【毕业学位论文】（Word原稿）光栅衍射特性研究-软件工程

光栅衍射特性研究 第 1 页 共 11 页 光栅衍射特性研究 陈锦（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011） 指导教师：张杰 摘 要： 本文根据惠更斯 细分析了平面光栅衍射的特性，利用 件进行了衍射图样的仿真，绘制 了相应的衍射光强分布图 ，并结合理论公式 讨论了光强随波长、缝宽 b、缝数 N 以及光栅常数 d 的变化情况 。推导了光栅方程，并从光栅方程出发，对 光栅衍射中的缺级现象 、 光栅的分辨率 等 问题 进行了 讨论 。文章最后简单介绍了光栅在 生产 实际中的应用。 关键字： 光栅 ，光 栅衍射，光强分布， 强度 1 引言 衍射光栅作为一种优良的分光元件，在近代光谱仪中有广泛的应用，比如利用光栅衍射可以作为光谱分析，测量光波的波长等 1光栅是一种具有高分辨本领的精密光学元件，它是由大量等宽等间距的平行狭缝构成的光学器件。一般常用的光栅是在玻璃片上刻出大量平行刻痕制成，刻痕为不透光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一狭缝。精致的光栅，在 1度内刻有几千条乃至上万条刻痕。这种利用透射光衍射的光栅称为透射光栅，还有利用两刻痕间的反射光衍射的光栅，如在镀有金属层的表面上刻出许多平行 刻痕，两刻痕间的光滑金属面可以反射光，这种光栅称为反射光栅。本文着重对 平面 光栅衍射特性做一些探究。 一个集数值计算、图形处理、符号计算、数学建模、实时控制、动态仿真等诸多功能于一身的数学应用软件 6，在光学中得到广泛应用 7。 本文应用 数值计算和绘图功能，根据夫琅禾费衍射场的理论公式，计算得出光强分布矩阵并绘制出光强分布曲线及其衍射图样。 2 光的衍射 理论 惠更斯原理 8内容是 ：传播中的波面上任何一点都可以认为是一个新的次波源，由这些次波源发出的次波是球面波，这些次波的公共包 络面就是下一时刻的波面。法国物理学家菲涅耳根据叠加原理将惠更斯原理进一步具体化，并给出其数学表达式，即惠更斯 菲涅耳原理的数学表达式： ik )()()( （ 1） 此后，德国物理学家基尔霍夫从定态的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在 1,即 r的条件下，导出了无源空间边值定解表达式： ik )()c c 0 （ 2） 他还提出了关于边界条件的假设，并进一步将衍射积分公式简化为 6： ik 0)(),()( 0 （ 3） 此时衍射面积分只限于光孔面0s。据此在傍轴条件下衍射积分公式为： r0)()(0（ 4） 这便是 光 衍射场 强的计算 公式。 光栅衍射特性研究 第 2 页 共 11 页 3光栅衍射 光 强分布 计算公式推导 琅禾 费单缝衍射 光 强分布 设波长为 的平面波射向缝宽为 AB=射后经透镜 图 1 所示，由惠更斯 焦平面上任一点 9： 狭缝）（ ik r)()( （ 5）图 1 单缝衍射示意图 把狭缝细分为垂直于 积为 dS=平面波入射情况下， U（ Q） 为常量，在角度不大情况下， )s ,1)(0 ,因为0,只有相位因子中的 ) 不能忽略，从而有 0s i i n s i ( ) 2 ( ) s i n ( s i n )s i n s i n 2k ri k i k k i Q l e d x C e d be e ki k k （ 6） 令 s 7） 则 ( （ 8） 故 2202222* s ()( （ 9） 琅禾费双缝衍射的光强分布 如图 2 所示，衍射屏上 A、 B 处各有一条宽为 b 的缝，缝间距为 d。经透镜 L 作用后，两条缝的衍射光在焦平面上的光强分布一致，相位分布不同。把坐标原点分别放在 的中心。根据式（ 5）有： 图 2 双缝衍射示意图 光栅衍射特性研究 第 3 页 共 11 页 22s ()( （ 10a） 22s ()( （ 10b） 令 ，则有 s i ) ( ) ( ) ( )s i n ( )bi k x i U P U P C e d x e eC b e e （ 11） 式中 为单缝中心与双缝中心的光在 P 点的产生的相位差， s ， 所以夫琅禾费双缝衍射的光强分布表达式为： 2220220* c i (s i n)()( （ 12） 面光栅的衍射 栅衍射的强度分布 10 图 3 光栅衍射示意图 以上双缝衍射的讨论可以推广至多缝的情况。 设 有 宽均为 b，间距为 d， 如图 3。则相邻缝的对应程差为： ，相位差为 s in 。由式（ 11）知， )1()()1()()()( 0200 （ 13） 若坐标原点放在第一个缝的中心，则 (0就是它的单缝衍射振幅，而 )(0 )( 而有 122 ( 1 )11( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( 1 ) ( )1i N U P U P U e e e U （ 14） 所以，光栅衍射的光强分布公式为： 2 2 2 2*1 1 0 02 2 2 2(1 ) (1 ) s i n s i n ( / 2 ) s i n s i n ( )( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) s i n ( / 2 ) s i i NN e N U P U P I （ 15） 式中0 代表每一缝的两边缘发出的子波到达 P 点相位差的一半( 2 s ) / 2b ， N 代表总缝数， / 2 s i n /d 代表相 邻 两缝所发出的光到达 P 点的相位差的光栅衍射特性研究 第 4 页 共 11 页 一半，式中 22 是单缝衍射所引起的，一般称为衍射因子， 22s s 为多束光干涉所引起，一般称为多光束干涉因子。 4. 衍射 光栅 特性分析 为了 研究 光栅强度分布的规律， 我们 将 从以下几个方面进行讨论 。 栅方程 当 0 ， ， 2 ， ， k， k 为整数 时，光强取 主极大 ，其值为： 2m a x 0I I N I 根据 s d ， 可知 相应主极大的位置必须满足 s i n ( 0 , 1 , 2 ,d k k ） (16) (16)式一般称它为光栅方程式。式中 d 为相邻两缝的间距，一般称为光栅常数， k 叫做光栅的干涉级，如k=1 就叫做一级主极大。按上式，它发生在如下方向： d 根据干涉因子 22s s 可知，当 , 2 ,N ， p p 为整数 (1 ) 时 干涉因子为零。此为极小条件。但注意 p 不能等于 N 的倍数 ，即 p ，因为此时极小条件就转化为极大条件（ k ），干涉因子不是零而是 2N 。 栅衍射特性讨论 单缝衍射的主峰内（ 0 ） 极大 值 的 数量 当光通过光栅到达衍射屏上某处时，若相邻缝所对应的相位差为 2 的整数倍，则通过所有缝的光在该处都同相位，因而该处出现衍射光强的主极大。由此可知，满足主极大的 条件是 2K 。若光栅常数 ，则 2 s i n / 2 s i n / 2 ，故主极大条件为 /K 。在 0 的范围内， K 可能的值为 1， 2， 3， ， 1 （在 K=0 时， 0;K时， ），即在 0 之间，有 1 个主极大。如图 （ 6） 所示： 3 ，主峰内每边各有 2 个主极大。 极大光强的强度 由光强公式可知，光强由单缝衍射因子 22 和多缝干涉因子 22s i n ( / 2 ) / s i n ( / 2 )N 决定。对于主极大， 2K ， g 出现分子和分母都为零的情况。按照数学上的洛必达法则，可分别对分子和分母求导来得到 g 的极限值 11： 222 2 2222s i n ( / 2 ) 2 s i n ( / 2 ) c o s ( / 2 ) ( / 2 ) s i n ( )l i m l i m l i ms i n ( / 2 ) 2 s i n ( / 2 ) c o s ( / 2 ) ( 1 / 2 ) s i nc o s ( )l i mc o N N N （ 18） 代入光强公式，得 2 2 20( ) s i n / I N 。即主极大的光强是单缝衍射在该处光强的 2N 倍！实际上，这个结论不难理解：既然在 2k 的条件下，通过所有缝的光在该处都同相位，那么该处的合成振幅就应该是各分振幅之和，即等 于一个缝的 N 倍，因而光强就应该是一个缝的 2N 倍。 个主极大之间光强为零的 数量 光栅衍射特性研究 第 5 页 共 11 页 当 /2 时（ m 为整数），干涉因子 g=0，故衍射光强为零。能满足 2/ 的 m 在02 的范围内，可取的整数为 1， 2， 3， ， m=0 时， 0 ； m=N 时， 2 ），即在 02之间，有（ 零点。如图 (6)所示： N=4，任何两主极大之间都有 3 个零点。由此可知，光栅中的缝数 N 越多，两主极大之间的零点就越多，背景光就越暗。 极大的宽度 与主极大相邻的两个零点之间的距离为主极大的宽度。由于 m= 2k ，为主极大，故1m 是 与 它 相 邻 的 两 个 零 点 。 对 于 这 两 个 零 点 ， 有 / 2 ( 1 )N m N k 。即2 ( 1 ) / 2 2 /k N N k N 。由此可见，在 的坐标上，主极大的宽度为 4/N 。把它转 换到 坐标，即以 2 s d 代入，得 42( s i n )22d d N N d 。这就是主极大在 坐标上的宽度。由此可知，光栅中的缝数 N 越多，主极大的宽度就越窄，主极大峰就越尖锐。 一级次极大 光强的大小 最靠近主极大的次极大为第一级次极大，它位于 1m 和 2m 这两个零点之间。来估算它的大小。即以 / 2 ( 1 . 5 )N k N代入 g 的表达式中： 2 2 2 22 2 2 2 2 2s i n ( / 2 ) s i n ( 1 . 5 ) 1 1 0 . 0 4 5s i n ( / 2 ) s i n ( 1 . 5 / ) s i n (1 . 5 / ) (1 . 5 / ) (1 . 5 )N K N N N （ 19） 同理可算出第二次级的大约为 N 。由此可知次级大的光强都比主级大的光强弱得多，第一级次级大是最强的，但也不到主极大的 5%。 从以上分析可知 ，光栅的缝数 N 越 大 ，条纹越细，背景越暗 ，即 光栅条纹细而亮。 一般光栅的缝数达几万条，因而条纹级细，可用作精密测量。 栅光强分布的规律 栅光强分布与缝数的关系 图 4 给出了当波长为 m、缝宽等于 1 m、光栅常数为 2 m 时，缝数 N 分别等于 5、 30、 5000时衍射光强分布情况。 从 图 中我们明显的看出 ： 光栅中的缝数 N 越多两主极大之间的零点就越多，背景光就越暗，主极大的宽度就越窄，主极大的峰就越尖锐 ，当 N=5000 时仅为一明亮的细线 。 栅光强分布与波长的关系 图 5 给出了当光栅缝数 N 为 4、缝宽等于 1 m、光栅常数为 2 m 时，波长分别等于 m、 m、 m 时衍射光强分布情况。 从 图 中我们明显的看出 ： 在保持缝宽不变的条件下，半角宽度与波长成正 比，波长越长，衍射越显著；波长越短，衍射效应可以忽略。因此波长增大，衍射条纹变宽。 图 4(a) N=5 时的衍射光强 图 4(a) N=30 时的衍射光强 光栅衍射特性研究 第 6 页 共 11 页 栅光强分布与缝宽的关系 图 6 给出了当 光栅缝数 N 为 4，波长为 m，缝宽等于 2 m 时，光栅常数分别等于 6 m、 m、20 m 时衍射光强分布情况 。 从 图 中我们明显的看出 ： 当缝距 d 与缝宽 b 之比为整数时将有缺级产生，而图 5(a) 波长为 m 时的衍射光强 图 5(b) 波长为 m 时的衍射光强 图 5(c) 波长为 m 时的衍射光强 图 4(c) N=5000 时的衍射光强 光栅衍射特性研究 第 7 页 共 11 页 且随着 d/b 比值 k 的增大， 中心光强中干涉条纹极大值增多，等于 2* 栅衍射中的缺级现象 光栅强度公式是由两个因子决定，一项衍射因子 22 ，一项干涉因子 22s s ，两项是乘积的关系。所以两项中任一项为零时，都能使 I=0。这样就可能发生一个特殊情况，从干涉因子来在某处应该出现极大，但此处如果衍射因子 22为零，结果极大就消除了，光学上把这种现象叫做缺级。见图 7。 根据上面的讨论，已经知道在光栅中干涉极大发生在 k 为整数 衍射 极小发生在 k”为整数， 由缺级产生条件 ，即此处干涉极大和衍射极小同时发生， 于是有： 图 6(c) 光栅常数为 20 m 时 的衍射光强 图 6(a) 光栅常数为 6 m 时的衍射光强 图 6(b) 光栅常数为 m 时的衍射光强 图 7 缺级现象 光栅衍射特性研究 第 8 页 共 11 页 ,k k d kd b b k（ 20） 这就是缺级产生的条件，当光栅常数和缝宽之比为整数比时就有缺级产生。如 d:b=3:1 时， 4， 8， 12， 缺级，衍射中央主最大的条 纹个数是： 2(d/b)此例中有 5 个条纹 ，见图 6(a)。 6. 光栅的分辨本领 散率 首先用 s i n ( 0 , 1 , 2 ,d k k ）式求 ： (21) 这个量叫做光栅的角色散率。 辨率 12 既然光栅对不同波长的光有散开的现象（色散），是否两波长相差任意小的光都能利用光栅来散开并加以分辨呢？这个问题反映光栅除了角色散率以外，还有一个重要的性能指标，这就是它的分辨本领。从光栅的强度分布曲线来看，任何一级主极大是分布在一定的角度范围内的，从极大到极小有一定的角宽度，使每一条谱线都有一定的宽度。 根据光栅方程式， k 级极大的角位置 应满足： k 级旁边第一个极小的角位置为 ，根据干涉因子极小条件，应满足： s i n ( ) （ 22） 将 （ 22） 式展开： s i n ( ) s i n c o s c o s s i nd d d (23) 由于 很小， ， ，代入 （ 22） 式得： s i n ( ) s i n c o sd d d （ 24） 代入 （ 23） 式后化简得： co （ 25） 这就是谱线的角宽度（半宽 度）。 由于谱线有一定的宽度，当光栅用做光谱分析时，就有分辨率的问题。在光栅中这个量的定义为/ 。其中 是刚刚能分辨的两条谱线的平均波长， 是这两条谱线的波长差，如果刚刚能分开的标准还是采用瑞利判据，那么在光栅 衍射 情况下，当波长 的主极大刚刚落在波长 的 第一个极小时，则这两个波长刚刚被分开 。 根据上面推导可知，中央极大到第一个极小的角宽度 co 按照角色散率的定义，可求相应的波长差为： c o s c o k N d 化简后得： 光栅衍射特性研究 第 9 页 共 11 页 （ 26） 这就是光栅的分辨本领。由 （ 26） 式可知光栅的分辨本领不但与总缝数 N 有关，还与级数 k 有关。 光束数目越多，条纹就越细，分辨本领就越大。由于每毫米的刻痕数不可能太大，故 N 大意味这光栅宽度大。 由于棱镜的分辨本领为 （其中 b 为棱镜的底边宽度），故宽度与棱镜底边相同的光栅的分辨本领比棱镜大得多，这是光栅的另一个优点。 光栅作为一种色散元件，在光谱分析中起着关键作用，其原理特性已在前面进行了详细讨论。光栅的此种原理在物理学其他 学科 也 有比较广泛的应用。例如，无线电中的阵列天线，其结构和原理几乎完全与光栅相同。在这里再介绍此种原理的另一方面的应用。在光栅方程式的讨论中，可以知道对一定的光栅（ 如所用光的波长一定，则产生极大的位置也是一定的，因为 。反过来，如果知道光的波长和极大的分布位置，那么光栅的结构（光栅常数）也可以求得。另外，如果知道此光栅产生的强度分布，我们 就 可以知道光栅刻痕的形状是线状的还是锯齿状的。从这里，我们可以得到一个很重要的启发，是否能用同样的方法去研究一些微观 结构和晶体中的原子结构呢？ 答案是肯定的 ，而且这种方法现在愈来愈广泛的使用 ，这就是目前研究晶体结构中的 X 射线结构分析。其原理与衍射光栅相同，只是因为晶体结构中周期性常数很小，所以不同通常的可见光而用波长更短的 X 射线。 事实上，光谱分析仅仅是光栅的一种应用，光栅还有许多不同的应用。譬如，光栅可以作为一标尺，在计量学中可用于测量位移、外形和应力。光栅还可以用作分束器、偏振器、光波导中的光藕合器。在光信息处理中，由于光栅具有搬移空间频谱的功能，应用更是多种多样的。 8 小结 本文对平面光栅衍射特性进行了详细的研究。 通 过对 光栅衍射 强度分布的规律的探究我们发现光栅衍射的光强分布受衍射因子和多光束干涉因子影响，并用 在 不同参数下衍射 图样的特点。还对光栅衍射中的缺级现象和光栅的分辨本领做了详细的