求如下函数在z=0处的Taylor展开式,1,2）g(z) ln(1 z,1 z)2,1,f (z),zn1,0 1,n0,11,g(z),d g(0),n 1,z,77,优质课堂,例3： 求如下函数在z=0处的Taylor展开式,1,2）g(z) ln(1 z,1 z)2,1,f (z),78,优质课堂,解：用 z 代替例2中的 z 即得|z|1时， f (z) (1)n1 nzn1 n1,zn1,n0,g(z) (1,n 1,n,例3： 求如下函数在z=0处的Taylor展开式,1,2）g(z) l

26、n(1 z,1 z)2,1,f (z),79,优质课堂,初等函数的Taylor展开式,回顾： 初等函数 f 在其解析区域里的各阶导数形 式上和实变函数情形下是一样的。 因此 f 在 z=0 处的取值也一样，即 Taylor 展开式形式上和实变函数也一样,80,优质课堂,例4：求如下函数在 z=0 处的Taylor展开式,1)f (z) ez， (2)g(z) sin z， (3) h(z) (1 z) ，主值分支,81,优质课堂,f (z) 1 z,2,n,3) h(z) (1 z) ，主值分支 解：（1）没有奇点，因此 f 可在整个复平 面展开成幂级数 f (n) (z) ez f (n)

27、(0) 1,z2zn,例4：求如下函数在 z=0 处的Taylor展开式,1)f (z) ez， (2)g(z) sin z,82,优质课堂,35,g(z) z z,. (1)n,3!5,2n 1),z,z,3) h(z) (1 z) ，主值分支 解：（2）没有奇点，因此 g 可在整个复 平面展开成幂级数。利用求导数的方法或 者利用Euler公式和（1）的结果,2n1,例4：求如下函数在 z=0 处的Taylor展开式,1)f (z) ez， (2)g(z) sin z,83,优质课堂,2n,cos z 1 z,. (1)n,2!4,2n),z,z,3) h(z) (1 z) ，主值分支 解：

28、（2）类似地，对于余弦函数，利用 求导数的方法或者利用Euler公式和（1） 的结果或者利用 cos z=g(z,24,例4：求如下函数在 z=0 处的Taylor展开式,1)f (z) ez， (2)g(z) sin z,84,优质课堂,3) h(z) (1 z) ，主值分支 解：（3）h(z) (1 z) eln(1 z )，求导得 h(n) (z) (1).( n 1) e(n) ln(1 z ) 于是，h(n) (0) (1).( n 1) 于是，h(z),例4：求如下函数在 z=0 处的Taylor展开式,1)f (z) ez， (2)g(z) sin z,85,优质课堂,例5： 求

29、,在 z=1 的展开式,f (z) z 1,z 1,86,优质课堂,解：奇点为 z=-1，因此收敛半径为R=2， 在开圆盘 |z-1|2，令 w = z-1,n1,2 n0,n0,f (z) z 1 w 1,w1,z 1w 2,2 1 ( w 2,(1)n ( z 1,w ( w)n,2,2,例5： 求,在 z=1 的展开式,f (z) z 1,z 1,87,优质课堂,解析函数的零点 定义：设 f 在 D 解析，若 z0D，f (z0)=0， 则称 z0为 f 的零点。 此时 f 在 z0的 Taylor 展式中常数项 c0=0,88,优质课堂,解析函数的零点 定义：设 f 在 D 解析，若

30、z0D，f (z0)=0， 则称 z0为 f 的零点。 此时 f 在 z0的 Taylor 展式中常数项 c0=0。 若 f 在 z0的Taylor展式中 c0=c1=.=cm-1=0， 但是 cm0，则称z0为 f 的m阶零点。m=1 时，也称简单零点,89,优质课堂,定理：解析函数 f 以 z0 为m阶零点,f (z) (z z0 )(z) 其中， 解析，并且 (z0)0,m,90,优质课堂,必要性，将 (z z0,提出即得,m,f (z) (z z0 ) cn (z z0,(z z0 )(z,m,nm,m,nm,其中， 解析，并且 (z0)0。 证明：充分性，将 展开即得,定理：解析函数 f 以 z0 为m阶零点,f (z) (z z0 )(z,m,91,优质课堂,例6：z=0是 f (z