北京海淀区高三数学期末练习二模理

北京市海淀区2019届高三数学5月期末练习（二模）试题 理本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项(1)已知集合，则 (A)1,3 (B)3,5 (C)5,6 (D)1,6(2)复数的实部是虚部的2倍，则的值为 (A) (B) (C) -2 (D)2(3，若直线： (为参数)，经过坐标原点，则直线的斜率是 (A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2(4)在的展开式中，的系数是 (A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40(5)把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则的值为(A) ( B) (C) (D) (6)学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(7)已知函数，则“函数的图象经过点（，1）”是“函数的图象经过点（）”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合）则下面结论中错误的是 (A)存在点，使得平面平面 (B)存在点，使得平面(C) 分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， (D)对任意点，的面积都不等于 第二部分（非选择题共1 10分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)已知直线与平行，则 ，与之间的距离为 ( 10)已知函数是偶函数，则 ( 11)若数列的前项和，则满足的的最小值为(12)已知圆与曲线相交于两点，则线段的长度为 (13)在矩形中，点为的中点，点在线段上若，且点在直线上，则 (14)已知集合.给定一个函数，定义集合 若对任意的成立，则称该函数具有性质“ ” (I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ； ()给出下列函数：；，其中具有性质“9”的函 数的序号是_（写出所有正确答案的序号） 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程( 15)（本小题满分13分） 在中， ()求的值； ()若是钝角三角形，求边上的高(16)（本小题满分13分） 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为 25，35）， 35，45)，45，55)，55，65)，65，75)，75，85)，85，95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。 ()随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率； ()从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为，选择方案(2)的概率 为若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独 立，求至少有两名骑手选择方案(1)的概率； ()若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） ( 17)（本小题满分14分） 如图1所示，在等腰梯形，垂足为，.将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱上一个动点。 ()当点为棱中点时，求证：平面 t ()求证：平面; ()是否存在点，使得二面角的余弦值为？ 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由(18)（本小题满分13分） 已知椭圆的左顶点 与上顶点的距离为 ()求椭圆的方程和焦点的坐标； ()点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求点的横坐标(19)（本小题满分14分） 已知函数，其中 ()求曲线在点 处切线的倾斜角； ()若函数的极小值小于0，求实数的取值范围( 20)（本小题满分13分） 对于给定的奇数 ，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中. 对于，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置” ()直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”； ()当时，若对任意的 都有成立，求数表 中的“好位置”个数的最小值； ()求证：数表中的“好位置”个数的最小值为海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数 学 （理科） 2019.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B 2. D 3.D 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14.（答案不唯一）， 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. （15）（共13分）解：（）在中，因为，所以由正弦定理 得. （）方法1：由余弦定理 得即，解得或 因为，所以为中最大的角，当时，与为钝角三角形矛盾，舍掉当时，为钝角三角形，所以 设边上的高为，所以 方法2： 因为，所以，所以，所以为中最大的角因为为钝角三角形，所以为钝角 因为，所以 所以 设边上的高为，所以 16.（共13分）解：() 设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为：因为所以估计为. () 设事件为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）” 设事件为“甲乙丙三名骑手中恰有人选择方案（1）”， 则 所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为 （）方法1：设骑手每日完成快递业务量为件 方案（1）的日工资，方案（2）的日工资 所以随机变量的分布列为所以 同理随机变量的分布列为 因为，所以建议骑手应选择方案（1） 方法2： 快餐店人均日快递量的期望是： 因此，方案（1）日工资约为 方案2日工资约为 故骑手应选择方案（1） 17.（共14分）解： () 方法1： 在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为， 因为，所以 又因为 ，所以四边形为正方形，为中点 在图2中，连结 因为点是的中点， 所以 又因为，平面，平面， 所以平面平面 又因为 ，所以平面 方法2：在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为 因为，所以 又因为 ，所以四边形为正方形 ， 为中点 在图2中，连结 因为点是的中点， 所以 又平面，平面 所以平面 又因为，平面，平面 所以平面 又因为 所以平面平面 又因为 ，所以平面 方法3：在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为， 因为，所以 又因为 ，所以四边形为正方形，得 所以 在图2中设点为线段的中点，连结， 因为点是的中点， 所以 所以，所以四边形为平行四边形 所以 又因为平面，平面所以平面 （）因为平面平面，平面平面,平面，所以平面 又因为平面所以 又，满足 ，所以 又 所以平面 （）因为三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系, 所以，. 假设存在点满足题意，设，则，所以 设平面的法向量为， 所以，即 取，则， 由（），为平面的法向量， 令 解得或（舍） 所以存在点，使得二面角的余弦值为 ，且， 得. 18.（共13分）解：()依题意，有 所以 所以椭圆方程为 所以， 焦点坐标分别为 ()方法1：设，则，且 若点为右顶点，则点为上（或下）顶点，不是等边三角形，不合题意，所以.设线段中点为，所以 因为，所以 因为直线的斜率 所以直线的斜率 又直线的方程为 令，得到 因为 所以 因为为正三角形，所以，即 化简，得到，解得（舍） 即点的横坐标为. 方法2：设，直线的方程为.当时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点， 不是等边三角形，不合题意，所以.联立方程消元得 所以所以 设线段中点为，所以，所以 因为，所以 所以直线的方程为令，得到 因为为正三角形， 所以 所以 化简，得到，解得（舍） 所以， 即点的横坐标为. 方法3：设，当直线的斜率为0时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点， 不是等边三角形，不合题意，所以直线的斜率不为0.设直线的方程为 联立方程 消元得， 所以 设线段中点为所以,， 所以 因为，所以 所以直线的方程为令，得到 因为为正三角形， 所以 所以 化简，得到，解得（舍） 所以， 即点的横坐标为 19（共14分）解：（）因为，所以 所以 所以曲线在点处切线的倾斜角为 （）方法1：因为令，得到 当时，的变化情况如下表:极大值极小值 而，符合题意 当时，,没有极值，不符合题意 当时，的变化情况如下表极小值极大值 而，不符合题意 当时，的变化情况如下表:极小值极大值 所以， 解得 综上，的取值范围是 方法2：因为函数的极小值小于，所以有解，即有解 所以，所以有或 因为令，得到 当时， ，的变化情况如下表:极大值极小值 而，符合题意 当时，的变化情况如下表:极小值极大值 而，符合题意综上，的取值范围是20.（共13分）解：（）“好位置”有： （）因为对于任意的，；所以当时，当时，；因此若为“好位置”，则必有，且，即 设数表中共有个，其中有列中含的个数不少于，则有列中含的个数不多于，所以，因为为自然数，所以的最小值为 因此该数表中值为，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过所以，该数表好位置的个数不少于个 而下面的数表显然符合题意1110011100110101100110011 此数表的“好位置”的个数恰好为 综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为 （） 当为“好位置”时，且时，则有，所以， 注意到为奇数，所以有 同理得到 当为“好位置”，且时，则，则必有， 注意到为奇数，所以