浙江省杭州市西湖高级中学2020学年高二数学10月月考试题

浙江省杭州市西湖高级中学2020学年高二数学10月月考试题 一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是()A三棱锥 B三棱柱 C四棱柱 D五棱锥2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为()A.1 B.2 C2 D.33.如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为()A48 B64 C80 D1205.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1， BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()6. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题：若Pa，P，则a；若abP，b，则a；若ab，a，Pb，P，则b；若b，P，P，则Pb. 其中真命题是()A B C D7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中，正确结论的个数为()A1 B2 C3 D48.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAH平面EFH BAG平面EFH CHF平面AEF DHG平面AEF9.如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSB BAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10.如图所示，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：EPAC；EPBD；EP平面SBD；EP平面SAC.其中，恒成立的为()A B C D二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA平面ABCD，PA5，AB4，AD3，则异面直线PC与BD所成的角为_，直线PC与平面ABCD所成的角为_.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有 和 . 13.如图223所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有_和_.14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是 ，可能是也可能不是的几何体是 .A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 E.四棱柱 F.圆台15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点若在PB上存在一点Q，使平面MNQ平面PAD，则PQQB_16.下列叙述不正确的是_如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；两条异面直线所成的角为锐角或直角；直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC2，M为BC的中点，则二面角P AM D的大小为_三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）18.（14分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MN平面PAD；(2)若MNBC4，PA4，求异面直线PA与MN所成的角的大小19. （15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，PO平面ABCD，O点在AC上，PO2，M为PD中点(1)证明：AD平面PAC； (2)求三棱锥MACP的体积20. （15分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：(1)平面PAC平面PBD； (2)二面角PBCD的大小为45.21. （15分）如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1，ABC60，AA1平面AC.(1)设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证： A1O平面B1D1C；(2)若四棱柱的体积V，求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值22. （15分）如图所示，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点(1)求证：MN平面PAD； (2)求证：MNCD；(3)若二面角P-CD-A的大小为45，求证：平面BMN平面PCD.杭西高2020年10月高二数学参考答案 一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是( )A三棱锥 B三棱柱 C四棱柱 D五棱锥B 解析 三棱柱有3个侧面，2个底面，共5个面，所以三棱柱为五面体2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( )A.1 B.2 C2 D.3C 解析 设正方体的棱长为a，其外接球的半径为R.易知(2R)2a2a2a23a2，则Ra，故正方体的棱长和其外接球的半径的之比为aa2.3.如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是( )A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形C 解析 如图，在原图形OABC中， 应有OAOA6 cm，OD2OD224 cm，CDCD2 cm.OC6 cm，OAOC.故四边形OABC是菱形4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为 ( )A48 B64 C80 D120C 解析 根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面PAB的边AB上的高，且PE5.所以此几何体的侧面积是S4SPAB48580. 5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( ) A 解析 由正投影的定义可知，点M在平面ADD1A1上的正投影为AA1的中点，点N在平面ADD1A1上的正投影为AD的中点，易知选A.6. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题：若Pa，P，则a；若abP，b，则a；若ab，a，Pb，P，则b；若b，P，P，则Pb.其中真命题是( )A B C DD 解析 当aP时，Pa，P，但a，错； 当aP时，错；如图所示，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中，正确结论的个数为( )A1 B2 C3 D4C 解析 矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点在PBD中，M是PB的中点，所以OMPD，所以OM平面PCD，且OM平面PDA.因为MPB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交8.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( ) AAH平面EFH BAG平面EFH CHF平面AEF DHG平面AEFA 解析 原图中ADDF，ABBE，所以折起后AHFH，AHEH，又FHEHH，所以AH平面EFH.9.如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )AACSB BAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D 解析 由ACBD，ACSD，且BDSDD，得AC平面SBD，ACSB，故A正确由ABCD，得AB平面SCD，故B正确记AC与BD交于点O，连接SO，则ASO为SA与平面SBD所成的角，CSO为SC与平面SBD所成的角，可证明SAOSCO，SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确显然D错误10.如图所示，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：EPAC；EPBD；EP平面SBD；EP平面SAC.其中，恒成立的为( )A B C DA 解析 设AC，BD交于点O，连接SO，EN，EM.由SABCD是正四棱锥，可得SO底面ABCD，ACBD，SOAC.又SOBDO，AC平面SBD.E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD.又EMMNN，SDBDD，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP，故正确由异面直线的定义可知EP与BD是异面直线，不可能有EPBD，因此不正确由可知平面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此正确BDAC，EMBD，EMAC.又EMSO，SOACO，EM平面SAC.若EP平面SAC，则EPEM，与EPEME矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故不正确故选A.二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA平面ABCD，PA5，AB4，AD3，则异面直线PC与BD所成的角为_，直线PC与平面ABCD所成的角为_. 图23445 解析 连接AC.因为PA平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以PCA是PC与平面ABCD所成的角在PAC中，PAAC，且PA5，AC5，所以PCA45，即异面直线PC与BD所成的角为45，直线PC与平面ABCD所成的角为45.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有 和 .解析 平面PBC、平面PADPA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB.BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直 13.如图223所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有_和_.图223平面PAD、平面PCD 解析 在DPB中，O为BD的中点，E为PB的中点，EOPD，又EO在平面PAD、PCD外，PD在平面PAD、PCD内，所以EO与平面PAD、平面PCD平行14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是 ，可能是也可能不是的几何体是 .A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 E.四棱柱 F.圆台D、F； B、E.15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点若在PB上存在一点Q，使平面MNQ平面PAD，则PQQB_11 解析 若平面MNQ平面PAD，则应有MQPA，M是AB的中点，Q是PB的中点所以PQQB11.16.下列叙述不正确的是_如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；两条异面直线所成的角为锐角或直角；直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面 解析 中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，故错误；对于，异面直线不具有传递性，故错误17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC2，M为BC的中点，则二面角P AM D的大小为_ 45 解析 如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA. PCD为等边三角形，PECD，PE2sin 60.又平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，PE平面ABCD.AM平面ABCD，PEAM.四边形ABCD是矩形，ADE，ECM，ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM，AM，AE3，EM2AM2AE2，AMEM.又PEEME，AM平面PEM，AMPM，PME是二面角PAMD的平面角tanPME1，PME45，二面角PAMD的大小为45.三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）18.（14分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MN平面PAD；(2)若MNBC4，PA4，求异面直线PA与MN所成的角的大小 解： (1)证明：取PD的中点H，连接AH，NH.N是PC的中点，NH/DC.M是AB的中点，且DC/AB，NH/AM，即四边形AMNH为平行四边形MNAH.MN平面PAD，AH平面PAD，MN平面PAD.(2)连接AC并取其中点O，连接OM，ON，OM/BC，ON/PA.ONM就是异面直线PA与MN所成的角由MNBC4，PA4，得OM2，ON2.MO2ON2MN2，MON90，ONM30，即异面直线PA与MN成30的角19. （15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，PO平面ABCD，O点在AC上，PO2，M为PD中点(1)证明：AD平面PAC； (2)求三棱锥MACP的体积 图236解：(1)证明：ADAC，ACDADC45，ADAC.PO平面ABCD，AD平面ABCD，POAD，又ACPOO，且AC平面PAC，PO平面PAC，AD平面PAC.(2)M是PD的中点，M到平面ABCD的距离为PO1.由(1)知，SACDADAC.三棱锥MACD的体积V1. 三棱锥PACD的体积V2. 三棱锥MACP的体积V - .20. （15分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：(1)平面PAC平面PBD；(2)二面角PBCD的大小为45.证明：(1)PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC.同理可证PDAD，又ADDCD，PD平面ABCD.PDAC.又四边形ABCD是正方形，ACBD.又BDPDD，AC平面PBD.又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.(2)由(1)知PDBC，又BCDC，且PDDCD，BC平面PDC.BCPC.PCD为二面角PBCD的平面角在RtPDC中，PDDCa，PCD45.二面角PBCD的大